1.3-阶跃光纤中的模式理论

E j 和 H j 应 连 续 , 得 到 弱 导 近 似 ( n1 » n 2 ) 下 的 本 征 方 程
J nⅱu ) ( u J n (u ) K n (w) w K n (w) 1 u
2
+
= ? n(
1 w
2
)
，
9
3) 光纤中的各种导模
（1）TE0m和TM0m模（n = 0 , m = 1, 2 , 鬃 ）
Ez = A J n (u ) A K n (w) Hz = B J n (u ) B K n (w) Jv( ur a wr a )e
in j
)e
in j
rp a
Kv(
)e
in j
rf a
Jv(
ur a
rp a
Kv(
wr a
)e
in j
rf a
8
用波导方程式求出
E 和 H ，在
r = a 的界面上，
J 1 (u ) = 0 J 0 ( u )的 根 有 0 , 3 .8 3 1 7 , 7 .0 1 6 , 鬃, 分 别 对 应 H E 1 1 , H E 1 2 , H E 1 3 , ... 的截止频率。
13
n f 1，
截止特征方程
J n - 1 (u ) J n (u )
=
u 2 ( n - 1)
和 H E 21模 都 还 没 有 出 现 ， 实 现 单 模 传 输 。
16
几个低次模的归一化传输常数随V的变化
17
几个低次模的场型图
18
19
3、近似解——LP模
思路： 为了简化分析，不考虑各种模式的具体区别，只注意各 模式的传输系数，将弱导近似下传输系数相等的模式用 LP模概括起来。 可以证明，若将 H E
Er =
- i K
2
(b
抖 z E 抖 r
+
wm r
H j H r
z
)
Ej
=
- i K
2
(
E b 抖 z r 抖 j 抖 H 抖 r
z
-
wm we r
z
)
H
r
=
- i K
2
(b
-
Ez j Ez r
)
H
j
=
- i K
2
(
H b 抖 r 抖 j
z
+ we
)
K
2
= k - b
2
2
2
（2）波动方程
r r E = E ( r , j ) e x p (iw t - ib z ) r r H = H ( r , j ) e x p (iw t - ib z ) 其 中 Ez, H 抖y 抖 r
k 0 n1 - b
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2p a l
) ( n1 - n 2 )
2
2
2
由于纤芯中需满足
包层中需满足
f 0
b - k 0 n1 f 0
2
可知导模的传输常数的取值范围为
k 0 n 2 p b p k 0 n1
与介质板波导得到的结果一致。
7
2) 边界条件和特征方程式
r = a 的界面上， E z 和 H z 应 连 续 , 得 到
弱导近似下TE0m和TM0m模有相同的特征方程
ⅱ J 0 (u ) u J 0 (u ) ¢ J 0 (u ) u J 0 (u ) 截 止 下 特 征 方 程 J 0 (u ) = 0
10
+
K
0
(w)
0
= 0
wK
(w) 0,
模 式 截 止, =
w ® ,
J 0 ( u )的 根 有 2 .4 0 4 8 , 5 .5 2 0 , 8 .6 5 3 7 , 鬃, 分 别 对 应 TE TE

的场解。因为这两个可能的偏振方向之间可以相互耦
合，而且这两个偏振态在水平方向既可以按cosjΦ 变 化，也可以按sinjΦ 变化。
23
24
25
26
27
（1 ） 对 T E 0 m 模 和 T H 0 m 模 ：
（2 ） 对 E H n m 模 ：
（3 ） 对 H E n m 模 ： n = 1 ， J 1 (u ) = 0 n f 1, J n - 1 (u ) u J n (u ) = u 2 ( n - 1)
（4 ） H E 1 1 是 光 纤 中 的 主 模 ， 对 任 意 光 波 长 这 种 模 式 都 能 在 光 纤 中 传 输 。
14
（3 ） E H m 模
J n + 1 (u ) u J n (u ) w? \ = K n+ 1(w) w K n (w) J n + 1 (u ) u J n (u ) J n (u ) = 0 =
0、 模 式 截 止 时 ，
注意：不能取零根。
15
小结：求各模式截止值的方程
J 0 (u ) = 0 T E 0m 模 和 T H 0m 模 的 截 止 频 率 相 等 ， 是 兼 并 模 。 J n (u ) = 0
2
+
1 w
2
)
利 用n 塞 n 函 n 的 n 推 公 式 ， 得 J n - 1 (u ) u J n (u ) = K n- 1 (w ) wK n (w)
12
n = 1 时，
J 0 (u ) u J 1 (u )
=
K 0 (w) wK1(w)
w?
0 时，
J 0 (u ) u J 1 (u )
2 2
得
d R (r ) dr
2
2
+
1 dR (r ) r dr
) R (r ) = 0
4
2 阶跃折射率光纤中的波动方程的解
1）解的形式
a. 在纤芯中 （
r ? a, k k 1 = k 0 n1
)
2 2 2
概念：传导模应沿径向呈驻波分布，即 r = 0 处场分量应为有限值
k 0 n1 - b
f 0
20
21
简并模： H E n + 1， m 和 E H n - 1， m 将 模线性叠加，得到的是 直角坐标系下的线偏振模LPjm 在弱导行近似下，所有相同序号j、m标识的模式满 足相同的特征方程，说明这些模式是简并模。

22

LP模式标记的一个最有用的特性是其直观性。在一个
完整的模式系列中仅需要一个电场分量和一个磁场分 量，电场矢量E可的以取在一个固定的坐标轴方向， 而磁场矢量H则垂直于电场矢量。 另外，还有一组与这个模场等价的、但场的极性相反
5
所以，R（r）的解应取贝塞尔函数( J 函数) 令
u = ( k 0 n1 - b ) a
2 2 2 2 2
得
轾 z1 轾 E A u r in j 犏 犏 Jv( = )e 犏 犏 H B a 臌 臌 z1
r b. 在包层中（ f a , k = k 2 = k 0 n 2 ） 概念：传导模应沿径向迅速衰减，即
1.3 阶跃折射率光纤中的模式理论
1. 2. 3.
圆柱坐标系中的波导方程式 阶跃折射率光纤中的波动方程的解 近似解------- LP模
弱导行(n1和n2相差很小)下阶跃折 射率光纤的求解方法
1
1、圆柱坐标系中的基本波导方程式
（1）圆柱坐标系中波导方程式
由 于 E r = E x co s j + E y sin j ; E j = - E x sin j + E y co s j
2 2 z
+
源自文库1 r
y r
+
1 r
2
2
y
2
+ (k - b )y = 0
2
2
j
3
(3)用分离变量发求解阶跃折射率光纤中的波动方程
变量分离
令 y ( r , j ) = R ( r ) f (j )
f (j ) = e
in j
,
n = 0 ,1, 2 , 鬃 + (k - b 2 2
场的圆周对称性 n r
（5 ） 可 以 证 明 （ 书 上 p 3 2 ） ， 远 离 截 止 时 H E n + 1 ， m 和 E H n - 1 ， m 有相同的特征方程 2p a l n 1 - n 2 p 2 .4 0 5, T E 0 m 、 T H 0 m
2 2
（6 ） 若 光 纤 的 归 一 化 频 率 V =
02 01
T E 0m 和 T M 0m 模 有 相同的截止频率， 是兼并模。
(T M
01 03
),
(T M
03
02
), T E
(T M
) ... 模 的 截 止
频率。
11
（2） H E m 模 特征方程
J nⅱu ) ( u J n (u ) + K n (w) w K n (w) = - n( 1 u
和 E H n - 1 ， m 模线性叠加，得 n + 1， m
到的是直角坐标系下的线偏振模，这就是LP（Linearly Polarized Mode）模的来源。 LPom模是由HE1m模得到；LP1m模是由TEom、TMom和 HE2m模线性组合得到；LP2m模是由EH1m模和HE3m模线 性组合得到，…
b - k0 n2 f 0
2
2
2
所以，R（r）的解应取第二类变形的贝塞尔函数( K函数 ) 令 得
w = (b
2 2
- k 0 n1 ) a
2
2
2
轾z 2 轾 E C w r in j 犏 = 犏 Kv( )e 犏 犏 H D a 臌 臌 z2
6
c.重要结构参量：归一化频率V
V
2
= u + w = k 0 a ( n1 - n 2 ) = (