最新人教版高中数学选修4-5课件：3.2一般形式的柯西不等式

求
的最小值.
【解a题11探b究11】本c1例1 中的题设条件如何转化为与所求式
子的分母有关的形式?
提示:由a+2b+4c=3可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.
【解析】因为a+2b+4c=3,所以
(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.
因为a,b,c为正数,
所以[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]· 111
ab bc ca
[(a+b)+(b+c)+(c+a)]· (
1
1
≥1
)
(1+1+1)2=9.
ab bc ca
当且仅当a=b=c= 时,等号成立,所以,原不等式成立. 1
3
【方法技巧】利用柯西不等式证明不等式时常用的技 巧 (1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排 各项的次序.
(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子 的结构,从而达到使用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.
【变式训练】
1.已知a,b,c∈R+,求证: (abc)(bca)9. b c aa bc
【证明】由柯西不等式知
左边[( a)2( b)2( c)2][( b)2( c)2( a)2] bca abc
a1 b1 c1
2
1 22 .
当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2,等式成立.
二 一般形式的柯西不等式
【自主预习】
1.三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+ b32)≥_______________,当且仅当_____________或存 在一个(数a1kb,1+使a2得b2a+ia=3kbb3)i(2i=1,2,3)时b等i=0号(i成=1立,2.,3)
可以吗?
提ab 11 示 :ab不22 可ba以33 .因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况,则分
式不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆.
2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为 ai=kbi(i=1,2,3,…,n),可以吗? 提示:不可以.若bi=0,而ai≠0,则k不存在.
【归纳总结】 1.对柯西不等式一般形式的说明 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维 形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形 式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积 的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式 的结构形式.
2.等号成立的条件
ai=k·bi(i=1,2,…,n)或bi=0,即: a 1 = a 2 =…= a n
kbi
【即时小测】
1.若a12+a22+a32=4,b12+b22+b32=9,则a1b1+a2b2+a3b3的最 大值为 ( )
A.4
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B.6
C.9
D.3
【解析】选B.根据柯西不等式,知(a1b1+a2b2+a3b3)2 ≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)=36，所以6≤a1b1+a2b2 + a3b3≤6.
2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数, 则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥__________________,当且仅当________________ 或存(a在1b1一+a个2b数2+…k,+使an得bna)i2=___(i=1,2b,i…=0,(ni)=时1,,2等,…号,成n)立.
2.已知x,y,z,a∈R,且x2+4y2+z2=6,则使不等式
x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为 ( )
A.6
B.
C.8
D.
66
88
【解析】选B.由x2+4y2+z2=6,利用柯西不等式可得 (x+2y+3z)2≤(x2+4y2+z2)(12+12+32)=66,故有 x+2y+3z≤ ,当且仅当 时,取等号. 再根据不等式6 6 x+2y+3z≤ax1 恒 2成1y 立 3z,可得a≥
【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2≥ ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数) 【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2) ≥(ab+bc+cd+da)2, 所以a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.
类型二 利用柯西不等式求最值
【典例】已知a,b,c均为正数,且a+2b+4c=3.
n
,当且仅当bi=λai时,等号成立. i 1
ai bi
i1
n
a ib i
i1
类型一 利用柯西不等式证明不等式 【典例】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证:
2 2 2 9. 【a解b题b探究c 】c本a例不等式右边的9如何拆分才能运用 柯西不等式? 提示:9=(1+1+1)2.
【证明】左边=[2(a+b+c)]·( 1 1 =1 )
66.
3.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 _________. 【解析】因为(a2+4b2+9c2)(1+1+1)≥(a+2b+3c)2, 所以a2+4b2+9c2≥12. 答案:12
【知识探究】
探究点 一般形式的柯西不等式
1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
或b1=b2=…=bn=0.
b1 b2
bn
3.柯西不等式的两个变式
n
(1)设ai∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
n
a
2 i
当且仅当bi=λai时等号成立. b i 1 i
( a i ) 2 i1
n
bi
i1
,
(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则
≥ n ( a i ) 2
( a b b c c a)211129，
ba cb ac 所以原不等式成立.
2.已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1,求证: a12 a22 an 12 an2 1.
a1a2 a2a3 an 1an ana1 2
【证明】左边= a12 a22 an 12 an2 =[(a1+a2)+(a2+a1 a 3a )2 +…a2 + (a a3n-1+aa nn ) +1 (a an n+a an1 )]a×1