中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线22343

2333

y x x =-

-+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；

（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；

（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323

y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103）

【解析】 【分析】

（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵2343

2333y x x =-

-+a=233

-

，则抛物线的“衍生直线”的解析式为

2323

y=x+

33

-

； 联立两解析式求交点22343

2333

2323

y=x+33y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩

，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩，

∴A （-2，23），B （1,0）； （2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ， 在223432333

y x x =-

-+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），

∴AC=22-++2133=（23）（）

由翻折的性质可知AN=AC=13， ∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”， ∴N 在y 轴上，且AD=2， 在Rt △AND 中，由勾股定理可得 DN=22AN -AD =13-4=3， ∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，

∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；

（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ， ∴∠ ACK=∠ EFH ， 在△ ACK 和△ EFH 中

ACK=EFH

AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪

∠∠⎨⎪⎩

∴△ ACK ≌△ EFH ，

∴FH=CK=1，HE=AK=23，

∵抛物线的对称轴为x=-1，

∴ F点的横坐标为0或-2，

∵点F在直线AB上，

∴当F点的横坐标为0时，则F（0，23

3

），此时点E在直线AB下方，

∴E到y轴的距离为EH-OF=23-23

3=

43

3

，即E的纵坐标为-

43

3

，

∴ E（-1，-43

3

）；

当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，

∵ C（-3,0），且A（-2，23），

∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），

设E（-1，t），F（x，y），

则x-1=2×（-2.5），y+t=23，

∴x= -4，y=23-t，

23-t=-23

3

×（-4）+

23

3

，解得t=

43

-

3

，

∴E（-1，43

-

3），F（-4，

103

3

）；

综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43

3

）、（0，

23

3

）或E（-1，

43 -

3），F（-4，

103

3

）

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题

2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线

y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；

（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）﹣3；（2）y 13

=x 2

﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】 【分析】

（1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；

（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】

（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得： m ＝﹣3；

（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得： x ＝3，

所以点B 的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：

3

90b a b =-⎧⎨

+=⎩

， 解得：133

a b ⎧

=⎪⎨⎪=-⎩，

所以二次函数的解析式为：y 13

=

x 2

﹣3； （3）存在，分以下两种情况：