概率论与数理统计习题及答案第七章

习题7-1

的样本，则0的矩估计量是(

).

(A) X .

(B) 2X .

解选(B).

2.设总体X 的分布律为

X -2

1

5

P

30

1-40

e

其中0v 0< 0.25为未知参数,X 1, X 2, , , X n 为来自总体X 的样本，试求0的矩 估计量.

解 因为 E(X)=(-2) >3 0+1X(1-4 0+5 X0=1-5 0 令 1_5v-X 得到 v 的矩估 计量为彳二1.

5

3.设总体X 的概率密度为

f A

严 1)x ；0 ::: x ：：：1, f (X ； V)

0, 其它.

其中0>1是未知参数，X 1,X 2,, ,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本 求：(1) r 的

矩估计量；

(2) 0的极大似然估计量. 解

总体X 的数学期望为

址 1

阳1 日+1

E (X ) = f xf (x)d x =[(日 +1) x dx = ----------------------

0+2

1.选择题

(1)设总体X 的均值

的样本, 则均值□与方差 (A) 2 X 和 S 2

. (C)

□和d . 解

选(D).

与方差都存在但未知 C 2的矩估计量分别是( 而X-X 2,…，X n 为来自X ).

1

(B) X 和 (X i

(D)

1

X 和 (X i

2

0>0为未知参数，又X i ，X 2，…，X n 为来自总体X

(C) max{ X i }. 1 < i < n

(D) min { X i }. 1 < i < n

⑵设X : U [0, v],其中 -X)

令E (X )= X ,即二！ =X ,得参数0的矩估计量为 彳

■■ 2

设X 1, X 2,, , X n 是相应于样本X 1, X 2,, , X n 的一组观测值，

2X -1 1 -x

则似然函数为

0,

当 0

,n)时，L>0 且 n

X

i

In ，0 ::: x i ：：：1,

L = n ln( v I))、In X i ,

i =1

A

d In L n 二 令

In

d v 71 -1 i 1

X i =0,得

0的极大似然估计值为 4-1

n

n

v

In X i

i

土

而的极大似然估计量为

4.设总体X 服从参数为

彳=-1

.二 In X

i

i -4

即X 的概率密度为

■的指数分布, 3 x 0,

f (X, ■)二

I 0,

其中，.0为未知参数,X i , X 2, , , X n 为来自总体 的矩估计量与极大似然估计量

1 -

解因为E(X)= =X ,所以，的矩估计量为

x < 0,

X 的样本，试求未知参数■

—.设 X 1, X 2,, , X n 是相

X

应于样本X i , X 2,, ,X n 的一组观测值，则似然函数

n -n _

L 二

■■■■ I

n

-'7 X i i 士

取对数

人 d In L n 二 令. X i

人 \=±

1 然估计

量为？==.

X

=0,得•的极大似然估计值为

? 1 -

,■的极大似

X

1.选择题：设总体

X ’，X 2,…,X n 为X 的样本， 的

无偏估计量•

X 的均值

则无论总体

与方差；「2都存在但未知，而 服从什么分布，(

2

)是.1和二

(A)

X i 和 (X

n i ±

n i 生

(C)

—J

X i 和

1

n -1 i ±

n -1

解 选(D).

2. 若x 1

,X 2 ,

X

(B)

1 n

X i 和

-1 i —

, n —2

(X i —X) •

1 1

2

—7 X i 和—v (X i 7 .

n i -4

、 i

n i -4

)的样本，且

X 2 • kX 3为」的无偏估计量，问k 等于多少？

解要求

1

E(—X ! 3

1 1 1 • — X

2 • kX 3)2 7

4 3 4

5

解之，k=.

1 2

5.设总体X 的概率密度为

0 ::: x ::: 1,

其它，

,X n 为来自总体的简单随机样本，记N

求：(1) B 的矩估计量；(2) B 的极大似然

3

3 —

解 (1) X =E(X)二 xvdx 亠 |X (1 - v)dx

,所以 <1 矩 X .

2

2

(2)设样本X 1,X 2,…X n 按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下 关系：

X (1) < X (2) w , w

x (N) <1 w X (N+1) W X (N+2)W , W X (n).

似然函数为

,,■'N(^-r-,X (1) W x (2) W ' "W X (N) <1

W X (N 1) W X (N 2) W X n ， LQ

|0, 其它.

考虑似然函数非零部分，得到

In L( 0) = N In 0+ (n - N) In(1- 0),

令d s o 二‘ 一口 =o ,解得0的极大似然估计值为

弓=楚.

d B

日1 —日

n

习题7-2

3.设总体X 的均值为0,方差匚2

存在但未知,又X 1, X 2为来自总体X 的

1 2 2

1< x < 2,

f (x,=) »1 七,

0,

.X 1, X 2,,

1的个数• 其中-(0＜二＜1 )是未知参数 为样本值x , ,x 2

, ,x n

中小于 估计量.

n

n

n

2

i

—'X )

.

3为来自总体

2

、(X i 」).(D)

i :—