椭圆的几何性质(第1课时)(内含几何画板演示)讲课稿
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椭圆的几何性质（第一课时）
学习目标 1、理解椭圆的几何性质； 2、会利用已知量求解椭圆的方程
复习练习
x2 y2
P为椭圆
25 16
1 上一点,F1、F2是其左、右焦点
7 （1）若|PF1|=3,则|PF2|=_________________
（2）过左焦点F1任作一条弦AB，
2 0 则⊿ABF2的周长为___
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
y
( 0 , b )B2
( a , 0 ) A1
F1
b
oc
a A2 ( a , 0 )
F2
(0, b )B1
新课探究
椭圆
简单的几何性质
3、对称性：
求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量（a、b）
当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！
练习：过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,、0) Q(0；, 2)
3
（2）长轴长等于 2 0,离心率等于 ．5
解:（1）由题意， a 3 ,b又 ∵2 长轴在
x
轴上，所以,椭圆的标准方程为
x2 y2 1
（2）由已知，2a 20 ，e c 3 9 4
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b21026264 ，
所以椭圆的标准方程为
x2
y
2
或
1
100 64
y2 x2 1 100 64
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标 轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0），求椭圆的方程。
点M在椭圆上运动，当点M在什么位 置时，∠F1MF2为最大？
y
M 点M为短轴的端点.
F1 O
F2
x
x2 y2 1 36 32
(2) 离心率 e=0.8, 焦距为8
x2
Biblioteka Baidu
y2
1或y2
x2
1
25 9 25 9
(3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6)
x2 y21或y2x21
变式：长轴是短轴的2倍, 且过点 P(2,0)14837 5213
(且4)焦在距x轴为上6 的一个焦点与短轴两端点的连x线2 互y相2 垂 1直， 18 9
相互关系： a2 b2 c2
e c a
焦点总在长轴上!
2.基本点：顶点、焦点、中心
3.基本线: 对称轴（共两条线）
新知探究
对于椭圆
x2 b2
ay22
1aby 0
M
O
x
椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是最大值为a，最小值为b.
椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大 值和最小值分别是什么？
新知探究
y
x2 y2 1 25 y 4
4 B2
3 2
4
3 2
B2
A1
1
A2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
-2 -3
B1
-4 B1
-4
文件名
新课探究
椭圆
A1
F1
简单的几何性质
y
B2
b
oc
a
A2
F2
B1
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
从图形上看：椭圆具有怎样的对称性？
x轴
y
P ( x , y ) P'(x,y) P'(x, y)B2
y轴
P ( x , y ) P'(x, y) A1 F1 o
P(x,
y)
原
点
P'(x,y)P'(x,yB)1
P(x, y)
A2
F2 x
P'(x, y)
练习：根据前面所学有关知识画出下列图形
（1） x2 y2 1 25 16
3 5
；
焦点坐标是： ( 3, 0 ) ；顶点坐标是：( 5, 0) (0, 4 ) ；
外切矩形的面积等于：
80
；
解题步骤：
1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：
x2 y2 1 25 16
2、确定焦点的位置和长轴的位置.
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a=6, e=
,1 焦点在x轴上 3
x2y21或y2x2 1
9
81 9
练习: (1).若椭圆k
x
2
8
+
y
2
=1的离心率为
5或4
0.5，则：k=__4___
9
(2).若某个椭圆的长轴、 短轴、焦距依次成等差数列，
3
则其离心率e=__5________
课堂小结
椭圆中的基本元素
1.基本量: a、b、c、e 几何意义：a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距，e-离心率；
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
新课探究
椭圆
简单的几何性质
c
4、离心率：e
x2 y2
a
1
25 16
a2=b2+c2
x2 y2 b2 a2 1(ab0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1.已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则
它的长轴长是： 10 ；短轴长是： 8 ；
焦距是： 6 ；离心率等于：
y
B
P
（3）若点P在椭圆上运动,
则|PF1|·|PF2|的最大值
A F1
0
为_2__5
F2
x
新课探究
椭圆 1、范围：
x2 a2
1,
简单的几何性质
y2 b2
1得：
-a≤x≤a, -b≤y≤b
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
新课探究
椭圆
简单的几何性质
2、顶点：
学习目标 1、理解椭圆的几何性质； 2、会利用已知量求解椭圆的方程
复习练习
x2 y2
P为椭圆
25 16
1 上一点,F1、F2是其左、右焦点
7 （1）若|PF1|=3,则|PF2|=_________________
（2）过左焦点F1任作一条弦AB，
2 0 则⊿ABF2的周长为___
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
y
( 0 , b )B2
( a , 0 ) A1
F1
b
oc
a A2 ( a , 0 )
F2
(0, b )B1
新课探究
椭圆
简单的几何性质
3、对称性：
求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量（a、b）
当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！
练习：过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,、0) Q(0；, 2)
3
（2）长轴长等于 2 0,离心率等于 ．5
解:（1）由题意， a 3 ,b又 ∵2 长轴在
x
轴上，所以,椭圆的标准方程为
x2 y2 1
（2）由已知，2a 20 ，e c 3 9 4
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b21026264 ，
所以椭圆的标准方程为
x2
y
2
或
1
100 64
y2 x2 1 100 64
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标 轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0），求椭圆的方程。
点M在椭圆上运动，当点M在什么位 置时，∠F1MF2为最大？
y
M 点M为短轴的端点.
F1 O
F2
x
x2 y2 1 36 32
(2) 离心率 e=0.8, 焦距为8
x2
Biblioteka Baidu
y2
1或y2
x2
1
25 9 25 9
(3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6)
x2 y21或y2x21
变式：长轴是短轴的2倍, 且过点 P(2,0)14837 5213
(且4)焦在距x轴为上6 的一个焦点与短轴两端点的连x线2 互y相2 垂 1直， 18 9
相互关系： a2 b2 c2
e c a
焦点总在长轴上!
2.基本点：顶点、焦点、中心
3.基本线: 对称轴（共两条线）
新知探究
对于椭圆
x2 b2
ay22
1aby 0
M
O
x
椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是最大值为a，最小值为b.
椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大 值和最小值分别是什么？
新知探究
y
x2 y2 1 25 y 4
4 B2
3 2
4
3 2
B2
A1
1
A2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
-2 -3
B1
-4 B1
-4
文件名
新课探究
椭圆
A1
F1
简单的几何性质
y
B2
b
oc
a
A2
F2
B1
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
从图形上看：椭圆具有怎样的对称性？
x轴
y
P ( x , y ) P'(x,y) P'(x, y)B2
y轴
P ( x , y ) P'(x, y) A1 F1 o
P(x,
y)
原
点
P'(x,y)P'(x,yB)1
P(x, y)
A2
F2 x
P'(x, y)
练习：根据前面所学有关知识画出下列图形
（1） x2 y2 1 25 16
3 5
；
焦点坐标是： ( 3, 0 ) ；顶点坐标是：( 5, 0) (0, 4 ) ；
外切矩形的面积等于：
80
；
解题步骤：
1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：
x2 y2 1 25 16
2、确定焦点的位置和长轴的位置.
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a=6, e=
,1 焦点在x轴上 3
x2y21或y2x2 1
9
81 9
练习: (1).若椭圆k
x
2
8
+
y
2
=1的离心率为
5或4
0.5，则：k=__4___
9
(2).若某个椭圆的长轴、 短轴、焦距依次成等差数列，
3
则其离心率e=__5________
课堂小结
椭圆中的基本元素
1.基本量: a、b、c、e 几何意义：a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距，e-离心率；
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
新课探究
椭圆
简单的几何性质
c
4、离心率：e
x2 y2
a
1
25 16
a2=b2+c2
x2 y2 b2 a2 1(ab0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1.已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则
它的长轴长是： 10 ；短轴长是： 8 ；
焦距是： 6 ；离心率等于：
y
B
P
（3）若点P在椭圆上运动,
则|PF1|·|PF2|的最大值
A F1
0
为_2__5
F2
x
新课探究
椭圆 1、范围：
x2 a2
1,
简单的几何性质
y2 b2
1得：
-a≤x≤a, -b≤y≤b
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
新课探究
椭圆
简单的几何性质
2、顶点：