初三下学期数学知识点总结

初三下学期数学知识点总结

第二十六章二次函数

26.1 二次函数及其图像

二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项

式函数。二次函数能够表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存有如下关系：

一般式

y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-

(4ac-b∧2)/4a) ;

顶点式

y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和

图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用

配方法把一般式化成顶点式;

交点式

y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的

抛物线] ;

重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，

a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y

轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0, 所以

b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在

y轴左;当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______

Δ= b^2-4ac0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①当x=1时 y=a+b+c

②当x=-1时 y=a-b+c

③当x=2时 y=4a+2b+c

④当x=-2时 y=4a-2b+c

二次函数的性质

8.定义域：R

值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，

正无穷);②[t，正无穷)

奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。

周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0，则抛物线开口朝上;a0，图象与x轴交于两点：

([-b-√Δ]/2a，0)和([-b+√Δ]/2a，0);

Δ=0，图象与x轴交于一点：

(-b/2a，0);

Δ0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且

X≦(X1+X2)/2时Y随X

的增大而减小

此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

用)。

交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相对应X1 X2值。

26.2 用函数观点看一元二次方程

1. 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，所以就是方程的一个根。

2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

26.3 实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率等问题，有些可归结为求二次函数的值或最小值。