考点11定积分的概念与微积分基本定理(教师版)新课标

2013年新课标数学40个考点总动员 考点11 定积分的概念与微积分

基本定理（教师版）

【高考再现】

热点一 定积分的基本计算

1. (2012年高考江西卷理科11)计算定积分

1

21

(sin )x x dx -+=⎰

___________

【方法总结】1.计算简单定积分的步骤：

(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； (2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差； (3)分别用求导公式求出F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； (4)利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值． 2.求定积分的常用技巧：

(1)求被积函数，要先化简，再求积分．

(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分． 热点二 微积分基本定理的应用

3.(2012年高考山东卷理科15)设a ＞0.若曲线y x x ＝a ，y=0所围成封闭图形的面积为a ，则a=______。 【答案】

94

【解析】a a x dx x S a a

====

⎰

23

2

30

323

2，解得4

9=a .

4.(2012年高考上海卷理科13)已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、

)5,2

1

(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .

【方法总结】求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤

(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． 【考点剖析】

二．命

题方向

定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等。一般以客观题形式出现. 三．规律总结 一种思想

定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．

一个公式

由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．

【基础练习】

1.（教材习题改编） ⎠⎛0

1(e x

＋2x)d x 等于( )

A ．1

B ．e －1

C ．e

D ．e ＋1

【答案】C

【解析】 因为F (x )＝e x ＋x 2，且F ′(x )＝e x

＋2x ，则

⎠⎛0

1

(e x ＋2x)d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e ＋1)－(e 0＋0)＝e ，故选C

.

3. 【经典习题】 2

20

(4)x x dx -=⎰_______________．

【答案】C 【解析】：

2

20

(4x dx -⎰

等于圆224x y +=在第一象限的面积π，则

2

2

2

2

2220

1(4)4)22x x dx x dx xdx x ππ⎡⎤

-=--=-=-⎢⎥⎣⎦⎰

⎰⎰

.

4. 已知函数f (x )＝3x 2

＋2x ＋1，若⎠

⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.

【名校模拟】 一．基础扎实

1. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试文)曲线y=1

1

x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 A ．1 B ．－

1

2

C ．

1

4

D ．

18

【答案】 C

【解析】''2(1)(1)(1)(1)'(1)x x x x y x -+--+=+2(1)(1)(1)x x x +--=+2

2

(1)x =+，所以2k =，所

以切线方程为21y x =-，所以111

1224

S ∆=

⨯⨯=，故选C 2. (2012届郑州市第二次质量预测理) 如图曲线和直线

所围成的

图形（阴影部分)的面积为 A. B. C.

D.

3．(2012洛阳示范高中联考高三理).由曲线3

2,x y x y ==围成的封闭图形的面积为 A.

121 B.4

1

C. 31

D.

12

7

【答案】A

【解析】解：由微积分基本定理，可知由曲线3

2

,x y x y ==围成的封闭图形的面积为

1

23

34100

111(x x )dx x x |3412

-=-=⎰ 4．(武汉2012高中毕业生五月模拟考试理)