第二章弯矩曲率关系

c1
s ci
N
sAs
M

s
ci sAs
ci Zi
h ' ( as ' ) s 2 ( h a ) s s 2
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的物理方程（对物理方程的处理）

截面的破坏准则
P
P
P
P
准则一：受压区的最大应变超过混凝土的最大受压应变， 或者拉区钢筋拉断。
准则二：整个压区混凝土压碎，或者拉区钢筋拉断。
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
M - 关系的计算实例
M (kN-m) 49 42 35 28 21 14 7 0 0
计算结果 试验结果
方法类似不予赘述！
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
g(
)
调整 的数值逼近方法：二分法


1）取区间中点
a b 2

=
a b 2
a O b
2） 若g(
a b 2
) = 0，则
3） 否则，若g( b 若g( a 2 )与g(b)同号，则解的数值区间为[a,
N (kN) 200
150
混凝土：fc=30.8MPa; ft=1.97MPa; Ec=25.1103MPa. 钢筋： fy=376MPa; fsu=681MPa; Es=205103MPa; As=284mm2.
100 N 915 裸钢筋 50 混凝土中的钢筋 N 152 平均应变 0 0.001 0.002 0.003 0.004 152
5） 将各应力值代入第一平衡方程，判断是否满足平衡条件： 如不满足，需要调整 值直至满足为止，如满足平衡条件， 则由第二平衡方程求出M，然后重复步骤1～5
6） 当符合破坏条件时，停止计算。
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
M - 关系的计算方法之二 ：分级加荷载法
1） 取M＝M＋M
N
sAs
M

s
ci sAs
X 0,

i 1
n
' ' A A ci i s s s As N 0
M 0,
h h M ci Ai Z i s As ( a s ) s As (a s )＝0 2 2 i 1
n
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
4） 重复13步骤直至满足精度要求
a b a b 2 )与g(a)同号，则解的数值区间为[ 2 a b
2
, b]，
]
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
g(



)
注意！！！
AB两点的
割线
A B
2 1
g1 g2 g3 O
3 1 m
s s
也可直接取埋在混凝土中钢筋的平均应力-平均应变关系 （参考有关文献）
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理—考虑“拉伸硬化” 混凝土取裂缝间的平均应力平均应变关系
M 受拉区 域 钢筋
M
考虑钢筋粘结性 能的系数：对变 形钢筋，f1 = 1.0；对光圆钢 筋，f1 = 0.7
0.03 0.07 0.10 0
(1/m)
(bh=152.4mm304.8mm, As=253mm2, fc=34.674MPa, fy=413.7MPa)
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
异型截面M - 关系的计算
Ai D/n is
2
si
Zi Zsi D / 2
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理—考虑“拉伸硬化” 注意！！！
M 受拉区 域 钢筋
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同时应用裸钢筋的应力－应变关系和开裂后混 凝土的平均受拉应力－应变关系会导致概念上 的错误 采用钢筋和混凝土考虑裂缝影响的平均应变即 可计入粘结作用的影响
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
5） 将各应力值代入第一平衡方程，判断是否满足平衡条件： 如不满足，需要调整和 值直至满足为止，如满足平衡条件， 则由第二平衡方程求出M，然后重复步骤1～5
6） 当符合破坏条件时，停止计算。
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系


调整 时的数值逼近方法：外插法
g 2 g1
一、概述
荷载分配梁 试验梁 P 外加荷载 数据采集系统 As 应变计 h 位移计 L/3 L L/3 b
M 超筋 平衡 III
适筋
As
II
I O

最小配筋率
外加荷载 带定向滑 轮的千斤 顶 N 柱的竖向荷载 位移计 P As 试验柱
数据采集系统
H
h b
台座
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
1. 基本假定
拉区混凝土开裂后的处理—考虑“拉伸硬化”
若构件承受静荷载，且变形不是很重要时
M 受拉区 域 钢筋
M
可以不作上述处理而直接采用前面介绍的 混凝土受拉应力－应变关系和裸钢筋的应力－应变关系 导致保守的结果 使构件的强度变大
两者在强度方面引起的误差可以相互 抵消。但会过高地估计构件的变形
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
ci
M
si ci
N
1 ns ns-1 as D/2

以如图所示的钢筋混凝土圆形截面为例，其M - 关系的仿真计算 步骤和矩形截面完全相同，所不同的只是下面一些细节：
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
异型截面M - 关系的计算
si Z si d si D 2 Z ( a ) sin i 1 s s si 2 2 ns
n ci
s s ( s ) s s ( s )
X 0,

i 1
Ai s' As' s As N 0
n
M 0,
h h M ci Ai Z i s As ( a s ) s As (a s )＝0 2 2 i 1
As
ci c ( ci )
ci c ( ci )
( ci 0) ( ci 0)
as h/2as 1 i Zi 截面中心线
c1
s ci
N
sAs
M

s
ci
sAs
s ' s ( s ' ) s s ( s )
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
调整 和 的数值逼近方法：外插法


g (， ) g (， ) m m g (， ) 0 ) q(， ) q(， m m q(， ) 0
两个独立的方程式中有M、N、和 四个未知数
如果给定N值，则对应一个值，便可求 出一个 及M值与之对应；同样，对应一 个M值，也可由此二方程求出一个 及值与之对应
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
M - 关系的计算方法之一 ：分级加变形法
1） 取＝＋
X 0,
n

i 1
ci
Ai s' As' s As N 0
n
2） 假定和 值
M 0,
M ci Ai Z i s As (
i 1
h h a s ) s As (a s )＝0 2 2
3） 由相容方程求出各条带混凝土的应变及钢筋的应变； 4） 由物理关系求出相应的应力，拉区混凝土条带的应变 超过其极限受拉应变时，应对其进行处理；
当外插法的计 算公式中的分 母g1过小时， 计算机可能会 “溢出”
二分法的逼近值是围绕 正确值上下波动的，若 精度控制参数取得过 小，可能会出现“死循 环”。

1 2 3
g(
)
因此，在编制仿真程序 时必须采取必要的措施 打破死循环，防止溢出。

a O b
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
h h/2as
as b
n
As
对钢筋混凝土柱， 有时也可能会出现 s < 0
s s ( s )
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的平衡方程
as h/2as h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As As
c1
s ci
P
平截面假定----平均应变意义上
As’
dy y h as’
c c
L/3
t
L/3 L
s’ nh0
(1-n)h0
As
as
s
c
b
b
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的相容关系
As as h/2as h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
As as h/2as h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As
c1
s ci
N
sAs
M

s
ci sAs
ci > t0
该条带混 凝土开裂
ci > tu
该条带混凝 土退出工作 ci = 0
考虑长期荷载和重 复荷载作用的系数： 短期单调荷载下， f2 = 1.0；长期或 重复荷载下，f2 = 0.7
s s
t
f 1 f 2 t 0
1 500 t
( t t 0 )
混凝土的单轴抗拉 强度和相应的应变
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理—考虑“拉伸硬化”
开裂后混凝土中的拉应力主要集中在钢 筋周围的区域内。引入混凝土的平均应 力后，定义一“有效埋置区域”，认为 混凝土的拉应力只出现在该区域内
受拉区 域 M 钢筋
M
“有效埋置区域”的大小可以根据CEBFIP的建议来确定
7.5ds
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
2 1
m
( 3 1 ) g1 0
AB两点的
割线
A
B
g(

)
2 1
g1 g2 g3 O
g1 g1
3 1 m

3 1 m 1
g1 g1
1 2 3
任意一个很小的正 数
g3
2） 假定 值
X 0,
n

i 1
ci
Ai s' As' s As N 0
n
M 0,
M ci Ai Z i s As (
i 1
h h a s ) s As (a s )＝0 2 2
3） 由相容方程求出各条带混凝土的应变及钢筋的应变； 4） 由物理关系求出相应的应力，拉区混凝土条带的应变 超过其极限受拉应变时，应对其进行处理；
M - 关系的计算方法
ci Zi
h ' ( as ' ) s 2 ( h a ) s s 2
ci c ( ci ) ci c ( ci ) ( ci 0) ( ci 0)
“拉伸硬 化”现象
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理—考虑“拉伸硬化” 钢筋取裂缝间的平均应力
受拉区 域 M 钢筋
s s s s s s
M
裂缝间受拉钢筋的应力 （应变）不均匀系数，其 值可根据钢筋于混凝土之 间的局部粘结－滑移本构 关系，用数值分析法求得， 不予详述
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
P P
曲率

平均应变分布
即使在纯弯段也只可能在几个截面上出现裂 缝,裂缝间混凝土的拉应变不相等
?
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理--Considè re(1899)试验
2
D/n 2 1 ns ns-1 as D/2 Zi Zsi Ai is D/2
si ci
M
si ci
N
D D Ai 2 Z i2 n 2