第三章 第7节 曲率分析

M M 1 ( y )2
MM
x
lim M M 1 x0 M M
s( x)
lim
x0
s x
(
1 s(
x
( y)2 ) 是增函数，所以取正）
4
ds 1 ( y)2dx 或 ds (dx)2 (dy)2
若曲线由参数方程表示:
x
y
x(t) y(t )
则弧长微分公式为 ds x 2 y 2 d t y
第3章 微分中值定理 第3章 本章内容： 与导数的应用
第一节、微分中值定理
第二节、洛必达法则 第三节、泰勒公式 第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节、函数的极值与最大值最小值 第六节、函数图形的描绘
第七节、曲率
1
第七节 曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 四、小结
2
第三章
6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2
6
3
(4 5cos2 t )2
3
要使k 最大， 必有 (4 5cos2 t)2 最小，
t , 3 此时k 最大，
22
18
问题: 如何定量描述曲线的弯曲程度?
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关
M M M
3
一、弧微分
设
在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,
弧长 s AM s( x)
s x
MM MM
MM x
MM MM
(x)2 (y)2 x
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
的凹向一侧法线上取点D使
CR
T
M (x, y)
DM R 1
o
x
K
把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的
曲率圆 (密切圆), R叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心.
在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
13
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
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例3 证明曲线 : x2 2xy 8 y2 2x 14 y 3 0必为直线.
k
2a 3.
[1 ( 2ax b )2 ] 2
显然,
当x
b 2a
时,
k最大.
k
y 3 .
( 1 y2 )2
又 ( b , b2 4ac )为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
12
三、 曲率圆与曲率半径
设 M为曲线C上任一点,在点
y
D( , )
M处作曲线的切线和法线,在曲线
6
在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为s ,对应切线
转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K
s M点处的曲率
K lim d
s0 s ds
M M s
7
注意(1)直线的曲率处处为零。
(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 且半径越小曲率越大.
如图所示,有
s R
K lim 1
s0 s R
(t ), (t ),
二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t 3(t)
)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
k
y 3.
(1 y2 )2
10
例1. 求y ax3( a 0 )在点( 0,0 )及点( 1,a )处的曲率.
M
s
R M
可见: R愈小,则 K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害； R愈大,则 K愈小，圆弧弯曲得愈小；
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2.曲率的计算公式 K d . ds
设y f ( x)二阶可导, tan y,
有 arctan y,
d
y 1 y2
dx,
ds 1 y2dx.
y
k
3.
(1 y2 )2
9
设
x y
几何意义: ds MT
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
5
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
M
M
N
S2 N
（１）当弧长相同时， 转角越大曲线弯曲程 度越大。
（２）转角相同 时弧段越短弯曲 程度越大
解 : y 3ax2 , y 6ax,
k
y 3
6a x
3
( 1 y2 )2 ( 1 9a2 x4 )2
在点( 0,0 )处 K 0
在点( 1,a )处 K
6a
3
( 1 9a2 )2
11
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
证明: 隐函数求导
2x 2 y 2xy 16 yy 2 14 y 0
y x y 1 8y x7
y
(
8
y
x
7
)(1 (8
y ) y x
(x 7
)2
y
1（) 8
y
1）
将y代入得
y
9(
x2
2 xy (8
y
8
y2 2x x 7 )2
14
y
3
)
0
k y 3 0
所以曲线必为直线.
( 1 y2 )2 15
四、小结
1.弧长微分 ds 1 y2 d x 或 ds (d x )2 (d y )2
2.曲率公式
3.曲率圆 曲率半径
K
d
ds
yБайду номын сангаас
(1
y2
)3 2
R
1
(1
y2
)3 2
K
y
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思考题
椭圆 x 2cos t, y 3sin t上哪
些点处曲率最大？
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思考题解答
k | y | 3