卡尔曼滤波器第五篇

第五章 卡尔曼滤波器的应用

卡尔曼滤波器在INS 中的构成方式

在INS 中，KF 可以有两种最基本的构成方式：（1）开环系统；（2）闭环系统，下面将分别叙述。

5.1.1 开环系统

开环系统是对状态（或误差）进行估值，即进行最优估计，如图5-1所示。

图5-1 开环系统结构图

图中，W ：INS 的输入信息； N ：真实的导航参数（INS 输出）； X ：误差（INS 输出）；∆：外界测量装置输出误差。

由图5-1可以看出，惯性导航系统与外界量测装置在处理某些导航参数N 时，会出现误差X 及∆，根据误差X 及∆的统计特性，并利用进入KF 的量测信息Z ，

可以做出最优估计X

ˆ及∆ˆ。由于选定INS 作为基本的量测系统，则由KF 的输出，可以给出这个系统量测误差的最优估计X

ˆ，并利用X ˆ去补偿X ，得出剩余误差X X X ˆ~-=，于是导航参数N 的误差，等于最优估计误差X ~。

适合最优估值的模型，和我们在前边讨论的公式是一致的，即为

X ˆ

⎩⎨

⎧+=+=--k

k k k k k V HX Z W AX X 1

1 （5-1） 有

(

)

[](

)

()()k

k k k k k k k k k k

k k k k k

k k KV W KH I X KH I A X HA V W AX H K X A W AX X H Z K X W AX X X X --+-=-++--+=---+=-=------------111

1111111~

ˆˆˆˆˆ~ （5-2）

式（5-2）说明，动态系统是按KF 之后所构成的开环系统最优估计误差k X ~

的动态

特性，一定要注意，要使k

X ˆ去补偿k X 。 5.1.2 闭环系统

闭环系统结构如图5-2所示。

图5-2 闭环系统结构图

闭环系统方案的特点是：KF 的输出值对INS 构成一个反馈，在反馈信号加入之前（即反馈闭合之前）进入KF 的信号与开环情况是一致的。

闭环系统的方程式为

⎩⎨

⎧+=++=--k k k

k k k V HX Z W U AX X 1

1 （5-3）

在状态方程中，比（5-1）式多了一个控制项，它的KF 公式为：

[

][

]

[]-

-------=+=-+=+=k k k k T k T k k k

k k k k k k P H K I P R H HP H P K X H Z K X X U X A X ˆˆˆˆˆ1 (5-4)

这就是通常说的闭环系统KF 方程，和无控制输入的开环系统的KF 相比，除预测方程外，都是一样的。预测方程增加了一项控制输入U ，为了简单，U 取如下形式

KZ U -= （5-5）

则系统动态方程为

[]()()k

k k k k k k k k k KV W KH I X KH I A V HX K W AX KZ

W AX X --+-=+-+=-+=------111111 （5-6）

比较（5-3）与（5-6）式可以看出，用X 表征的闭环系统的动态特性与k X ~

表征的开环系统的最优估计误差的动态特性是完全一致的。因此，引入反馈信号，能使INS 处理导航参数N 的误差等于最优估计误差。这时，闭环系统的状态向量

X 实际上相当于开环系统的最优估计误差向量k X ~

。

需要说明，不是所有的反馈控制都能找到自己在物理上可实现的作用点。比如，包含在状态方程中的成型滤波器方程，对于它结构中的积分器，在物理上是无法实现反馈控制的。

采用卡尔曼滤波器对INS 实现最优阻尼

5.2.1 基本惯性器件统计模型

由陀螺引入的误差项是一个有色噪声，在讨论它的误差时，人们往往认为它

的有规律部分已经完全补偿。写入方程中的为随机部分，通常由两部分组成

s c εεε

+= （5-7） 式中，c ε为零均值方差为2c εσ的随机常值，而它的随机分量一般认为是指数相关的，它的自相关函数表达式为

()τ

μεεετ-=e

A R （5-8）

式中，2

εεσ=A 为陀螺随机漂移速率的方差，εμ1为相关时间常数。

这样，构成一个由白噪声激励的线性动态系统，使其输出具有上述统计特性

()()()t q A t t s s ⋅=+εεεμεμε

2 （5-9） 式中，()t q 是强度为1的白噪声，它的数学期望为零，相关函数为

()()[]

()τδ-=t t q t q E T （5-10）

对其常值漂移，有方程式

0=dt

d c

ε （5-11） 对于加速度计，可以比照上式，写出类似方程。但人们常常只认为加速度计有常值误差。

5.2.2 单通道纯INS 的讨论

我们以北向水平回路为例，来分析单通道INS 的情况。

图5-3 INS 系统北向水平回路结构图

(

V N

图中，a K ：加速度计刻度因数； I K ：回路的电流变换系数；

t K ：陀螺力矩器刻度因数（采用单自由度陀螺）； H ：陀螺角动量； R ：地球半径； g ：重力加速度。 对图5-3中参数进行舒拉调整

R

H K K K t I a 1

= （5-12） 系统的动态特性将不受运动体加速度的影响，系统的误差特性如图5-4所示。

图5-4 误差特性结构图

图中，A ∆：加速度计零位误差； ω∆：平台运动的角速度； ε：陀螺漂移角速度； α：平台失调角。

从图5-4中可以看出，惯导平台的失调角α，在经过舒拉调谐后，取决于加速度计零位误差()t A ∆和陀螺漂移()t ε。设这两个量均为随机信号，均值为零，即

()[]()[]0==∆t E t A E ε （5-13）

取状态变量

[]A X T ∆∆=ε

α

ω （5-14）

系统的状态方程为