第二次测试及答案

第二次测验

1、设窄带平稳随机过程

00()=()cos -()sin X t a t t b t t ωω的功率谱密度()X S ω满足：

000

()=02(+)=()

0X X X S S S ωωωωωωωωω⎧≥⎪⎨-≤≤⎪⎩

求()X t 的自相关函数及自相关函数的预包络（等效带通形式）和包络。 解：()=[()()]X R E X t X t ττ+

00000000=()cos cos (+)()cos sin (+)()sin cos (+)+()sin sin (+)

a a

b ba b R t t R t t R t t R t t τωωττωωττωωττωωτ--

因为()=()a b R R ττ，()=()ab ba R R ττ-

所以00()=()cos +()sin X a ba R R R ττωττωτ 根据题意知()X S ω在频带内关于中心频率0ω对称，

所以()=0ba R τ，0()=()cos X a R R ττωτ 自相关函数的预包络0()=()j X a R R e ωτττ；包络为()a R τ

2、某接收机如图所示，乘法器和低通滤波器构成同步检波器。其中窄带中放1()H f 的幅频特性表示为，()

1H f K =（00,f f f f f ±≤∆∆）

。低通滤波器2()H f 的幅频特性表示为()

21H f

=（f f ≤∆）。输入信号中()0[1()]cos i S t A mx t t

ω=+(其中A 、0ω为常

数)，()X t 是包含有用信息的遍历随机信号，其等效噪声带宽小于f ∆。()i N t 是功率谱密度为20N 的白噪声。求同步检波器输出信噪比以及与输入信噪比之间的关系。

(i S )

解：窄带中放的输出信号为()0[1()]cos S t KA mx t t

ω=+

输出噪声为窄带高斯噪声00()=()cos ()sin N t a t t b t t ωω-

经过乘法器后输出记为()Z t ，则

(){}{}0000000[()()]2cos =[1()]+()cos 2cos ()sin 2cos 1+cos 2=[1()]+()()sin 22

Z t S t N t t

KA mx t a t t t b t t t t

KA mx t a t b t t

ωωωωωωω=+⋅+⋅-⋅+-

在经过低通滤波的输出(){}1

[1()]+()2

Y t KA mx t a t =+ 其平均功率为

(){}{}{}22

2222222221[1()]+()41

=+[()]+[()]41

+2[()]+2[()]+2[()()]4E Y t E KA mx t a t K A K A m E x t E a t K A mE x t KAE a t KAmE x t a t ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎢⎥⎣⎦

由于[()]=0E x t ，[()]=0E a t ，

0022+2

2

010-[()]=[()]

=2()=22

f f f f

E a t E N t N H f df K N f

∆∆∆⎰

所以(){}2

22

2222201+[()]+24

E Y

t K A K A m E x t K N f ⎡⎤=

∆⎣⎦ {}2220

01+[()]2A m E x t S N N f ⎛⎫

=

⎪∆⎝⎭ 3、设图中系统的输入过程是功率谱密度为20N 的零均值高斯白噪声)(t X ，

θ在)2,0(π上均匀分布且与)(t X 独立，试求)(t Y 的自相关函数。

00

解：由题意得：

)2()2(

)(0

01B

f f rect B f f rect f H ++-= )2(

)(2B

f rect f H = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-=

=)2()2(2

)()()(0002

11B f f rect B f f rect N f S f H f S X X )2cos()()(012θπ+=t f t X t X

因为θ在)2,0(π上均匀分布且与)(t X 独立，所以θ与)(1t X 独立

[][]{}

)2cos()(2

1

))(2cos()()2cos()()(0010112τπτθτπτθπτf R t f t X t f t X E R X X =+--+=

[])]2()2()2(2[8)()(2

1

)(21)(0000012B

f f rect B f f rect B f rect N f f f f f S f S X X ++-+=++-*=

δδ

)2(4)()()(02

2B

f

rect N f S f H f S X Y =

= 利用傅里叶变换得到：

τ

τ

τB B BN R Y 22sin 21)(0=

4、某雷达系统的理想平方律检波器输入的波形为0()cos()()X t a t N t ω=+Θ+，式中a 是常数，相位Θ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量；()N t 是均值为零的平稳高斯噪声，其功率谱密度为

00,

()220,

N f f

N f f f S f f ∆∆⎧

-

<<+⎪=⎨⎪⎩其它 Θ与()N t 独立。求输出信噪比，并讨论与输入信噪比的关系。