光纤光栅的特性

光纤光栅的特性

1．光纤布喇格光栅的理论模型：

假设光纤为理想的纤芯掺锗阶跃型光纤，并且折射率沿轴向均匀分布，包层为纯石英，此种光纤在紫外光的照射下，纤芯的折射率会发生永久性变化，对包层的折射率没有影响。 利用目前的光纤光栅制作技术：如全息相干法，分波面相干法及相位模板复制法等。生产的光纤光栅大多数为均匀周期正弦型光栅。纤芯中的折射率分布（如图1）所示。

)(1Z n 为纤芯的折射率，m ax n ∆为光

致折射率微扰的最大值，

)0(1n 为纤芯原折射率，

Λ为折射率变化的周期（即栅距），

L 为光栅的区长度。

若忽略光栅横截面上折射率分布的不均匀性，光栅区的折射率分布可表示为：

)2cos()0()(max 11Z n n z n Λ

∆+=π

…………………………………………………（）

显而易见，其折射率沿纵向分布，属于非正规光波导中的迅变光波导，在考虑模式耦合的时候，只能使用矢量模耦合方程，其耦合主要发生在基模的正向传输导模与反向传输导模之间。

2．单模光纤的耦合方程

由于纤芯折射率非均匀分布,引起了纤芯中传输的本征模式间发生耦合。在弱导时, 忽

略偏振效应,吸收损耗和折射率非均匀分布引起了模式泄漏,则非均匀波导中的场Φ( x , y ,

z ) 满足标量波动方程:0),,(}),,({22

2

20

2=Φ∂∂++∇z y x z

z y x n sk t

…………………（）

其中：λπ/20=k ，λ是自由空间的光波长。

2

22

2

1}{1ϕ

∂∂+∂Φ∂∂∂=Φ∇Φ

r r r r r t

………………………………………………… 由于折射率非均匀分布引起波导中模式耦合只发生在纤芯中,因此非均匀波导中的场 可以表示为均匀波导束缚模式),(y x φ之和:

),()}exp()exp()({),()(),,(y x z i a z i z a y x z A z y x l l l l l l

l l l

φββφ-+-∑=∑=Φ………

)(1z A 则表示与),(1y x φ相联系的全部随z 变化的关系。本节讨论省去了所有对结论无影响的)exp(t j ω的因子。

其中),(1y x φ满足方程：0}),({2

2202=-+∇l t aver t y x n k φβ…………………………

将∑⋅=

Φl

l l

A

φ代入中，并利用消去含有l t φ2∇的项，并按模式耦合理论的一般方法进行处

理,化简时略去高次项,则可以得到一个正向传输模与同一反向传输模间的模式耦合方程:

)2exp(2)2exp(21111z i a D

dz da z i a D

dz da ββ

ββ

--=-=--……………………………………………（）

ηφφβ

βaver aver A A aver n n n ik dA dA

n n ik D co

2)()(222

202

22

220-=-=⎰

⎰∞

………………………… 其中dA

dA

A A co

⎰⎰∞

=

2

2

φ

φ

η…………………………………………………………（2 .7）

是芯层中的功率百分比。在阶跃折射率剖面光纤中,基模可以用高斯函数近似代替,代入式中得：21

1V

-

=η，其中V 为光栅的结构常数。

其中βββ=-=-11 为传播常数。根据射线理论，光纤中模场的传播常数

λπβ/2n =。在单模光纤中n 近似等于原纤芯折射率)0(1n 。

由于)cos(222

2

222z n n n n n n n n n n n n n n aver aver aver

aver aver

aver aver aver aver θ∆=-=-≈-=-……（） 其中：Λ

=π

θ2 所以

)cos(2)cos(20z n i z n ik D θηλ

πθηβ∆=∆=…………………………………… 令耦合系数ηλ

π

n C ∆=……………………………………………………………… 将,代入和得：

)

2exp()cos(2)

2exp()cos(21111z i z a C i dz

da z i z a C i dz da βθβθ⋅-=⋅-=--………………………………………………（）

又)(21)2cos()cos(22Λ-Λ+=Λ=π

π

πθi i e e z z 代入，并省略高次项])(2exp[z i βπ

+Λ

则 ]2exp[]2exp[11

11

z i a iC dz

da z i a iC dz

da ββ∆-⋅-=∆⋅-=--………………………………………………………（）

其中Λ

-

=

∆π

ββ

设折射率扰动区间)(2,1Z Z ,长度为L ，不难得到边界条件：在1Z 处L ＝0，1)0(1=a ，在2Z 处，0)(1=-L a 。利用此边界条件，可解出方程

)]

(sinh[)]cosh()[sinh()

exp()()]}

(cosh[)](sinh[{)]

cosh()sinh([)

exp()(11L z S SL iS SL z i C Z a L z S iS L z S SL iS SL z i Z a --∆-⋅=-+-∆-∆∆-=

-ββββ

其中：2

2

2

β∆-=C S

因此得到端口处( z = 0) 当2

2

β∆≥C 时入射光的反射率为：

)

(cosh )(sinh )

(sinh )0()0(),(2222222

11SL S SL SL C a a L R +∆==-βλ……………………………

当0=∆β，即Λ=n 2λ时，满足相位匹配条件，可以化为：

)(tanh 2max CL R =

当2

2β∆

QL

k QL C a a L R 2

22222

11cos )(sin )0()0(),(-∆==-βλ…………………………………………（） 其中2

2

2

C Q -∆=β