圆锥曲线离心率题型(最新整理)

圆锥曲线的离心率题型解析

华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚 朱新婉

圆锥曲线的的离心率是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线e 的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带，在全国各地历年高考命题中，有关圆锥曲线离心率的试题屡见不鲜，因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要，也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念.本文以离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的解题有所帮助.

类型一：离心率的定义

例1 （2014湖北卷） 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且21,F F P ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

02160=∠PF F . ． ．334.A B 3

32C 3D 2

分析：既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含离21F PF ∆心率所需的“”，所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点.

c a 2,2解析：不妨设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，椭圆、)(,,21n m n PF m PF >==1a 2a 双曲线的离心率分别为，则由椭圆、双曲线的定义，得，，21,e e 12a n m =+22a n m =-平方得-------①， ------②，

212242a n mn m =++222242a n mn m =+-又由余弦定理得---------③，

2224c n mn m =+-由①②③消去得，即

.mn 2222143c a a =+4312221=+e e 再据平面向量不等式的坐标表示得

222)(⋅≤⋅22

122133111()11(e e e e ⨯+⨯=+316)31)(311(2221=++≤e e

所以.故选.3

341121≤+e e A 评注：圆锥曲线的离心率的定义是解决离心率问题的基础，值得注意的是，椭圆离心率a c e =

)1,0(∈e ；抛物线的离心率；双曲线的离心率.

1=e ),1(+∞∈e 类型二：离心率的几何意义

例支各一个交点，求的取值范围.

k

分析：双曲线离心率决定了双曲线的分布与形状，另外直线中的几何意义明显（直e 3:+=kx y l k 线陡峭程度），故本题可用数形结合求解.

且斜率为的直线与曲线的左右支各一个交点，直线必须绕在两直线)3,0(k 3:+=kx y l C l )3,0(

评注：离心率是圆锥曲线的特征数，它确定了圆锥曲线形状、分布等（做双曲线先画渐近线），借e 助这一几何意义，往往为“数形结合”解题带来便利.聪明的读者，在什么范围时，直线与双曲线k l 的右支（或左支）有两个交点呢？

C 类型三：求离心率的值

分析：求圆锥曲线的离心率，一般要根据已知条件（如等量关系、几何图形的特征等）建立关于c b a ,,

评注：有没有注意到条件，涉及到最终答案的取舍，也是能不能准确求解本题的关键.0>>b a 类型四：求离心率的范围

例4（2016浙江）如图，设椭圆)1(1222>=+a y a

x （Ⅰ）求直线被椭圆截得到的弦长（用表示）；

1+=kx y k a ,（Ⅱ）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围.)1,0(A 分析：求圆锥曲线的离心率取值范围，就是列出关于的不等关系，再解不等式.

e c b a ,,,解析：（I ）设直线被椭圆截得的线段为，由得1y kx =+AP ⎪⎩⎪⎨⎧=++=1122

2y a x kx y

，故，．02)1(2

222=++kx a x k a 01=x 222212k a k a x +-=因此．

22222121121k k a k

a x x k AP ++=-+=（II ）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点满足4y Q P ,．记直线的斜率分别为，且．

AQ AP =AQ AP ,21,k k 2121,0,k k k k ≠>且由（I ）知，，，2121

21

2112k k a k a AP ++=2222222112k k a k a AQ ++=故，=++2222

22

2112k k a k a 2222222112k k a k a ++所以，

0])2(1)[(22212222212221=-+++-k k a a k k k k 由于，得，

2121,0,k k k k ≠>且0)2(12221222221=-+++k k a a k k 因此.)2(1)11)(11

(222221-+=++a a k k 因为，所以关于的方程有解的充要条件是，

1)11)(11

(2221>++k k 21,k k 1)2(122>-+a a

则为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，

a >)1,0(A 31a <≤则．]22,0(11122∈-=-==a a a a

c e 评注：一般地，建立关于的不等式的方法主要有：利用题设指定条件、圆锥曲线的定义、圆锥c b a ,,曲线的方程（如参数方程）、圆锥曲线的性质（如范围）、二次方程的判别式、不等式等． 类型五： 与离心率有关的定值

例5（2014江西）如图，已知双曲线的右焦点，点分别在曲线的两)0(1:222>=-a y a

x C F B A ,C 条渐近线上，轴， (为坐标原点）.(1)求双曲线的方程；

x AF ⊥OA BF OB AB //,⊥O C (2)过曲线上一点的直线与直线相交于点，与直线C )0)(,(000≠y y x P 1:020=-y y a

x x l AF M