第七章 等距抽样

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第七章 等距抽样
¡ (2)等距抽样简单明了，快速经济，操作灵活方 便，使用面广，是单阶段抽样中变化最多的一种 抽样技术。等距抽样最初用于森林和土地使用情 况的调查，后来经过汉森、麦多、科克伦等学者 的努力，使其成为当今家计调查、记录抽样、空 间抽样、工业抽样和为普查取得附加信息及估计 非抽样误差的一种常用方法。在我国，等距抽样 已成了最主要、最基本的抽样方式，一些大规模 的抽样调查，如农产量抽样调查、城乡住户调查、 产品质量抽样检查中都普遍采用了等距抽样。
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¡ (3)当N=nK时，等距抽样就等同于每层只抽一个 单元的分层抽样或群的大小相等时只抽一个群 的整群抽样。
¡ 因为，这时，总体各单元可排列成如下方式： y11 y21 … yi1 yk1 y12 y22 … yi2 yk2
┋┋┋ ┋┋
y1n y2n … yin ykn
¡ (二)估计量的方差
¡ 如前所述，如果总体单元是按无关标志排 列的，则其方差可按简单随机抽样去做。 若总体单元是按有关标志排列的，则此时 的等距抽样可以看作是整群抽样或分层抽 样的特例，因此，等距抽样估计量的方差 可以比照整群抽样或分层抽样的方法构造， 有几种表示方法。
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例：某街道50家企业，要调查企业生产经营状况。在 按工商登记注册资金排序后，下表列出了企业的职工 人数及累计人数：
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第三节 总体参数的估计
一、等概率抽样的情形 为讨论方便，仍假设N=nK,则在如下的排列
其中“+”号用于第一个样本单元，“-” 号用于第n个样本单元(下同)。当总体单 元具有严格的线性趋势时，加权的样本均 值就是总体均值。
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2、具尔豪斯与拉奥的方法
适用于N≠nK的情况，并采用循环等距抽样 法，设i为1～N中的随机数。
(1)若i+(n-1)K≤N，这时n个样本单元不经 过yN，则第1个样本单元和第n个样本单元 的权数分别为:
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2020/12/5
第七章 等距抽样
¡ 第一节 ¡ 第二节 ¡ 第三节 ¡ 第四节
等距抽样概述 等距抽样的实施方法 总体参数的估计 其它形式的等距抽样
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第七章 等距抽样
第一节 等距抽样概述
¡ 一、等距抽样的概念
¡ 等距抽样也称系统抽样或机械抽样。它是将总体 各抽样单元按一定的标志和顺序排列以后，每隔 一定的距离(间隔)抽取一个单元组成样本进行调 查。
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¡ (4)等距抽样的样本常被视为一个集体单 元，一般不计算样本调查变量的方差，所 以它只能抽象地进行理论分析，而不能对 抽样方差进行估计。
¡ (5)若总体中的单元呈周期性的变化，等 距抽样的精度可能很高也可能很差。这时 要慎重地选择K。
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¡ 三、等距抽样的特点
¡ (1)将总体各单元按一定的顺序排列后再 抽样，使得样本单元的分布更加均匀，因 而样本也就更具代表性，比简单随机抽样 更精确，在某些场合下甚至可以不用抽样 框。并且如果能够利用好样本的相应顺序 在总体中均匀分布这一特点，则容易形成 一个按比例样本。
¡ 在N≠nK时，把总体中的N个单元按一定顺序排 列成一个首尾相接的环(圆形图)，取最接近于 N/n的整数为抽样间隔K，然后在1到N的单元中， 随机抽取一个单元(设为第i单元)作为起点，再 沿着圆圈按一定方向每间隔K抽取一个单元，直 到抽够n个单元为止。按此方法，可以保证样本 量n不变。不过此时首尾两个样本单元的间隔不 一定恰好为K，它可能小于K，也可能大于K。
形式中，有：
(i=1,2,…,K)
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(一)估计量
设等距样本为表中第i列单元，且i是随机决 定的，总体均值的估计量用表示，则:
是 的无偏估计。
若N≠nK，则上述估计量是有偏的，但当n充 分大时，其偏倚可以充分小。
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¡ 三、中点等距抽样
¡ 1953年麦多为克服随机起点等距抽样容易 产生系统性偏差的缺点，提出中点等距抽 样(即抽取中心位置的样本)法：计算出抽 样间隔K后，以第一组的组中点为起点， 等距抽取单元组成样本。如果K为奇数， 以（K+1）/2为起点，K为偶数，以K/2或 (K+2)/2为起点。
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¡ 五、两端修正法
¡ 抽样方法同随机起点等距抽样时的情形。 但在计算总体均值的估计量时，对第一个 和最后一个样本单元加权，其余单元的权 数仍为1(在除以n以前)，以矫正由于起点 不在中心位置而引起的系统偏差。
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1、耶茨的方法：
设N=nK，i为1～K中的随机数，则两端的 样本单元的权数分别为：
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i+(j-1)K (j=1，2,…,n)
由于N不一定恰好是K的整数倍，所以按上述 方法得到的等距样本的样本量可能为
为避免这种样本量不能确定的情况，确保样 本量为n，1952年拉希里提出了循环等距抽 样的方法。
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¡ 二、循环等距抽样
¡ 一般，若随机起为i，则抽中的n/2对样本单元的 号码可以表示为
¡ i+2jK,2(j+1)K-i+1］ [j=0,1,…,(n/2)-1]]
¡ 当n为奇数时，式中的j由0变到(n-1)/2-1为止， 并且，要加上接近末端的第i+(n-1)K个单元。
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实际中，为便于对称等距抽样的实施，当N=nK时， 可以将原来由小到大(或由大到小)顺序排列的单 元按照顺逆交替的次序排列在一个表中，这样， 按随机起点等距抽样所抽取的样本即为对称等距 样本。所谓顺逆交替是指在单元的排序中，若第 一间隔由小到大排序，则第二间隔按由大到小排 序，以此类推。
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•中，
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¡ 循环等距抽样从本质上看仍然是随机起点等距抽 样。
¡ 我们注意到，当N=nK时，在上述两种抽样实施方 法中，无论按哪一种方法，总体中每个单元的入 样概率都相等，从而是一种严格的等概率抽样。 但当N≠nK时，按第一种方法每一个单元的入样 概率依赖于初始值i，对不同的i，稍有不同。以 下为了处理方便，我们假定N总是n的整数倍。在 实际工作中，若n充分大，则由于N/n非整数而带 来的影响就充分小，可以忽略不计。
¡ 1965年塞蒂提出了一种新的等距抽样方 法——对称等距抽样法，以克服总体的线 性趋势对估计效率的影响。
¡ 设N=nK,n为偶数。抽样时，先把总体单元 分成n/2个抽样间隔，使每一抽样间隔含 有2K个单元。然后，在每一抽样间隔内， 抽取分别与两端距离相等的两个单元，这 样共抽取n个单元组成等距样本。
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(2)若i+(n-1)K>N，设yN以后的样本单元有 n2个，则第1个样本单元和第n个样本单元 的权数分别为：
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六、总体有周期性变化时的等距抽样
有一些总体，其单元的标志值在随时间的自然排列 顺序中，会呈现某种明显或不明显的周期变化趋势。 如季节性消费商品的销售量，随一年四季的变化而 呈现出周期变化。还有些总体，反映出不明显的周 期影响。对有周期变化趋势的总体进行等距抽样时， 抽样间隔K的选择，对估计效率的影响是极为重要 的。为了说明问题，我们不妨假定总体单元标志值 的变化为一正弦曲线。
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¡ 即：如果随机起点为i，则在第一个抽样间隔所 抽两个样本单元的号码分别为i及2K-i+1；在第 二 个 抽 样 间 隔 所 抽 两 个 样 本 单 元 号 码 为 i+2K 及 2(2K)-i+1；如此，最后在第n/2个抽样间隔所抽 两个样本单元号码分别为i+(n-2)K及nK-i+1。
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¡ 2、辛的修正方法——中心对称等距抽样
¡ 1968年，辛等人提出另一种对称等距抽样 法——中心对称等距抽样法。即在有序排 列的总体单元中，从两端划分抽样间隔。 并从两端的抽样间隔开始，成对地抽取到 两端距离相等的单元组成等距样本。
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¡ 这里，仍假定N=nK。当n为偶数时，若随 机起点为i，则与之对称的样本单元号为 倒数第一个抽样间隔中的N-i+1；与第二 个抽样间隔中i+K对称的是倒数第二个抽 样间隔的(N-K)-i+1；如此，一直抽到中 间两个抽样间隔为止。一般，以i(i=1， 2，…，K)为随机起点的n/2对对称等距样 本单元的号码可以表示为：
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¡ 2、按有关标志排序
¡ 所谓有关标志排序，即用来对总体单元规 定排列次序的辅助标志，与调查标志具有 共同性质或密切关系。这种排序标志，在 我国抽样调查实践中有广泛应用，如农产 量调查，以本年平均亩产为调查变量，以 往年已知平均亩产作为排序标志。利用这 些辅助标志排序，有利于提高等距抽样的 抽样效果。
¡ 二、排序标志
¡ 等距抽样需要有作为排序依据的辅助标志。排序 标志各式各样，可自由选择，但归纳起来，可分 为两类，即无关标志和有关标志，它们对等距抽 样的作用和相应的估计精度各有不同的影响。
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¡ 1、按无关标志排序
¡ 所谓无关标志排序，即用来对总体单元进 行排序的标志，与所要调查研究的标志是 不同性质的，二者没有任何必然的关系。 如研究人口的收入状况时，按身份证号码、 按门牌号码排序非常方便，一般说来，这 些号码与调查项目没有关系，因此可以认 为总体单元的次序排列是随机的，所以也 有人直接称无关标志排序的等距抽样为无 序等距抽样。
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¡ 四、对称等距抽样法
¡ 对称等距抽样也是针对有序等距抽样所提 出的，其基本思想是使低标志值的单元与 高标志值的单元在样本中对等出现。从而 使样本的偏差缩小，代表性增强。由于具 体的方法不同，对称等距抽样又有几种类 型。
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¡ 1.塞蒂的方法——两两对称等距抽样
第二节 等距抽样的实施方法
¡ 一、随机起点等距抽样 ¡ 二、循环等距抽样 ¡ 三、中点等距抽样 ¡ 四、对称等距抽样法 ¡ 五、两端修正法 ¡ 六、总体有周期性变化时的等距抽样 ¡ 七、累计和等距抽样
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一、随机起点等距抽样
随机起点等距抽样就是前面概念所描述的方法。 具体地说，它是在总体单元排序后的第1至K单元 之间(第一个抽样间隔之内)随机抽取一个整数i， 以它作为起始单元的编号，以后按固定的顺序和 间隔依次在每个间隔之内各抽取一个单元组成等 距样本，则整个样本是由以下编号的单元所组成 的。
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¡ 七、累计和等距抽样
¡ 以上所讨论的等距抽样都是以各单元大小 相同为前提的，是等概率抽样。如果抽样 单元的大小不同，且单元的大小又与调查 变量相关时，用上述方法就不大合适了， 此时，应采用不等概率抽样。
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¡ 其基本思路是：在总体各单元按某一标志排序后， 累计各单元的大小Mi(当各抽样单元的大小用所 含下一阶单元的数目表示时，也可直接累计其下 一阶单元数)并进行编码，以总的累计数除以n作 为抽样间隔，用K表示，然后在最初的1到K个数 中随机确定一个数j(1≤j≤K)，j所对应的单元 即为第一个被抽中单元，以后每间隔K抽取一个 随机数，并按同样的方法确定出对应的单元作为 样本单元，组成等距样本。累计和等距抽样的原 理同上一章所讨论的群大小不等时群的代码法， 此法在实际工作中经常用到。
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［i+jK,(N-jK)-i+1］,[j=0,1,…, (n/2)-1]
当n为奇数时，式中的j由0变到[(n-1)/2]-1为止。 然后，再加上中间一个抽样间隔中的第i+(n1)K/2个单元。(我国抽样调查工作者提出在中间 一个抽样间隔抽取中点处的一个单元。)
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