(完整版)多变量mpc

a%i
bi G( xi , ui ) (Ci xi Diui )
CARIMA模型 A(z1) y(k) B(z1)u(k) (k)
阶跃响应模型 Yˆ AU Y0
• 对于平衡点时变的对象，最好采用与
平衡点无关的模型进行输出预测。？？
开环优化与闭环控制
• 每个采样周期t，直接将x(t)作为系统的初始状态，有类似 反馈校正的作用。
B%i
F u
( xi ,ui )
a%i F( xi , ui ) ( A%i xi B%iui )
Ai
exp( A%i Ts );
Bi
(
Ts 0
exp(
A%i
Ts
)
dt
)
B%i
Ci
G x
;
( xi ,ui )
Di
G u
( xi ,ui )
ai
(
Ts 0
exp(
A%i
Ts
)dt
)
• 有限时域最优控制问题可采用经典预测控 制的目标函数，即不含终端约束项，只要 计算时令终端权矩阵S=0 即可；经典预测控 制也可以包含终端约束项。
• 有限时域最优控制问题求得的未来N个最优 解的反馈增益是时变的(即使对LTI系统)，当 预测时域N趋于无穷时，反馈增益趋于一个 常数。经典预测控制仅当采用滚动时域策 略时,才成为一个线性时不变控制器。从而 才可以用经典稳定性方法判断稳定性。
个时刻的输出预测值
aij (1) aij (2) aij (3) uj
aij
aij (1),L
T
, aij (N )
,
t
i 1,L p, j 1,L m
t
2020/4/13
一、多变量DMC
1 输出预测
对于线性多变量系统，其输出预测可通过单变量预测后叠加得到。
• 输入 u j 作用下对于输出 yi 的预测，则在 u j (k )作用下 yi 在未来 N
P AT PA Q - AT PB(R BT PB)1 BT PA
• 有限时域最优控制问题：不考虑约束、最 优、不保证稳定
N-1
JN xT (N )Sx(N ) [xT (k)Qx(k) uT (k)Ru(k)] k0
u(k) K (k)x(k) [R BT P(k 1)B]1 BT P(k 1) Ax(k)
e(k 1) y(k 1) yˆ(k 1)
• GPC
Yˆ GU f
f (k 1) (G1 g0 )u(k) F1y(k)
f
(k
2)
z(G2
z 1 g1
g0
)u (k )
F2
y(k )
L
f (k p) z p1(Gp z p1g p1 L z1g1 g0 )u(k) Fp y(k )
多变量预测控制
主要内容
一、预测控制一些共性问题的讨论 二、典型预测控制算法的多变量推广 三、基于状态空间的预测控制方法 无约束、有约束、不可测扰动估计 四、稳定预测控制方法
输出预测与平衡点的关系
传递函数/输入输出差分方程模型
A(z1) y(k ) zd B(z1)u(k )
A(z 1 )
B(
j 1
j 1
有差（MAC）
N 1
J (k) ( xˆ (k j 1| k) x)T Q( xˆ(k j 1| k) x) j0
(u(k j | k) u)T R(u(k j | k) u) ( xˆ(k N 1| k) x)
• 预测方程： • DMC
Y%p Yˆp he(k 1)
为完全消除外部扰动对控制系统运动的影响， 并使系统实现对任意形式参考输入信号的无稳 态误差的跟踪，提供了理论依据。（必要条 件？？）
4.1 多变量DMC
1 输出预测
预测建立在线性系统之上：比例性、叠加性
u1
M
um
yi
y1
M yp
m个控制输入，p个输出假 定已测得每一输出 yi 对每一 输入 u j 的阶跃响应 aij (t) 则 由它们在采样点上的值组成 模型向量
z
1
)
1 a1z 1 b1z 1 b2 z
a2 z 2 2
ana bnb z nb
z na
状态空间模型
（来源于线性化、 辨识、传递函数转化…）
x(k y(k
1) Ai x(k ) Ci x(k)
) Biu(k Diu(k)
) bi
ai
A%i
F x
( xi ,ui )
• 预测方程——使测量值->预测值（由积分作 用保证）
• 最终——测量值->目标值 典型目标函数：
p
m
J [ y(k j) w(k j)]2 ( j)u(k j 1)2 无差（DMC、GPC
j 1
j 1
、状态空间MPC）
p
m
J [ y(k j) w(k j)]2 ( j)u(k j 1)2
u(k ) cT ( AT A I )1 AT (W Y0 ) d T (W Y0 )
cT 1 0 0
d T cT ( AT A I )1 AT
• 考虑约束时，最终归结为求解二次规划问 题，通常只能求数值解，无稳定性保证。
无静差控制问题
• 取决于两方面：
• 目标函数——使预测值->目标值（由最优性 保证）
线性or非线性控制？
• 线性二次型调节问题(LQR-Linear Quadratic Regulator)：不考虑约束、稳定、最优
x(k 1) Ax(k) Bu(k)
J [xT (k)Qx(k) uT (k)Ru(k)] k0
u(k) Kx(k)
K (R BTPB)1 BT PA
• 代数Riccati方程：
状态空间MPC 状态可测，扩展状态，引入积分作用
e(k+1),e(k+2)…含预测值， e(k)含测量值
状态不可测，用Kalman滤波
扩增状态引入积分作用
• 便于同时考虑对u和Δu的约束
内模原理：任何一个能良好地抵消外部扰动或 跟踪参考输入信号的反馈控制系统，其反馈回 路必须包含一个与外部输入信号相同的动力学 模型。
差分Riccati方程：
P(k) AT P(k 1)[I BR1BT P(k 1)]1 A Q
反向求解：
P(N) S
• 预测控制算法在一定条件下(采用相同的性 能指标函数P=M=N，无约束、模型精确)都 等价于有限时域最优控制问题。只不过求 解方法不同，有限时域最优控制问题采用 最小值原理，需递推求解Riccati方程，计算 复杂；经典预测控制直接求解优化问题。