高数-微分方程总结

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例3 解
2x y 3x 求通解 dx dy 0. 3 4 y y
2 2
P 2 x 6x ( 3) 4 , y y y y
Q y 2 3 x 2 6x ( ) 4 , 4 x x y y
( y0)
P Q , y x
方程为全微分方程.
* * 的特解, 那么 y1 y 2 就是原方程的特解.
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５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
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(1) 利用原函数法求解:
u 2 x 设原函数为u( x , y ), 则 3, x y x2 u( x , y ) 3 ( y ), 两边对 y 求导, y 2 2 1 u 1 3 x 3x 2 4 4 ( y ), 解得 ( y ) 2 , y y y y y 1 ( y ) , y 2 x 1 故方程的通解为 2 C. 3 y y
3
(3) 一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
当Q( x ) 0,
当Q( x ) 0,
解法 齐次方程的通解为 y Ce
.
（使用分离变量法）
4
非齐次微分方程的通解为
P ( x )dx dx C ]e P ( x )dx y [ Q( x )e
解法
待定系数法.
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
0 不是根 k 1 是单根 2 是重根 ,
设 y x k e x Qm ( x ) ,
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二、典型例题
例1
求通解
y y y y y( x cos y sin )dx x ( y sin x cos )dy . x x x x
* 1 * 2
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y 与 y 分别是方程,
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
* 2 x
[ax3 ( 3a b) x 2 2bx]e x , 则(y )
*
[ax3 (6a b) x 2 (6a 4b) x 2b]e x , (y )
*
33
, ( y* ) 代入原方程比较系数得 将 y ,(y )
* *
1 1 a , b , 6 2
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]ex
若是k重共轭 复根 i
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６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
x3 x x2 x 原方程的一个特解为 y* e e , 6 2 x3 x x2 x y (C1 C 2 x )e x e e . 故原方程的通解为 6 2 1 y(1) 1, (C1 C 2 )e 1, 3 3 x x y [ (C1 C 2 ) (C 2 1) x ]e , 6
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形如
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
一阶方程
作 降 变 阶 换
作变换 非 非
全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法
变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
2
1、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
解法
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 f( ) dx x y 解法 作变量代换 u x
6
注意： 全微分方程
P Q y x
y
解法

u( x , y ) x P ( x , y )d x y Q( x0 , y )dy
x
0 0
Q( x , y )dy P ( x , y0 )d x ,
y x y0 x0
通解为
u( x , y ) C .
用直接凑全微分的方法.
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
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y py qy 0
特征方程为
r pr q 0
2
特征根的情况
通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
（常数变易法） 伯努利(Bernoulli)方程
dy n 形如 P ( x ) y Q( x ) y dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
5
解法
需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y
y1 n z e
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
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定理 3
设 y * 是 ( 2) 的一个特解, Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y * 是二 阶 非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4
一、主要内容
一阶方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程 线性方程 解的结构
类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.全微分方程 5.线性方程 6.伯努利方程
待 特征方程的根 定 及其对应项 系 数 法 f(x)的形式及其
特解形式
1
微分方程解题思路
分离变量法
r1 x r2 x
2
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推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
解 （１） 由题设可得：
2 p( x )2 x 0, 解此方程组，得 2 1 x 3 p( x )( x 2 ) f ( x ),
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3 f ( x) 3 . x 1 3 （２） 原方程为 y y 3 . x x 显见 y1 1, y2 x 2 是原方程对应的齐次方 程
2 1 1 1 x x x x x y [ ( ) x ]e e e . e 6 2 e 6 2
35
3
2
例８ 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 1 ，对应 x 的齐次方程有一特解为 x 2，试求：
（１） p( x ), f ( x ) 的表达式； （２） 此方程的通解.
两边积分
C u cos u 2 , x
ln(u cos u) ln x ln C ,
2
y y C cos 2 , 所求通解为 xy cos y C . x x x x
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例2
求通解 xy 2 y 3 x 3 y .
4 3
4 2 原式可化为 y y 3 x 2 y 3 , 伯努利方程 解 x 4 2 1 即 y 3 y y 3 3 x 2 , x 1 2 3 3 z z 3 x 2 , 令 z y , 原式变为 x 2 即 z z x2 , 一阶线性非齐方程 3x
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(3) F ( y, y, y) 0 型
特点
不显含自变量x .
dp 解法 令 y P ( x ), y P , dy dp 代入原方程, 得 F ( y , P , P ) 0. dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
1 n
,
(1 n ) P ( x ) dx
(1 n ) P ( x )dxdx C ). ( Q( x )(1 n)e
(4) 全微分方程 形如
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
其中 du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
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(2) 利用分项组合法求解:
原方程重新组合为
2x 3x 1 ( 3 dx 4 dy ) 2 dy 0, y y y x 1 即得 d ( 3 ) d ( ) 0, y y
2 2
故方程的通解为
x 1 2 C. 3 y y
2
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1 y 2 例5 求通解 y . 2y 解 方程不显含 x . dP 令 y P , y P , 代入方程，得 dy dP 1 P 2 P , 解得， 1 P 2 C1 y, dy 2y dy 即 C 1 y 1, P C1 y 1, dx 2 C1 y 1 x C 2 . 故方程的通解为 C1
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3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
( n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) F ( x, y ( n1) , y ( n) ) 0 型
特点 解法
不显含未知函数 y.
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得
F ( x, P ( x ), P ( x )) 0.
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例6
求特解 y 2 y y xe x e x , y(1) y(1) 1.
特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根
r1 r2 1,
解
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x )e x . 设原方程的特解为 y x (ax b)e ,
对应齐方通解为 z Cx ,
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2 3
利用常数变易法
设 z C ( x) x ,
2 3
2 3
代入非齐方程得
3 7 ( x ) x x 2 , C ( x ) x 3 C , C 7
原方程的通解为
2 3 7 y x 3 C x 3 . 7 1 3
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y(1) 1,
由
5 (C1 2C 2 )e 1, 6 1 1 2 1 C1 C 2 , C 1 e 6 , e 3 解得 1 5 C 1 1 , 2 C1 2C 2 , 2 e e 6
所以原方程满足初始条件的特解为
解 原方程可化为
y y y dy y cos x x sin x ( ), dx x y sin y cos y x x x
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y 令 u , y ux , y u xu. 代入原方程得 x cos u u sin u u xu u( ), 分离变量 u sin u cos u u sin u cos u dx du , 2u cos u x