自动控制原理习题和答案

1. 采样系统结构如图所示，求该系统的脉冲传递函数。

答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数。去掉采样开关后的连续系统输出表达式为

对闭环系统的输出信号加脉冲采样得

再对上式进行变量替换得

2. 已知采样系统的结构如图所示，，采样周期T=0.1s。试求系统稳定时K的取值范围。

答案:首先求出系统的闭环传递函数。由

求得，已知T=0.1s，

e-1=0.368，故

系统闭环传递函数为，特征方程为

D(z)=1+G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0

将双线性变换代入上式得

0.632ω2+1.264ω+(2.736-0.632K)=0

要使二阶系统稳定，则有

K＞0，2.736-0.632K＞0

故得到K的取值范围为0＜K＜4.32。

3. 求下列函数的z变换。

(1). e(t)=te-at

答案:e(t)=te-at

该函数采样后所得的脉冲序列为

e(nT)=nTe-anT n=0，1，2，…

代入z变换的定义式可得

E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(nT)z-n+…=0+Te-aT z-1+2Te-2aT z-2+…+nTe-naT z-n+…=T(e-aT z-1+2e -2aT z-2+…+ne-naT z-n+…)

两边同时乘以e-aT z-1，得

e-aT z-1E(z)=T(e-2aT z-2+2e-3aT z-3+…+ne-a(n+1)T z-(n+1)+…)

两式相减，若|e-aT z-1|＜1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得

最后该z变换的闭合形式为

(2). e(t)=cosωt

答案:e(t)=cosωt

对e(t)=cosωt取拉普拉斯变换．得

展开为部分分式，即

可以得到

化简后得

(3).

答案:

将上式展开为部分分式，得

查表可得

(4).

答案:

对上式两边进行z变换可得

得

4. 求下列函数的z反变换

(1).

答案:

由于

所以

得

所以可得E(z)的z反变换为 e(nT)=10(2n-1) (2).

答案:

由于

所以

得

所以E(z)的z反变换为

e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1 (3).

答案:

由长除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+…

所以其反变换为

e*(t)=2δ(t-T)-6δ(t-3T)+10δ(t-5T)-14δ(t-7T)+18δ(t-9T)+…

(4).

答案:

解法1：由反演积分法，得

解法2：由于

所以

得

最后可得z反变换为

5. 分析下列两种推导过程：

(1). 令x(k)=k1(k)，其中1(k)为单位阶跃响应，有

答案:

(2). 对于和(1)中相同的x(k)，有

x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1

试找出(2)与(1)中的结果为何不同，找出(1)或(2)推导错误的地方。

答案:x(k)-x(k-1)=k(k)-(k-1)1(k-1)=0，1，2，…

Z[x(k)-x(k-1)]=(1-Z-1)X(z)

按z变换定义有

将上述结果代入Z[x(k)-x(k-1)]=(1-Z-1)X(z)中可得

可见，(1)的推导正确，(2)的推导第一步就错了，导致最后结果错误。

6. 假设一个序列f(k)，有如下的z变换形式

(1). 求f(k)。

答案:首先求出F(z)的z反变换

由此可得

f(k)=0.33(-0.6)k1(k)-0.0476(0.3)k1(k)+0.71·1(k) k=0，1，2，…--

(2). 序列的稳态值为多少?

答案:在计算序列的稳态值之前，应该先判断(z-1)F(z)的稳定性。通过查看(z-1)F(z)的极点z1=-0.6，z2=0.3，可见(z-1)F(z)是稳定的。由终值定理可得

7. 某一过程的离散传递函数为

(1). 计算输出c(k)关于r(k)的单位阶跃响应。

答案:单位阶跃信号的z变换为，因此

z反变换为

c(k)=11.426e j2.594(0.64e j0.675)·1(k)+11.426e-j2.594(0.64e-j0.675)k·1(k)+19.5·1(k)=11.426( 0.64)k(e j2.594+j0.675k+e-j2.594-j0.675k)·1(k)+19.5·1(k)=22.85(0.64)k cos(0.675k+2.594)·1(k) +19.5·1(k) k=0，1,2，...

(2). c(k)的稳态值为多少?

答案:可知，c(k)的稳态值为19.5。可以通过终值定理来检验这一结果的正确性，稳态增益为

8. 考虑如下的差分方程：

y(k+1)+0.5y(k)=z(k)

则当输入x(k)为单位阶跃序列时，零初始条件下响应y(k)等于多少?

答案:同时对方程两边进行z变换，得

zY(z)+0.5Y(z)=X(z)

当输入信号为单位阶跃序列时

因此

所得结果为

9. 已知系统传递函数为，试求能控标准型、能观测标准型、约当标准型，并画出状态变量图。