云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案
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0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式： ）（其中 ）
19．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1= ，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E．
不使用移动支付
40
合计
100
（1）将上 列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？
（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为 ，求 的分布列及期望.
其中 底面 ， ，在△ 中， ， 边上的高为2，
所以三棱锥 的体积为 .
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线 平行，则 __________.
14．已知函数 ，则 ________．
15．设实数 ， 满足不等式 ，当 时取得最小值时，直线 与以 为圆心的圆相切，则圆的面积为________．
16．已知三棱锥 外接球的表面积为 ， 是边长为 的等边三角形，且平面 平面 ，则三棱锥 体积的最大值为______．
试题分析：因为 ,而 ,令 ,故 ,故,常数项为 ,应选C．
考点：定积分的计算及二项式定理的运用．
6．A
根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.
解：
因为
又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B和D.
又 ，故排除C.
故选：A.
7．A
首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积即可.
解：
由题意，该几何体的直观图为三棱锥 ，如下图，
三、解答题
17．已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
18．移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查曲靖市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到 列联表如下：
35岁以下（含35岁）
35岁以上
合计
使用移动支付
40
50
3．定义： ，当五位数 满足 ，且 时，称这个五位数为“凸数”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（）
A． B． C． D．
4．若 ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
5．若 ，则 的展开式中常数项为（）
A． B． C． D．
6．函数 在 的图像大致为（）
22．在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ．
（1）若 与 相交于 两点， ，求 ；
（2）圆 的圆心在极轴上，且圆 经过极点，若 被圆 截得的弦长为 ，求圆 的半径．
23．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围，
参考答案
1．A
先化简集合 ，再求 得解.
解：
，
则 .
故选：A
点评：
易错点睛：解不等式 容易漏掉函数的定义域 ，从而得到 ，导致出错.解答函数的问题，要注意“定义域优先”的原则.
2．B
根据共轭复数的定义求得 ,再计算 即可.
解：
因为 与 互为共轭复数故 ,所以 .
故选：B
点评：
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.
3．D
由列举法列举出满足条件的基本事件，即可根据古典概型的概率公式求出结果.
解：
由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6个基本事件，
所以恰好为“凸数”的概率为 .
故选D
点评：
本题主要考查古典概型，列举法求古典概型的概率只需熟记古典概型的概率公式即可求解，属于基础题型.
4．B
利用同角三角函数的基本关系,结合题中 的范围求出 ,由两角和的正弦公式即可求解.
解：
因为来自百度文库，所以 ， ，
所以 ，
.
故选：B
点评：
本题考查同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式;考查运算求解能力;熟练掌握象限角的三角函数符号和两角和的正弦公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
5．C
【解析】
A．153B．171C．190D．210
10． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 与函数 的图象交于点 ，若函数 的图象在点 处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．
12．已知函数 是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有 ，当 时， ，若 ，则实数a的取值范围是（）
（1）求证：四边形ACC1A1为矩形；
（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．
20．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 右焦点的直线 与椭圆 交于 两点，且与圆 交于 两点，求 的取值范围.
21．已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）设 ，若关于 的不等式 在 上有解，求 的取值范围.
A． B．
C． D．
7．某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 ，则该三棱锥的体积为（）
A． B． C．1D．2
8．抛物线 的焦点 是双曲线 的一个焦点，过 且倾斜角为 的直线 交 于 ，则 （）
A． B．
C． D．
9．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是( )
云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 ，若 与 互为共轭复数，则 （）
A． B． C． D．
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式： ）（其中 ）
19．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1= ，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E．
不使用移动支付
40
合计
100
（1）将上 列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？
（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为 ，求 的分布列及期望.
其中 底面 ， ，在△ 中， ， 边上的高为2，
所以三棱锥 的体积为 .
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线 平行，则 __________.
14．已知函数 ，则 ________．
15．设实数 ， 满足不等式 ，当 时取得最小值时，直线 与以 为圆心的圆相切，则圆的面积为________．
16．已知三棱锥 外接球的表面积为 ， 是边长为 的等边三角形，且平面 平面 ，则三棱锥 体积的最大值为______．
试题分析：因为 ,而 ,令 ,故 ,故,常数项为 ,应选C．
考点：定积分的计算及二项式定理的运用．
6．A
根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.
解：
因为
又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B和D.
又 ，故排除C.
故选：A.
7．A
首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积即可.
解：
由题意，该几何体的直观图为三棱锥 ，如下图，
三、解答题
17．已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
18．移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查曲靖市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到 列联表如下：
35岁以下（含35岁）
35岁以上
合计
使用移动支付
40
50
3．定义： ，当五位数 满足 ，且 时，称这个五位数为“凸数”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（）
A． B． C． D．
4．若 ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
5．若 ，则 的展开式中常数项为（）
A． B． C． D．
6．函数 在 的图像大致为（）
22．在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ．
（1）若 与 相交于 两点， ，求 ；
（2）圆 的圆心在极轴上，且圆 经过极点，若 被圆 截得的弦长为 ，求圆 的半径．
23．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围，
参考答案
1．A
先化简集合 ，再求 得解.
解：
，
则 .
故选：A
点评：
易错点睛：解不等式 容易漏掉函数的定义域 ，从而得到 ，导致出错.解答函数的问题，要注意“定义域优先”的原则.
2．B
根据共轭复数的定义求得 ,再计算 即可.
解：
因为 与 互为共轭复数故 ,所以 .
故选：B
点评：
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.
3．D
由列举法列举出满足条件的基本事件，即可根据古典概型的概率公式求出结果.
解：
由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6个基本事件，
所以恰好为“凸数”的概率为 .
故选D
点评：
本题主要考查古典概型，列举法求古典概型的概率只需熟记古典概型的概率公式即可求解，属于基础题型.
4．B
利用同角三角函数的基本关系,结合题中 的范围求出 ,由两角和的正弦公式即可求解.
解：
因为来自百度文库，所以 ， ，
所以 ，
.
故选：B
点评：
本题考查同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式;考查运算求解能力;熟练掌握象限角的三角函数符号和两角和的正弦公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
5．C
【解析】
A．153B．171C．190D．210
10． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 与函数 的图象交于点 ，若函数 的图象在点 处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．
12．已知函数 是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有 ，当 时， ，若 ，则实数a的取值范围是（）
（1）求证：四边形ACC1A1为矩形；
（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．
20．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 右焦点的直线 与椭圆 交于 两点，且与圆 交于 两点，求 的取值范围.
21．已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）设 ，若关于 的不等式 在 上有解，求 的取值范围.
A． B．
C． D．
7．某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 ，则该三棱锥的体积为（）
A． B． C．1D．2
8．抛物线 的焦点 是双曲线 的一个焦点，过 且倾斜角为 的直线 交 于 ，则 （）
A． B．
C． D．
9．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是( )
云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 ，若 与 互为共轭复数，则 （）
A． B． C． D．