人教版勾股定理单元 易错题综合模拟测评学能测试试题

人教版勾股定理单元 易错题综合模拟测评学能测试试题

一、选择题

1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )

A ．121

B ．110

C ．100

D ．90

2．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在ABC 中，90ACB ∠=?，分别以ABC 的三条边为边向外作正方形，连结EB ，

CM ，DG ，CM 分别与AB ，BE 相交于点P ，Q ．若30ABE ∠=?，则

DG

QM

的值为（ ）

A ．

3 B ．

5 C ．

45

D ．31-

3．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )

A 2

B ．2

C 3

D ．4

4．如图，在Rt ABC 中，90BAC ?∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形

'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．9

5．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，D 为BC 边上的一点，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为（ ）

A ．2cm

B ．2.5cm

C ．3cm

D ．4cm

6．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直

角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2

()a b + 的值为（ ）.

A ．49

B ．25

C ．13

D ．1

7．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c ===C ．::3:4:5a b c =

D ．11,12,13a b c ===

8．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（ ） A ．h≤15cm B ．h≥8cm C ．8cm≤h≤17cm D ．7cm≤h≤16cm 9．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（ ）

A ．5

B ．4

C 7

D ．4或5

10．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，设正方形ADOF 的边长为

x ，则210x x +=（ ）

A ．12

B ．16

C ．20

D ．24

二、填空题

11．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝12，BC ＝5，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的最小值为 ．

12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=?，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点

A 落在A

B 上的点D 处；再将边B

C 沿CF 翻折，使点B 落在C

D 的延长线上的点B '

处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．

13．在△ABC 中，若2222

25,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____． 14．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．

15．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.

16．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．

17．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．

18．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．

19．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．

20．在Rt ABC 中，90A ∠=?，其中一个锐角为60?，23BC =P 在直线AC 上（不与A ，C 两点重合），当30ABP ∠=?时，CP 的长为__________．

三、解答题

21．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．

（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．

22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．

23．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．

24．如图所示，已知ABC ?中，90B ∠=?，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是

ABC ?的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．

（1）则BC =____________cm ；

（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________? （3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

25．已知ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，过顶点A 作射线AP .

（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知

21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.

①试证明ABD ?是直角三角形；

②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）

（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.

26．如图，△ABC 中，90BAC ∠=?，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ?<∠

（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).

（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.

27．如图，己知Rt ABC ?，90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =DB ，DA .

（1）直接写出BC=__________，AC=__________；

（2）求证：ABD

?是等边三角形；

（3）如图，连接CD，作BF CD

⊥，垂足为点F，直接写出BF的长；

（4）P是直线AC上的一点，且

1

3

CP AC

=，连接PE，直接写出PE的长.

28．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），

①若△DMN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

图1 图2 备用图

29．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足6

m ＋（n﹣12）2＝0．

（1）求直线AB的解析式及C点坐标；

（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；

（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．

30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．

（1）AE＝（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是度；

（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；

（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；

（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B 【分析】

延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】

解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形．

90CBF ∠=?，

90ABC OBF ∴∠+∠=?，

又

直角ABC ?中，90ABC ACB ∠+∠=?，

OBF ACB ∴∠=∠，

在OBF ?和ACB ?中，

BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠??

∠=∠??=?

， ()OBF ACB AAS ∴???，

AC OB =∴，

同理：ACB PGC ???，

PC AB ∴=， OA AP ∴=，

所以，矩形AOLP 是正方形， 边长347AO AB AC =+=+=，

所以，3710KL =+=，4711LM =+=， 因此，矩形KLMJ 的面积为1011110?=， 故选B ．

【点睛】

本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．

2．D

解析：D 【分析】

先用已知条件利用SAS 的三角形全等的判定定理证出△EAB ≌△CAM ，之后利用全等三角

形的性质定理分别可得30EBA CMA ==?∠∠，60BPQ APM ==?∠∠，

12PQ PB =

，然后设1AP =，继而可分别求出2PM =

，PQ =

，所以QM QP PM =+=

；易证Rt △ACB ≌Rt △DCG （HL

），从而得DG AB ==然后代入所求数据即可得DG

QM

的值． 【详解】

解：∵在△EAB 和△CAM 中 ，

AE AC EAB CAM AB AM =??

=??=?

∠∠， ∴△EAB ≌△CAM （SAS ）， ∴30EBA CMA ==?∠∠， ∴60BPQ APM ==?∠∠, ∴90BQP ∠=?,

1

2

PQ PB =

, 设1AP =

，则AM =2PM =

，1PB =

，PQ =

，

∴13

222

QM QP PM +=+=

+=

； ∵ 在Rt △ACB 和Rt △DCG 中，

CG BC

AC CD =??

=?

， Rt △ACB ≌Rt △DCG （HL ），

∴DG AB ==

∴1

DG

GM

=

=． 故选D ． 【点睛】

本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理等知识．

3．B

解析：B 【分析】

过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，由角平分线的性质得到OD=OE=OF ，根据勾股定理求出BC 的长，易得四边形ADFO 为正方形，根据线段间的转化即可得出结果. 【详解】

解：过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ， ∵BO,CO 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线， 所以OD=OE=OF ， 又BO=BO,

∴△BDO ≌△BEO,∴BE=BD. 同理可得，CE=CF.

又四边形ADOE 为矩形，∴四边形ADOE 为正方形. ∴AD=AF.

∵在Rt △ABC 中，AB=6，AC=8，∴BC=10. ∴AD+BD=6①, AF+FC=8②， BE+CE=BD+CF=10③，

①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14， ∴AD=2. 故选：B.

【点睛】

此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．

4．B

解析：B 【分析】

设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积. 【详解】

设AB=c ，AC=b ，BC=a ， 由题意得'A BC 的面积=13102a a ?=， 'AB C △的面积=1342b ?= ∴2

4033a =

21633

b =

在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2，

∴c 2=a 2-b 2=

∴'ABC △的面积=212c ?=6= 故此题选B 【点睛】

此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积

5．C

解析：C 【分析】

首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x ，则BD=8x -，在△BDE 中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】

在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：

10==，

由折叠的性质可知：DC=DE ，AC=AE=6，∠DEA=∠C=90°， ∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°， 设DC=x ，则BD=8-x ，DE=x ，

在Rt △BED 中，由勾股定理得：BE 2+DE 2=BD 2， 即42+x 2=(8-x)2， 解得：x=3， ∴CD=3． 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键．

6．A

解析：A 【分析】

根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果. 【详解】

根据题意，结合勾股定理a 2+b 2=25， 四个三角形的面积=4×1

2

ab=25-1=24， ∴2ab=24，

联立解得：（a+b ）2=25+24=49． 故选A.

7．D

解析：D 【分析】

根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形． 【详解】

解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形； B 、因为52+52

=()252

，故能构成直角三角形；

C 、因为()()()2

2

2

345x x x +=，故能构成直角三角形； D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形； 故选：D ． 【点睛】

本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．

8．C

解析：C 【分析】

筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得. 【详解】

当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm

AD 是筷子，AB 长是杯子直径，BC 是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长

由题意得：AB=15cm ，BC=8cm ，△ABC 是直角三角形 ∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AC=17cm ∴8cm≤h≤17cm 故选：C 【点睛】

本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，

然后再利用相关知识求解.

9．D

解析：D

【分析】

根据题意，可分为已知的两条边的长度为两直角边，或一直角边一斜边两种情况，根据勾股定理求斜边即可．

【详解】

当3和4为两直角边时，由勾股定理，得：

22

345

+=；

当3和4为一直角边和一斜边时，可知4为斜边．

∴斜边长为4或5．

故选：D．

【点睛】

本题考查了勾股定理，关键是根据题目条件进行分类讨论，利用勾股定理求解．

10．D

解析：D

【分析】

设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，整理方程即可．

【详解】

解：设正方形ADOF的边长为x，

由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，

∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，

在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，

即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，

整理得，x2＋10x﹣24＝0，

∴x2＋10x＝24，

故选：D．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．

二、填空题

11．

【解析】

试题分析：作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，

连接AB′、BE，则BE+ED=B′E+ED=B′D的值最小．∵点B关于AC的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴22

AC BC

+，

∵S△ABB′=1

2?AB?B′D=

1

2

?BB′?AC，∴B′D=

B1012120

1313

B AC

AB

'??

==,∴BE+ED= B′D=

120

13

.

考点：轴对称-最短路线问题.

12．96 25

【分析】

将△B′CF的面积转化为求△BCF的面积，由折叠的性质可得CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，可证得△ECF是等腰直角三角形，EF＝CE，∠EFC＝45°，由等面积法可求CE的长，由勾股定理可求AE的长，进而求得BF的长，即可求解．

【详解】

根据折叠的性质可知，CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，

∴∠DCE＋∠B′CF＝∠ACE＋∠BCF，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ECF＝45°，且CE⊥AB，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴EF＝CE，∠EFC＝45°，

∵S△ABC＝1

2

AC?BC＝

1

2

AB?CE，

∴AC?BC＝AB?CE，

∵根据勾股定理求得AB＝10，

∴CE＝24

5

，

∴EF＝24

5

，

∵AE22

AC CE

-

2

2

2418

6-=

55

??

?

??

，

∴BF＝AB?AE?EF＝10－18

5

－

24

5

＝

8

5

，

∴S△CBF＝1

2

×BF×CE＝

1

2

×

8

5

×

24

5

＝

96

25

，

∴S △CB′F ＝9625

， 故填：

9625． 【点睛】

此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．

13．

125

【分析】

解方程2

2

2

2

25,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高. 【详解】

解：∵2

2

2

2

25,7a b a b +=-=， 将两个方程相加得：2232a =， ∵a ＞0， ∴a=4

代入得：22425b +=， ∵b ＞0， ∴b=3，

∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理， ∴△ABC 是直角三角形， 如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，

1122ABC

S

AC BC AB CD =??=?? ， 即：11

34522

CD ??=??，

解得：CD=12

5，

故答案为：12

5

.

【点睛】

本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.

14．7或29或65

【分析】

分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．

【详解】

（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．

∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；

（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．

在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229

DE BE

=+=；

（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，

在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265

DE BE

=+=．

故答案为：7或29或65．

【点睛】

本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

15．21

【分析】

在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，先证明△ADC≌△AEC，得出

AE=AD=9，CE=CD=BC＝10的长度，再设EF=BF=x，在Rt△CFB和Rt△CFA中，由勾股定理求出x，再根据AB=AE+EF+FB求得AB的长度．

【详解】

如图所示，在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠EAC ． 在△AEC 和△ADC 中，

AE AD DAC EAC AC AC ??

∠∠???

＝＝＝

∴△ADC ≌△AEC （SAS ）， ∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10， 又∵CF ⊥AB ， ∴EF=BF ， 设EF=BF=x ．

∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°， ∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2， ∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，

∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2， ∴x=6，

∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21， ∴AB 的长为21．

故答案是：21. 【点睛】

考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．

16

．7

【解析】 【分析】

通过作辅助线转化BM ，MN 的值，从而找出其最小值求解． 【详解】

解：连接CN ，与AD 交于点M ．则CN 就是BM +MN 的最小值．取BN 中点E ，连接DE ，如图所示：

∵等边△ABC 的边长为6，AN ＝2，

∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，∴BE＝EN＝AN＝2，

又∵AD是BC边上的中线，∴DE是△BCN的中位线，∴CN＝2DE，CN∥DE，

又∵N为AE的中点，

∴M为AD的中点，

∴MN是△ADE的中位线，∴DE＝2MN，

∴CN＝2DE＝4MN，

∴CM＝3

4 CN．

在直角△CDM中，CD＝1

2

BC＝3，DM＝

1

2

AD＝

33

2

，

∴CM＝223

7 2

CD MD

+=，

∴CN＝43

727 32

?=．

∵BM+MN＝CN，

∴BM+MN的最小值为27．

故答案是：27．

【点睛】

考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．

17．3

5 5

【详解】

四边形DEFA是正方形，面积是4；△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2=1．

△BCE的面积是：1

2

×1×1=

1

2

．

则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣1

2

=

3

2

．

在直角△ADC中根据勾股定理得到：22

2+1=5

设AC边上的高线长是x．则1

2

5x=3

2

，

解得：3

5

5

．

3

5 5

.

18．7 8

【解析】

试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC，而∠DAC=∠ACB，则∠D′AC=∠ACB，所以AE=EC，设BE=x，则EC=4-x，AE=4-x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理可计算出BE的长即可．

试题解析：∵四边形ABCD为矩形，

∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，

∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，

∴∠DAC=∠D′AC，

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，

∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，

设BE=x，则EC=4﹣x，AE=4﹣x，

在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，

∴32+x2=（4﹣x）2，解得x=7

8

，

即BE的长为7

8

．

19．5

【分析】

如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明△ANP≌△MNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度．

【详解】

如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．