天津大学高等代数2007

天津大学07年高等代数

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一、填空（每小题4分）

1、 设三阶方阵

123123123123[,,],[,24,39]A B B

αααααααααααα==++++++，

若A

=5，则B =

2、

设向量组的秩

12341235{,,,}4,{,,,}3

r r αααααααα==，则

1

2

34{,,,}

r ααααα+=

3、 0

0111

0a b ??

??

??????

课对角化，则a = 4、

设((0,1),(0,2),(0,3),(1,4),(1,5))

J

diag J J J J J =为线性空间V 上的线性变

化Α的Jordan 标准型，则A 的线性无关特征值向量的最大数目为： ，A 的最小多项式为 5、

设1

2[1,2,2],[2,1,2]

T T

X

X ==-都是三阶实对称矩阵A 的特征向量，则

3X = 是A 的单位特征向量，并满足123

,,0X X X >。

二、 选择（每小题4分） 1、 下列矩阵中不只与自身的多项式可交换的是（）

A

1

000200

3??

????????

B

100011

0??

????????

C

1

100100

2??

????????

D

1

100100

1??

????????

2、设1234,,,αααα是线性空间V 的一个基，则（）也是V 的一个基 A 1223344

1,,,αααααααα++++ B 122

33441

,,,αααααααα---- C

12233441,,,αααααααα+++- D 12233

441

,,,αααααααα++--

3、已知三个平面(1,2,3)i i i i a x b y c z d i ++==，它们所组成的线性方程组的系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，则三个平面

A 交与一点

B 其中之一与另两个的交线平行

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C 互相平行

D 交于一条直线

4、设0

12123003,0040

00

1A B -????

????

==???

?????????

，则（）有完全相同的特征向量 A

A

与2A B A

与3A C B

与2B D

B

与3B

5、设,A B 都是n 阶实对称矩阵，则下列说法中错误的是 A 若E A

E B

λλ-=-，则A 与B 相似

B 若33A B =，则A B =

C 若22

A B

=，则A B =或者A B =-

D

2

A E

+是可逆矩阵

三、每题10分

1、设n 阶方阵A 与2A 相似，求证n A O

=

2、设A 为n 阶方阵，求证2

()()A E r A E r A E n

=?-++=

3、矩阵6

6151551

2

2A -????=-????-??与3

010

320

3B ??

??=?

?????

是否相似？（要求充分理由）

4、设实对称矩阵A 的阶数为偶数，且满足326116A A A E O +++=，求证A 的伴随矩阵*A 为负定矩阵。 四、每题15分

1、设A 为m n ?矩阵，B 为s n ?矩阵，且齐次线性方程0

A X

=的解都是

B X =的解，求证B 的行向量组必可由A 的行向量组线性表示。

2、设A 为3[]R x 上的线性变换，,,a b c R ?∈， A 22()(33)(353)(664)a bx cx a b c a b c x a b c x ++=-++-++-+ 求3[]R x 的一个基，使得A 在该基下的矩阵为对角矩阵。 五、每题20分

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1、设V 是数域P 上的线性空间，12,V

W W =⊕A 1，A 2

分别为12,W W 上的线

性变换，定义法则A 如下：A 12()2αα+=A 11()α-3 A 22()α，1122,W W αα?∈∈。 （1）求证A 是V 上的线性变换； （2）求证1W 是A-子空间； （3）若1122dim ,dim ,det

W n W n ==A 11d =，d et A 22d =，求d et A 。

2、设A 为实对称矩阵

（1）求证存在实对称矩阵B ，使得3A B =

（2）若0

222342

4

3A ??

??

=??????

，求实对称矩阵B ，使得3A B =