弯矩曲率计算示例
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弯矩曲率计算示例
北京交通大学
主要内容
弯矩曲率一般分为两个阶段进行：
阶 段 一
梁未开裂 一般假定为弹性阶段
梁开裂
阶 段 二
应力应变关系为非线性
弯矩曲率曲线
破坏
开裂
弯矩曲率曲线 曲线上的6个控制点
MPa 1.初始阶段，即外弯矩为零， f pe 1000 2.预应力筋水平处混凝土的应变为零。 3.裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度， ft 3.7MPa
1000 1064.8 1067.5 1253 1494 1560
非预应力筋应力 （MPa）
-77.8 +12.7 +16.5 +245.4 +400 +400
阶段一 阶段二 阶段三
（1） （2） （3） （4）
0 289 300.5 432.3 555.3 574.1
阶段四
（5） （6）
弯矩曲率曲线
预应力筋有效预应力
f pe 1000 MPa
弹性模量
Ap As
E p Es 2 105 MPa
300 mm
弯矩曲率计算
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
仅预应力 筋有效力 作用
梁底混凝 土达到抗 拉强度， 裂缝出现
给定顶部 应变，计 算弯矩曲 率
1 初始阶段
无外力作用，仅考虑有效预应力作用 毛截面特征值
A 180 103 mm2
550 c ) e c
5.324 103
曲率：
0.001 4.05 106 rad / mm c 247
c
p (
s (
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.002 用同样方法求解，得到：
c 190mm C0 1330kN
普通钢筋达到屈服
4 非线性阶段
应力应变关系符如右图所 示，符合二次抛物线形曲 线
开裂后，截面扔符合平截面 假定。根据应力应变关系得 到应力图。
0
4 非线性阶段
求压应力合力，对应力 图积分，计算出合力大 顶部纤维应变 c 小及位置。
x 0.35 c
中性轴 中性轴
应变图
应力图
X
2 c C0 bf c c (1 ) 0 3 0
2 2 c f c 0 0
As 402mm2
预应力混凝土梁
钢筋：
假定预应力高强高筋的极限强 度和其屈服强度相等
550 mm 480 mm
Ap 784mm2
As 402mm2
600 mm
f pu f p 0.2 1540MPa
s 400MPa
M 574.1kNm
=17.0 106 rad / mm
计算结果汇总
各个阶段弯矩曲率汇总如下：
控制点 外力矩 曲率 10 6 （rad/mm）
-0.933 +0.917 +0.993 +4.05 +10.5 +17.0
kN m
预应力筋应力 （MPa）
I 5.4 109 mm4
Pe Ap f pe 784 1000 784kN
计算有效预应力及偏心距引起的应力应变
Pe 784kN
e 180 mm
1 初始阶段
-4.36 +7.84 +3.48
0.123 103
0.933 106
-9.06 -10.89 -4.36
ps 1494MPa ps 0.00837 s 400MPa
M 555.3kNm
=10.5 106 rad / mm
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.003 用同样方法求解，得到：
c 176mm ps 1560MPa
普通钢筋达到屈服 预应力钢筋达到屈服
P A
ce 0.324 103
s 0.389 103
0.436 103
-7.84
Pey I
-12.2
P Pey A I
c c / Ec
应力图
应变图
1 初始阶段
当外力矩（包括自重） M 0
0.123 103
时，截面曲率：
0.933 106
0.993 106 rad/mm
普通钢筋的压应力:
ce 0.324 103
Es s 2 105 0.3893 77.8MPa
预应力筋在有效应力下的应变:
s 0.389 103
0.436 103
ps pe ce 5.324 103
3 开裂阶段
截面开裂点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点 在上个阶段，截面底纤维已经存在3.06MPa的拉应力， 由于混凝土出现裂缝的抗拉强度为3.7MPa。
3.7 3.06 0.64 MPa
I 5.4 109 0.64 M 11.5kNm y 300
开裂弯矩为： M cr 289 11.5 300 5kNm .
5 3
0.123 103
0.933 106
ce 0.324 103
s 0.389 103
0.436 103
此时，预应力筋中的拉力为：
P Ap ps 784 10648 834.8kN .
c c / Ec
应变图
2 加载阶段
C
4 非线性阶段
进行试算，确定中性轴高度。
1
假定中性轴高度 c=300mm
c
受压区总压力为:
c
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
C0 4375c 4375 300 1312.5kN
p (
s (
4 非线性阶段
预应力钢筋
在加载阶段，计算出预应力处混凝 土应变为零时，钢筋的应变。 此时相加，即得到钢筋的总应变。
受压区合力：
C0 4375c 1080.6kN
表面中性轴高度合适 ，可进行下一步计算
4 非线性阶段
x 0.35c 86.5mm
对受压区合力位置取矩， 得此时截面所受弯矩：
M Ap ps (hp x) As s hs x =432.3kNm
c
c
480 c ) c c
3 开裂阶段
由Δ M 对预应力筋产生的拉应力为：
ps Me 11.5 106 180 n p c n p 7.14 2.7MPa 9 I 5.4 10
因此开裂弯矩下，预应力筋中的应力为：
ps 10648 2.7 10678MPa . .
3 开裂阶段
4.梁截面顶纤维混凝土压应变达到 5.梁截面顶纤维混凝土压应变达到 6.梁截面顶纤维混凝土压应变达到
0.001 0.002 0.003
预应力混凝土梁
混凝土：
本构关系
Ap 784mm2
550 mm 480 mm
抗压抗拉强度
Ap
f c 35MPa
f t 3.7MPa
300 mm
As
600 mm
开裂弯矩为：
M cr 289 11.5 300.5kNm
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.001 截面开裂时，顶部纤维应变为：
c 0.464 103
0.464 103 0.001
因此，在本阶段采用开裂截面分析。
即，假设中性轴以下混凝土不起作用。
由Δ M 对非预应力筋产生的拉应力为：
My 11.5 106 250 s ns 7.14 3.8MPa 9 I 5.4 10
因此开裂弯矩下，非预应力筋中的应力为：
s 12.7 3.8 16.5MPa
3 开裂阶段
由纤维应力0.64MPa而增加的曲率如图所示：
-4.64 +8.35 +3.71
-9.64 -11.60 -4.64
P A
-8.35
Pey I
-13.0
P Pey A I
( P 834.8kN)
2 加载阶段
+3.71 -16.06 -12.35
0.441 103
-9.64 -11.60 -13.0
P Pey A I
0.317 106
c
T Ap ps As s 998.4kN
受压区合力：
c
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
C0 4375c 1312.5kN
表面中性轴高度太大 ，需重新试算。
p (
s (
4 非线性阶段
2
假定中性轴高度 c=240mm
c c / Ec
应变图
pe f pe E p 1000/ 200000 5 103
2 加载阶段
加载阶段，是指在外弯矩开始作 用，直到预应力钢筋处的混凝土 应变为零的阶段。 预应力钢筋除混凝土应变为零时 ，预应力筋的应力为:
ps E p ps 2 10 5.32410 10648MPa .
-0.64
-0.229 104
0.076 106
+0.64
+0.229 104
应力图
应变图
3 开裂阶段
在开裂弯矩作用下， 截面的开裂曲率等于阶段（2）的曲率与开裂增加曲率之和， 也就是：
cr (0.917 0.076) 106 0.993 106 rad/mm
依据上述六个控制点 ，绘制弯矩曲率曲线 Origin作图如下：
谢谢！
预应力与非预应力筋 中的总拉力：
T Ap ps As s 1095.5kN
受压区合力：
C0 4375c 1050kN
表面中性轴高度偏小 ，需再次试算。
4 非线性阶段
3
假定中性轴高度 c=247mm
预应力与非预应力筋 中的总拉力：
T Ap ps As s 1081kN
c
c
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
480 300 ps 5.324 10 ( ) 0.001 300 5.94 103 0.8 f 0.2 预应力钢筋 ps 处于弹性工 Es 作阶段
3
p (
s (
4 非线性阶段
+9.64 +13.38 -16.06
+1.78 +3.06
0.0636 103
0.109 103
M
应力图
3
应变图
0.917 106 rad/mm
此阶段结束时，曲率为： (0.441 0.109) 10
600
I 5.4 103 9.64 弯矩为： M 289.0kNm e 180
普通钢筋
550 300 s ( ) 0.001 0.833 103 300
c
c
fs s Es
普通钢筋 处于弹性工 作阶段
p (
Biblioteka Baidu (
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
4 非线性阶段
合力计算
预应力与非预应力筋 中的总拉力：
北京交通大学
主要内容
弯矩曲率一般分为两个阶段进行：
阶 段 一
梁未开裂 一般假定为弹性阶段
梁开裂
阶 段 二
应力应变关系为非线性
弯矩曲率曲线
破坏
开裂
弯矩曲率曲线 曲线上的6个控制点
MPa 1.初始阶段，即外弯矩为零， f pe 1000 2.预应力筋水平处混凝土的应变为零。 3.裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度， ft 3.7MPa
1000 1064.8 1067.5 1253 1494 1560
非预应力筋应力 （MPa）
-77.8 +12.7 +16.5 +245.4 +400 +400
阶段一 阶段二 阶段三
（1） （2） （3） （4）
0 289 300.5 432.3 555.3 574.1
阶段四
（5） （6）
弯矩曲率曲线
预应力筋有效预应力
f pe 1000 MPa
弹性模量
Ap As
E p Es 2 105 MPa
300 mm
弯矩曲率计算
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
仅预应力 筋有效力 作用
梁底混凝 土达到抗 拉强度， 裂缝出现
给定顶部 应变，计 算弯矩曲 率
1 初始阶段
无外力作用，仅考虑有效预应力作用 毛截面特征值
A 180 103 mm2
550 c ) e c
5.324 103
曲率：
0.001 4.05 106 rad / mm c 247
c
p (
s (
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.002 用同样方法求解，得到：
c 190mm C0 1330kN
普通钢筋达到屈服
4 非线性阶段
应力应变关系符如右图所 示，符合二次抛物线形曲 线
开裂后，截面扔符合平截面 假定。根据应力应变关系得 到应力图。
0
4 非线性阶段
求压应力合力，对应力 图积分，计算出合力大 顶部纤维应变 c 小及位置。
x 0.35 c
中性轴 中性轴
应变图
应力图
X
2 c C0 bf c c (1 ) 0 3 0
2 2 c f c 0 0
As 402mm2
预应力混凝土梁
钢筋：
假定预应力高强高筋的极限强 度和其屈服强度相等
550 mm 480 mm
Ap 784mm2
As 402mm2
600 mm
f pu f p 0.2 1540MPa
s 400MPa
M 574.1kNm
=17.0 106 rad / mm
计算结果汇总
各个阶段弯矩曲率汇总如下：
控制点 外力矩 曲率 10 6 （rad/mm）
-0.933 +0.917 +0.993 +4.05 +10.5 +17.0
kN m
预应力筋应力 （MPa）
I 5.4 109 mm4
Pe Ap f pe 784 1000 784kN
计算有效预应力及偏心距引起的应力应变
Pe 784kN
e 180 mm
1 初始阶段
-4.36 +7.84 +3.48
0.123 103
0.933 106
-9.06 -10.89 -4.36
ps 1494MPa ps 0.00837 s 400MPa
M 555.3kNm
=10.5 106 rad / mm
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.003 用同样方法求解，得到：
c 176mm ps 1560MPa
普通钢筋达到屈服 预应力钢筋达到屈服
P A
ce 0.324 103
s 0.389 103
0.436 103
-7.84
Pey I
-12.2
P Pey A I
c c / Ec
应力图
应变图
1 初始阶段
当外力矩（包括自重） M 0
0.123 103
时，截面曲率：
0.933 106
0.993 106 rad/mm
普通钢筋的压应力:
ce 0.324 103
Es s 2 105 0.3893 77.8MPa
预应力筋在有效应力下的应变:
s 0.389 103
0.436 103
ps pe ce 5.324 103
3 开裂阶段
截面开裂点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点 在上个阶段，截面底纤维已经存在3.06MPa的拉应力， 由于混凝土出现裂缝的抗拉强度为3.7MPa。
3.7 3.06 0.64 MPa
I 5.4 109 0.64 M 11.5kNm y 300
开裂弯矩为： M cr 289 11.5 300 5kNm .
5 3
0.123 103
0.933 106
ce 0.324 103
s 0.389 103
0.436 103
此时，预应力筋中的拉力为：
P Ap ps 784 10648 834.8kN .
c c / Ec
应变图
2 加载阶段
C
4 非线性阶段
进行试算，确定中性轴高度。
1
假定中性轴高度 c=300mm
c
受压区总压力为:
c
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
C0 4375c 4375 300 1312.5kN
p (
s (
4 非线性阶段
预应力钢筋
在加载阶段，计算出预应力处混凝 土应变为零时，钢筋的应变。 此时相加，即得到钢筋的总应变。
受压区合力：
C0 4375c 1080.6kN
表面中性轴高度合适 ，可进行下一步计算
4 非线性阶段
x 0.35c 86.5mm
对受压区合力位置取矩， 得此时截面所受弯矩：
M Ap ps (hp x) As s hs x =432.3kNm
c
c
480 c ) c c
3 开裂阶段
由Δ M 对预应力筋产生的拉应力为：
ps Me 11.5 106 180 n p c n p 7.14 2.7MPa 9 I 5.4 10
因此开裂弯矩下，预应力筋中的应力为：
ps 10648 2.7 10678MPa . .
3 开裂阶段
4.梁截面顶纤维混凝土压应变达到 5.梁截面顶纤维混凝土压应变达到 6.梁截面顶纤维混凝土压应变达到
0.001 0.002 0.003
预应力混凝土梁
混凝土：
本构关系
Ap 784mm2
550 mm 480 mm
抗压抗拉强度
Ap
f c 35MPa
f t 3.7MPa
300 mm
As
600 mm
开裂弯矩为：
M cr 289 11.5 300.5kNm
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.001 截面开裂时，顶部纤维应变为：
c 0.464 103
0.464 103 0.001
因此，在本阶段采用开裂截面分析。
即，假设中性轴以下混凝土不起作用。
由Δ M 对非预应力筋产生的拉应力为：
My 11.5 106 250 s ns 7.14 3.8MPa 9 I 5.4 10
因此开裂弯矩下，非预应力筋中的应力为：
s 12.7 3.8 16.5MPa
3 开裂阶段
由纤维应力0.64MPa而增加的曲率如图所示：
-4.64 +8.35 +3.71
-9.64 -11.60 -4.64
P A
-8.35
Pey I
-13.0
P Pey A I
( P 834.8kN)
2 加载阶段
+3.71 -16.06 -12.35
0.441 103
-9.64 -11.60 -13.0
P Pey A I
0.317 106
c
T Ap ps As s 998.4kN
受压区合力：
c
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
C0 4375c 1312.5kN
表面中性轴高度太大 ，需重新试算。
p (
s (
4 非线性阶段
2
假定中性轴高度 c=240mm
c c / Ec
应变图
pe f pe E p 1000/ 200000 5 103
2 加载阶段
加载阶段，是指在外弯矩开始作 用，直到预应力钢筋处的混凝土 应变为零的阶段。 预应力钢筋除混凝土应变为零时 ，预应力筋的应力为:
ps E p ps 2 10 5.32410 10648MPa .
-0.64
-0.229 104
0.076 106
+0.64
+0.229 104
应力图
应变图
3 开裂阶段
在开裂弯矩作用下， 截面的开裂曲率等于阶段（2）的曲率与开裂增加曲率之和， 也就是：
cr (0.917 0.076) 106 0.993 106 rad/mm
依据上述六个控制点 ，绘制弯矩曲率曲线 Origin作图如下：
谢谢！
预应力与非预应力筋 中的总拉力：
T Ap ps As s 1095.5kN
受压区合力：
C0 4375c 1050kN
表面中性轴高度偏小 ，需再次试算。
4 非线性阶段
3
假定中性轴高度 c=247mm
预应力与非预应力筋 中的总拉力：
T Ap ps As s 1081kN
c
c
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
480 300 ps 5.324 10 ( ) 0.001 300 5.94 103 0.8 f 0.2 预应力钢筋 ps 处于弹性工 Es 作阶段
3
p (
s (
4 非线性阶段
+9.64 +13.38 -16.06
+1.78 +3.06
0.0636 103
0.109 103
M
应力图
3
应变图
0.917 106 rad/mm
此阶段结束时，曲率为： (0.441 0.109) 10
600
I 5.4 103 9.64 弯矩为： M 289.0kNm e 180
普通钢筋
550 300 s ( ) 0.001 0.833 103 300
c
c
fs s Es
普通钢筋 处于弹性工 作阶段
p (
Biblioteka Baidu (
480 c ) c c
550 c ) e c
5.324 103
4 非线性阶段
合力计算
预应力与非预应力筋 中的总拉力：