数列在现实生活中中的应用及其求解策略

数列在现实生活中的应用及其求解策略

云南会泽县第一中学郭兴甫唐孝敬邮编：654200 数列是特殊的函数，其与方程、不等式联系紧密，在现实生活中应用广泛，

在利用数列解决现实中的问题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，弄清蕴含在问题中的数学关系，把应用问题转化为数学中的等差数列、等比数列问题，然后求解。本文举例说明数列在现实生活中的应用及其求解策略，以期对同学们的学习有所帮助！

一、方案设计型

例1•某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元, 第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两次方案的使用期都是10 年，到期一次性归还本息。若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算，试比较两种方案中，那种获利更多？

(参考数据 1.0510 1.6,1.31013.7,1.51055.6)

分析：这是一道比较常见的数列应用问题，方案选择，由于本息与利润是熟知的概念，对甲方案，每年的获利满足等比数列；对乙方案，每年获利构成等差数列，因此只需建立通项公式，求和公式，并运用所学过的公式求解即可.

1 310 1

解：对甲种方案获利为：1 (1 30%) (1 30%)2(1 30%)942.3

0.3

(万元)

银行贷款本息和：10 (1 5%)1016 (万元)

故甲种方案纯利：42.3 16 26.3 (万元)

对乙种方案获利：1 (1 0.5) (1 2 0.5) (1 9 0.5)

10 1 10 9

0.5 32.5（万元）

银行贷款本息和：1.05 [1 (1 5%) (1 5%)2（1 5%）9]

1.05 1.0510 1

0.05

12.6 （万元）

故乙种方案纯利：32.5-12.6 19.9(万元)

综上由26.3 19.9可得，甲方案更好。

二、汽车保有量问题

例2.为综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规.某大城市2012年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，

同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌•经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌.

(1)问：到2016年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；

(2)根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解•问：至少需要多少年可以实现这一目标.

(参考数据：0.9540.81，0.9550.77，|g0.75 0.13，lg 0.95 0.02)

分析：(1 )首先将实际问题分析，得到关于各年年初机动车保有量的递推关系，然后结合数列的性质，构造得到等比数列，进而得到其通项公式

(2)在第一问的基础上，解关于 n的不等式，进而估算法得到结论

(1)设2012年年初机动车保有量为a1万辆，以后各年年初机动车保有量依次

为a2万辆，a3万辆，.. ，每年新增机动车10万辆，则a1 600 , a n 1 0.95a n 10 . 又a n 1200 0.95(a n 200)，且a1200 600 200 400

所以数列｛a n 200｝是以400为首项，0.95为公比的等比数列.

所以a n 200 400 0.95n 1，即a n 400 0.95n 1 200 .

所以2016年初机动车保有量为a5 400 0.954 200 524万辆.

(2)由(1 )题结论可知，a n 400 0.95n 1 200 500，即0.95n 1 0.75 ,

所以n lg M 1 7.5，故至少需要8年时间才能实现目标

lg 0.95

评注：本试题主要是考查了数列在实际生活中的运用，借助于等比数列的概念，

和等比数列的通项公式来表示机动车保有量，然后借助于不等式的相关知识，求解对数不等式，得到结论。

三、旅游问题

例3.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游

1

产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业

5

收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比1

上年增加

4

(1)设n年内(本年度为第1年)总投入a n万元，旅游业总收入为b n万元，写出a n,b n的表达式；

⑵至少要经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

分析：由题意每年投入的资金数成等比数列，旅游收入成等比数列，可把这个实际问题转化为等比数列的求和问题，进而转化为不等式求解。

1

解：⑴第1年投入800万元，第2年投入800 (1 )万元，…，第n年投入

5

1

800 (1 -)n 1万元，

5

1 1 _ 4

所以，n 年内的总投入a n800 800 (1 ) 800 (1 )n 14000 [1 ( )n]

5 5 5

— 1 —

第1年旅游业收入为400万兀，第2年旅游业收入为400 (1 )万兀，…，第n年旅游业

收入为400 (1 1 )n 1万元，

4

所以n 年内的总收入b n400 400(1 1) 400(1 1)n 11600 [(|)n1].

(2)设至少经过n年旅游业的总收人才能超过总投入，因此b n a n 0,

即1600 [(5)n1] 4000 [1 (4)n] 0，

4 5

化简得5 ( 4)2 (5)" 7 0,，即(号)"—，可得n 5

所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.

评注：解数列应用题应明确问题是属于哪一类应用问题，即明确是等差数列问题还是等

比数列问题，还是含有递推关系的数列问题，是求通项公式，还是求前n项和公式，转化为

数列，不等式问题解决。

四、国家助学贷款问题

例4•国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款 (即无利息贷款)，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费•每一年度申请总额不超过6000元.某大学2013届毕业生小王在本科期间共申请了 24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5% 直到4000元.小王计划前12个月每个月还款额为500 ,第13个月开始，每月还款额比前一个月多x元.

(1)假设小王在第m个月还清贷款(m 36,m N )，试用x和n表示小王第n

(n m,n N )个月的还款额a n ;

(2)当x 40时，小王将在第几个月还清最后一笔贷款？