弯矩曲率计算示例(1)
弯矩计算公式
弯矩计算公式：mmax = FL /2。
（mmax是最大弯矩，f是外力，l是力臂）。
弯矩图用于显示弯矩沿梁每个横截面的轴的变化。
规则总结如下：
（1）在梁的某个截面上，如果没有分布载荷，即Q（x）= 0，则可以从D？看到。
M（x）/ DX？2 = q（x）= 0，其中m（x）是X的函数，弯矩图是斜线。
（2）在梁的某个截面上，如果施加了分布式载荷，即Q（x）=常数，则d?。
2m （x）/ DX？2 = q（x）=常数可以得出，m（x）是X的二次函数。
弯曲的道矩图是抛物线。
（3）如果在梁的某个截面上fs（x）= DM（x）/ DX = 0，则该截面上的弯矩存在一个极值（最大值或最小值）。
即，弯矩的极值出现在剪切力为零的截面上。
扩展数据
一般来说，弯矩的正负在不同学科上有不同的规定。
如果指定了正负力矩，则可以通过代数计算弯矩。
在计算柱弯矩时，判别方法为“左上和右下为正，左下和右上为负”。
如果截面左侧到截面质心的外力力矩顺时针旋转，或者截面右侧向截面质心的逆时针力矩，则会产生正值。
弯矩，因此取正号；否则为负，即左侧为顺时针，右侧为反向，弯矩为正。
对于土木结构梁（指水平构件），当构件截面的下侧承受拉力时，该截面的弯矩称为正弯矩；弯矩称为正弯矩。
当组成部分的上侧承受拉力时，该部分的弯矩称为负弯矩。
梁的支承反作用力和弯矩都是载荷（Q，M0）的线性函数，也就是说，反作用力或弯矩与载荷呈线性关系。
在这种情况下，由G和M0共同作用产生的反作用力或弯矩等于由G和M0单独作用所产生的反作用力或弯矩的代数和。
弯矩 曲率关系
c0 0.00,2cu0.0033
11.0
1
0.8, 0.7,
fcu 50Mpa fcu 50Mpa
线性插值（《混凝土结构设计
规范》GB50010 ）
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
定义：
x h0
xn=nh
0
1c0
yc C
x=1xn
对试验梁，已知b、h0、As、fc、fy、Es， Mu
MI
Mcr
MII
My
(Mu) MIII
t<ft
sAs
sAs t=ft(ct =tu)
s<y
sAs
s= fyAs
y
fyAs s>y
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
结论
•适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计 时应予避免
•在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同 时，混凝土压碎
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
1. 基本假定
P
平截面假定----平均应变意义上
As’
as’
dy
y
h
L/3
L/3
ct
L
c
s’ nh0
As
as b
s
b c
(1-n)h0
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的相容关系
as h/2as h h/2as
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
As
as 1
h/2-
弯矩计算公式各单位
弯矩计算公式各单位弯矩计算公式及其应用。
引言。
在工程学中，弯矩是一个非常重要的概念，它在结构设计和力学分析中起着至关重要的作用。
弯矩是指在一个材料或结构体上由外部力产生的弯曲力矩。
弯矩的计算对于工程设计和结构分析至关重要，因此掌握弯矩的计算公式和应用是非常重要的。
本文将介绍弯矩的计算公式以及其在工程学中的应用。
弯矩的定义。
在力学中，弯矩是指在一个材料或结构体上由外部力产生的弯曲力矩。
当一个物体受到外部力的作用时，如果这些力不在物体的重心线上，就会产生弯曲力矩。
弯矩的大小取决于外部力的大小和作用点的距离，通常用M来表示。
弯矩的单位是牛顿米（N·m）或者磅英尺（lb·ft）。
弯矩的计算公式。
弯矩的计算公式可以根据不同的情况进行推导，下面将介绍几种常见的情况。
1. 简支梁的弯矩计算。
当一个简支梁受到集中力作用时，弯矩的计算公式为：M = F d。
其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到支点的距离。
2. 均布载荷下的弯矩计算。
当一个梁受到均布载荷作用时，弯矩的计算公式为：M = w l^2 / 8。
其中，M为弯矩，w为均布载荷的大小，l为梁的长度。
3. 不等强度梁的弯矩计算。
当一个梁的截面不均匀或者材料的强度不均匀时，弯矩的计算公式为：M = σ I / c。
其中，M为弯矩，σ为材料的应力，I为截面的惯性矩，c为截面到受力点的距离。
弯矩的应用。
弯矩的计算公式可以应用在各种工程学问题中，下面将介绍几种常见的应用。
1. 结构设计。
在建筑和桥梁等结构设计中，弯矩的计算是非常重要的。
设计师需要根据结构的形状和受力情况来计算弯矩，以确定结构的强度和稳定性。
2. 材料选择。
在材料工程中，弯矩的计算可以帮助工程师选择合适的材料。
根据弯矩的大小和受力情况，工程师可以选择合适的材料来满足设计要求。
3. 结构分析。
在结构分析中，弯矩的计算可以帮助工程师确定结构的受力情况和变形情况。
通过计算弯矩，工程师可以评估结构的稳定性和安全性。
弯矩计算公式有几种形式
弯矩计算公式有几种形式弯矩计算公式的几种形式。
在工程力学和结构设计中，弯矩是一个重要的概念，用于描述材料在受力时的弯曲情况。
弯矩的计算公式有多种形式，可以根据不同的情况和需求进行选择和应用。
本文将介绍几种常见的弯矩计算公式，并对其适用范围和特点进行分析。
1. 弯矩的基本定义。
在介绍弯矩的计算公式之前，我们先来了解一下弯矩的基本定义。
弯矩是指在梁或梁柱等结构受力时，由于外力的作用而产生的一种内力，它的作用是使结构产生弯曲变形。
在数学上，弯矩可以用力矩来表示，即力矩是由外力在结构上产生的引起结构弯曲的力的矩。
弯矩的大小和方向与外力的大小、作用点和结构的几何形状有关。
2. 弯矩的计算公式。
弯矩的计算公式有多种形式，可以根据结构的几何形状和受力情况来选择合适的公式进行计算。
下面我们将介绍几种常见的弯矩计算公式。
2.1 点弯矩计算公式。
对于梁上的一个点来说，它所受到的弯矩可以通过以下公式来计算：M = F d。
其中，M表示弯矩，F表示作用在点上的外力的大小，d表示外力的作用点到梁的中心线的距离。
2.2 分布载荷下的弯矩计算公式。
当梁上受到均布载荷时，可以用以下公式来计算弯矩：M = (w L^2) / 8。
其中，M表示弯矩，w表示均布载荷的大小，L表示梁的长度。
2.3 集中力和均布载荷共同作用下的弯矩计算公式。
当梁上同时受到集中力和均布载荷时，可以用以下公式来计算弯矩：M = (F a) (w a^2) / 2。
其中，M表示弯矩，F表示集中力的大小，a表示集中力作用点到梁的端点的距离，w表示均布载荷的大小。
3. 弯矩计算公式的应用。
弯矩计算公式在工程实践中有着广泛的应用，可以用于结构设计、材料选择和工程施工等方面。
在进行结构设计时，通过计算弯矩可以确定结构的受力情况和强度要求，从而选择合适的材料和断面形状。
在工程施工中，通过计算弯矩可以确定梁的支撑方式和施工工艺，保证结构的安全和稳定。
4. 弯矩计算公式的选择和应用注意事项。
UCfber在钢筋混凝土截面弯矩_曲率计算中的应用
4 混凝土二次衬砌
为保证二次衬砌进度，并做到内实、外美，采用
2 台 9m 长整体钢模衬砌台车，台车总重量达 60t，主 骨架部分在厂家生产，现场安装后，焊接顶面钢板， 为保证模板周转使用不变形，采用 8mm 厚钢板，现 场安装需要一个月时间。二次衬砌要做到仰拱先行 创造环境，适时衬砌保安全。7 月初开始衬砌，在雨 季前完成进出口二次衬砌，施工安全得到保证。
Moment/kN*m Moment/kN*m
244800。如果该桥梁在罕遇地震顺桥向作用下，固定 墩墩底截面弯矩小于 92710，则说明固定墩墩底截 面处于弹性工作状态；如果固定墩墩底截面弯矩大 于 92710 但小于 476000，说明固定墩墩底截面已经 达到屈服状态但是尚未破坏，上述两种状态证明该
ρx，ρy—分别为箍筋在 x, y 的体积含筋率。由公
式（5）计算。
ρx
=
Asx s×dc
(5a)
ρy
=
Asy s×bc
(5b)
其中：
dc —矩形截面沿 Y 轴方向算到箍筋外缘的宽；
bc —矩形截面沿 X 轴方向算到箍筋外缘的宽；
S—纵向箍筋的间距。
算出 f′lx 和 f′ly 之后，就可以利用约束应力与约
开裂弯矩 /kN·m 28460 77040 67690 144900 92710 186300
表 1 各墩墩底截面弯矩 - 曲率计算结果
开裂曲率 /rad·m-1 1.237e-4 4.837e-5 1.124e-4 4.747e-5 9.684e-5 4.539e-5
屈服弯矩 /kN·m 90100 237500 171300 375000 223200 476000
弯矩计算公式简
弯矩计算公式简弯矩是工程力学中的一个重要概念，用来描述材料在受力作用下的弯曲程度。
在工程设计和结构分析中，弯矩计算是非常重要的一部分，可以帮助工程师确定材料的强度和结构的稳定性。
在本文中，我们将介绍弯矩的计算公式，并且讨论一些相关的概念和应用。
弯矩的定义是在一个横截面上的受力情况下，引起该横截面产生弯曲的力矩。
在工程中，通常使用符号M来表示弯矩。
弯矩的计算公式可以根据不同的情况分为静定弯矩和非静定弯矩。
静定弯矩是指在横截面上受力情况已知的情况下，可以通过简单的力学原理来计算弯矩的情况。
静定弯矩的计算公式可以表示为：M = F d。
其中，M表示弯矩，F表示作用力的大小，d表示作用力到横截面的距离。
这个公式适用于简单的梁的情况，可以通过简单的几何关系来计算。
但是在实际工程中，很多情况下横截面上的受力情况并不是静定的，这时就需要使用非静定弯矩的计算公式。
非静定弯矩的计算需要考虑横截面上的应力分布情况，通常需要使用积分的方法来计算。
对于一个梁的情况，可以使用以下公式来计算非静定弯矩：M = ∫(y σ) dA。
其中，M表示弯矩，y表示横截面上某一点到中性轴的距离，σ表示该点上的应力，dA表示微元面积。
这个公式可以帮助工程师计算出横截面上各点的弯矩，从而确定材料的强度和结构的稳定性。
除了上述的基本弯矩计算公式之外，还有一些相关的概念和应用需要了解。
例如，中性轴是指横截面上受力情况对称的轴线，沿着这条轴线的弯矩为零。
中性轴的位置对于材料的强度和结构的稳定性有着重要的影响，可以通过弯矩的计算来确定。
此外，弯矩的计算还可以应用到梁的设计和分析中。
工程师可以通过计算弯矩来确定梁的尺寸和材料的选择，从而确保结构的安全性和稳定性。
弯矩的计算也可以帮助工程师预测材料在受力情况下的变形情况，从而进行合理的设计和优化。
总之，弯矩的计算公式是工程力学中的重要内容，可以帮助工程师确定材料的强度和结构的稳定性。
通过简单的静定弯矩公式和复杂的非静定弯矩公式，工程师可以计算出横截面上各点的弯矩，从而进行合理的设计和分析。
《弯矩曲率关系》课件
曲率的定义
曲率：描述曲线弯曲程度的量， 定义为曲线上任一点处切线方向 角的变化量与经过的弧长的比值
。
在数学上，曲率是用来衡量曲线 上某一点附近的小弧段弯曲程度
的量。
对于直线，其曲率为0；对于圆 ，其曲率是一个常数，等于圆的
半径倒数。
曲率的计算
曲率计算公式：K = lim(Δs->0) [Δs / (Δt)^2] / lim(Δt>0) [Δs / Δt]
在机械工程中的应用
传动系统设计
在机械传动系统中，弯矩曲率关系对于齿轮、轴等部件的设计和优化具有指导意义。了解弯矩与曲率的关系有助 于提高传动系统的效率和稳定性。
疲劳分析
在机械部件的疲劳分析中，弯矩曲率关系是评估其疲劳寿命的重要因素之一。通过对弯矩和曲率的变化规律进行 分析，可以预测部件的疲劳寿命和潜在的疲劳断裂风险。
在工程结构中，弯矩和曲率是密切相关的。例如，在桥梁、建筑和机械设计中，需 要考虑到结构的弯曲程度和弯矩之间的关系。
当结构受到外力作用时，会发生弯曲变形，曲率会发生变化，同时弯矩也会随之改 变。因此，在设计时需要考虑到结构的承载能力和稳定性。
了解弯矩与曲率的关系有助于工程师更好地设计结构，确保其安全性和稳定性。
需要研究弯矩曲率关系在不同温度、湿度等环境 条件下的变化规律。
需要探索弯矩曲率关系在复合材料、智能材料等 新型材料中的应用。
对学习者的建议
学习者应该深入理解弯矩和曲 率的定义及测量方法。
学习者应该掌握弹性力学和 材料力学的基本原理，以便 更好地理解弯矩曲率关系。
学习者可以通过实验和实践来 加深对弯矩曲率关系的理解和
应用。THANΒιβλιοθήκη S感谢观看详细描述
弯矩是材料力学中一个重要的概念，用于描述弯曲变形过程 中截面所受到的力矩作用。在材料受到弯曲时，截面上会产 生剪力和弯矩，弯矩的大小与剪力和中性轴距离有关。
均布荷载的弯矩
均布荷载的弯矩弯矩是指在物体上施加荷载时产生的弯曲力矩。
均布荷载则是指施加在物体上的载荷均匀分布。
在工程领域中，了解均布荷载的弯矩计算方法对于设计和分析结构的稳定性至关重要。
本文将介绍均布荷载的弯矩及其计算方法。
一、均布荷载的概念均布荷载是指施加在物体上的荷载均匀分布的载荷形式。
例如，在桥梁设计中，自重荷载、行车荷载等都可以视为均布荷载。
均布荷载的弯矩计算可以帮助工程师确定结构的最大变形和最大应力，从而确保结构的稳定性和安全性。
二、均布荷载的弯矩计算方法1. 杆件弯曲方程在计算均布荷载的弯矩之前，需要先了解杆件的弯曲方程。
弯曲方程可以描述杆件在弯曲过程中的变形情况。
对于一个杆件，其弯矩可以通过以下方程计算：M = E * I * κ / R其中，M表示弯矩，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，κ表示截面位置的曲率，R表示曲率半径。
2. 均布荷载的弯矩计算公式对于均布荷载，弯矩的计算公式如下：M = (w * L^2) / 8其中，M表示弯矩，w表示均布荷载的大小，L表示杆件的长度。
三、示例分析为了更好地理解均布荷载的弯矩计算方法，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根梁，长度为L，宽度为b，高度为h。
该梁受到均布荷载w的作用。
根据上述公式，计算该梁的弯矩。
首先，计算截面惯性矩I和曲率κ。
对于矩形截面，截面惯性矩I可以通过以下公式计算：I = (b * h^3) / 12曲率κ可以通过以下公式计算：κ = M / (E * I)其中，E表示杨氏模量。
然后，根据弯曲方程，计算弯矩M。
将均布荷载w代入公式，得到：M = (w * L^2) / 8最后，将计算得到的M代入曲率公式，计算得到曲率κ。
通过曲率，可以进一步分析梁的变形情况和应力分布。
四、结论均布荷载的弯矩计算对于工程设计和结构分析非常重要。
通过了解弯曲方程和计算公式，工程师可以计算出结构在均布荷载作用下的弯矩，评估结构的稳定性和安全性。
弯矩曲率关系
1. 基本假定
混凝土受压时的应力-应 变关系
n
2
1 60
(
fcu
50),当n
2时，取n
2
当应力较小时，如 c 0.3 fc时，可取 c Ecc
c fc
c
f
c
1
1
c 0
n
o
0
0 0.002 0.5 fcu 50105
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
最小配筋率
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果 P
M
超筋 平衡
III
适筋
L/3 L
II 少筋 I O
最小配筋率
c
c
c
c
L/3
(c’<u) c
MI
Mcr
MII
My
(Mu) MIII
t<ft
sAs
sAs t=ft(ct =tu)
s<y
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的平衡方程
As
as
h/2as h h/2as
as
1
i
Zi
截面中心线 s n
As
b
c1 s ci M
N
X 0,
n
ci Ai
' s
As'
s As
N
0
i 1
sAs ci
sAs
M 0,
荷载分 配梁 P
第二章弯矩曲率关系
n
i 1
ci
Ai s' As' s As N 0
n
2） 假定和 值
M 0,
M ci Ai Z i s As (
i 1
h h a s ) s As (a s )＝0 2 2
3） 由相容方程求出各条带混凝土的应变及钢筋的应变； 4） 由物理关系求出相应的应力，拉区混凝土条带的应变 超过其极限受拉应变时，应对其进行处理；
2） 假定 值
X 0,
n
i 1
ci
Ai s' As' s As N 0
n
M 0,
M ci Ai Z i s As (
i 1
h h a s ) s As (a s )＝0 2 2
3） 由相容方程求出各条带混凝土的应变及钢筋的应变； 4） 由物理关系求出相应的应力，拉区混凝土条带的应变 超过其极限受拉应变时，应对其进行处理；
5） 将各应力值代入第一平衡方程，判断是否满足平衡条件： 如不满足，需要调整 值直至满足为止，如满足平衡条件， 则由第二平衡方程求出M，然后重复步骤1～5
6） 当符合破坏条件时，停止计算。
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
M - 关系的计算方法之二 ：分级加荷载法
1） 取M＝M＋M
h h/2as
as b
n
As
对钢筋混凝土柱， 有时也可能会出现 s < 0
s s ( s )
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的平衡方程
as h/2as h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As As
混凝土构件截面的弯矩-曲率关系
3.3.1.1截面的弯矩曲率关系第一个方面是柱截面的受弯性能，即截面弯矩M －截面曲率ϕ的关系。
在截面受弯过程中，钢筋混凝土构件截面一般经历三个阶段：截面弹性受力状态→截面受拉边缘混凝土纤维开裂→截面受拉边钢筋拉屈→截面受压边混凝土达到极限压应变。
随着弯矩的增加，截面受弯刚度趋势变小，一般配筋截面在进入屈服阶段后都存在一个明显的屈服平台，即截面的极限弯矩稍大于屈服弯矩，但是截面的极限曲率远远大于屈服曲率。
现在常用截面条带模型计算截面的M －ϕ全过程曲线。
截面条带模型程序分析中用到的基本假定有以下几条[32]：（1）截面从受力开始到破坏，截面始终保持平面变形。
（2）钢筋和混凝土材料在标准试验中测定的本构关系可以用于程序分析。
（3）忽略由于时间因素引起的材料变化，例如：混凝土的收缩、徐变。
（4）截面的变形比较小，变形后的状态不影响受力体系计算图形和内力值。
根据以上的基本假定，程序中可以使用以下三个基本条件：（1）几何变形条件：由假定（1）可以确定在截面分析过程中，以下公式始终成立。
ϕ ＝h sc εε+ 其中ϕ是截面曲率，c ε是受压边缘混凝土应变，s ε是受拉钢筋应变，0h 是截面有效高度。
（2）物理本构关系：通过这个条件可以由混凝土或钢筋的应变推得相应的应力c σ和s σ。
本文采用了混凝土和钢筋典型的应力—应变曲线，如图3－2所示：图3－2混凝土和钢筋的本构关系曲线混凝土受压的本构关系采用了Hognestad 模型，数学表达式为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫---=-=cpcpcu cpcp cp cp σεεεεσσεεεεσ)](15.01[])()(2[2上升段（3－1）下降段 其中混凝土的受压峰值应变cp ε取为0.002，而极限应变u ε取为0.0033。
混凝土受拉的本构关系采用了简化模型，数学表达式为：⎪⎭⎪⎬⎫==tptp tpσσσεεσ)(上升段（3－2）水平段其中混凝土的受拉峰值应变tp ε取为0.0001，而极限应变tu ε取为0.0002。
弯矩曲率计算示例[详细]
![弯矩曲率计算示例[详细]](https://img.taocdn.com/s3/m/fa3b166d7f1922791688e8d0.png)
0.933106
-4.36
P A
-7.84
Pey I
-9.06 -10.89
-12.2
P Pey AI
应力图
ce 0.324 103
s 0.389 103
0.436 103
c c / Ec
应变图
1 初始阶段
当外力矩（包括自重）M 0 时，截面曲率：
0.993106 rad/mm
f pu f p0.2 1540 MPa
预应力筋有效预应力
f pe 1000 MPa
弹性模量
Ep Es 2 105 MPa
Ap 784 mm2 As 402 mm2
Ap As
300 mm
弯矩曲率计算
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
仅预应力 筋有效力 作用
梁底混凝 土达到抗 拉强度， 裂缝出现
给定顶部 应变，计 算弯矩曲 率
4 非线性阶段
假定截面顶纤维混凝土应变 c 0.001
截面开裂时，顶部纤维应变为：
c 0.464 103
0.464103 0.001 因此，在本阶段采用开裂截面分析。 即，假设中性轴以下混凝土不起作用。
4 非线性阶段
应力应变关系符如右图所
示，符合二次抛物线形曲
线
开裂后，截面扔符合平截面 假定。根据应力应变关系得 到应力图。
3 开裂阶段
由ΔM 对非预应力筋产生的拉应力为：
s
ns
My I
11.5 106 250 7.14 5.4 109
3.8MPa
因此开裂弯矩下，非预应力筋中的应力为：
s 12.7 3.8 16.5MPa
3 开裂阶段
由纤维应力0.64MPa而增加的曲率如图所示：
弯矩 曲率
弯矩曲率弯矩是结构力学中的重要概念之一，它描述了材料在受力作用下的弯曲情况。
曲率则是描述曲线弯曲程度的物理量。
弯矩和曲率在结构设计以及材料力学等领域都有广泛的应用，对于研究物体在受力作用下的变形和破坏具有重要意义。
首先来介绍弯矩。
弯矩是指在材料受到弯曲作用时，在截面上产生的力矩，也可以理解为材料截面上的弯曲力。
对于一根梁而言，如果在一段截面上的外力作用产生的力矩大于其截面内部的抵抗力矩，则梁将发生弯曲变形。
弯矩大小与外力的大小和作用点到截面的距离有关。
一般可以通过应力和截面形状来求解弯矩。
在力学中通过材料的横截面上剪应力为零的状态称为悬臂点，而不同截面上的悬臂点之间的距离即为弯矩。
弯矩的大小对于物体的变形和破坏有着重要的影响。
当弯矩作用到一定程度时，材料内部的应力将超过其抗弯强度，引起横截面的破坏。
因此在结构设计中，需要根据材料的弯曲特性以及所受到的外力大小来确定合理的截面形状以及材料的选择，以保证结构在使用过程中能够满足强度和刚度的需求。
接下来我们来介绍曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的物理量，一般表示为k。
在数学中，曲率定义为曲线上某一点处的切线与曲线在该点处的夹角的弧度表示。
曲率值越大，曲线的弯曲程度就越大。
曲率的计算方法有多种，其中一种常见的方法是通过曲线的二阶导数来计算。
曲率在物理学和几何学中具有广泛的应用，例如天体运动、光学、流体力学等。
曲率也与弯矩有着密切的关系。
在梁的弯曲中，曲率可以描述梁截面的弯曲程度。
当外力作用在梁上产生弯矩时，曲率的大小与弯矩呈正相关关系。
具体而言，当梁受到均布载荷或集中载荷作用时，曲率在材料横截面上是沿着梁轴方向变化的，通常是两端较大，中间较小。
而曲率变化的大小与受力区域的长度和横断面形状有关。
当曲率超过材料的允许极限时，材料将发生失稳和破坏。
综上所述，弯矩和曲率是结构力学中重要的概念，对于研究物体在受力作用下的变形和破坏具有关键意义。
弯矩描述了在材料受到弯曲作用时产生的力矩，而曲率则描述了曲线的弯曲程度。
弯矩计算公式
弯矩计算公式：mmax=FL/2。
（Mmax为最大弯矩，f为外力，l为力臂）。
弯矩图用于显示沿梁各横截面轴线的弯矩变化。
规则总结如下：
（1）在梁的某一截面上，如果没有分布荷载，即Q（x）=0，则D？看。
M（x）/DX？2=q（x）=0，其中m（x）是x的函数，弯矩图是对角线。
（2）在梁的某一截面上，如果施加分布荷载，即Q（x）=常数，则d？。
2米（x）/DX？2=q（x）=常数可以得出m（x）是x的二次函数。
曲线道路力矩图是抛物线。
（3）如果在梁的某一截面上fs（x）=DM（x）/DX=0，则该截面上存在弯矩的极值（最大值或最小值）。
也就是说，弯矩的极值出现在剪力为零的截面上。
扩展数据
一般来说，弯矩符号在不同学科中有不同的规定。
如果指定了正力矩和负力矩，则可以用代数方法计算弯矩。
计算柱弯矩时，判断方法为“左上、右下为正，左下、右上为负”。
如果截面左侧到截面质心的外力矩顺时针旋转，或者截面右侧到截面质心的外力矩逆时针旋转，则产生正值。
弯矩，取正号，否则为负，即左侧顺时针，右侧反，弯矩为正。
对于民用结构梁（指水平构件），当构件截面下侧承受拉力时，该截面的弯矩称为正弯矩；弯矩称为正弯矩。
当构件上侧受拉时，这部分的弯矩称为负弯矩。
梁的支座反力和弯矩均为荷载（Q，M0）的线性函数，即反力或弯矩与荷载呈线性关系。
在这种情况下，G和M0共同作用产生的反作用力或弯矩等于G和M0单独作用产生的反作用力或弯矩的代数和。
利用弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
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01. 概要
在非线性抗震分析中经常要使用截面的非线性滞回特性，梁或柱截面的非线滞回性特性可以使用截 面的弯矩-曲率关系或荷载-位移关系曲线来描述。
| 弯矩-曲率关系曲线 |
< 未勾选显示理想化模型选项时 >
< 勾选并输入用户自定义曲率: 0.002 >
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
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05.任意形状截面性能评价
3. 查看结果
可查看弯矩-曲率、中和轴角度-曲率、砼受压－曲率、砼受拉-曲率、钢筋受压-曲率、钢筋受拉-曲 率关系曲线。
04. 矩形截面性能评价
3. 查看各种曲线
可查看弯矩-曲率、中和轴角度-曲率、砼受压－曲率、砼受拉-曲率、钢筋受压-曲率、钢筋受拉-曲 率关系曲线。
| 查看各种关系曲线结果 |
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
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05.任意形状截面性能评价
1. 输入钢筋
利用弯矩-曲率曲线计算任意形状截面的抗震性能，下面输入钢筋。
输入矩形截面的配筋（单位使用kN、m）。
在主菜单中选择模型 > 材料和截面特性 > 弯矩-曲率曲线 1. 在名称中输入‘Column(SR)’ 2. 在截面中输入‘Column(SR)’, 在混凝土选择栏中选择‘Column(Concrete)’, 在钢材选择栏
中选择‘Column(Steel)’ 3. 在“位置”中选择“I” 4. 点击“截面钢筋数据”键 5. 在截面列表中选择‘Column(SR)’ 6. 在箍筋类型中选择箍筋直径‘D13’ 7. 在箍筋间距中输入‘0.1’, 箍筋肢数输入‘2’ 8. 在Pos1的数量中输入’20’, 在直径1中选择‘D25’ 9. 在Pos2的数量中输入’20’, 在直径1中选择‘D25’ 10. 在Dc中输入‘0.1’ 11. 点击“添加/替换”键 12. 点击“取消”键 13. 在轴力中输入‘1500’ 14. 在中和轴角度中输入‘0’ 15. 在点数中输入‘50’ 16. 点击“添加”键
材料力学弯矩计算公式
材料力学弯矩计算公式以材料力学弯矩计算公式为标题，本文将介绍材料力学中的弯矩概念及其计算公式。
弯矩是材料力学中的重要概念，用于描述材料在受力作用下的弯曲变形情况。
了解弯矩的计算公式对于工程设计和结构分析具有重要意义。
一、弯矩的概念在材料力学中，弯矩是指材料在受到力的作用下发生弯曲变形的情况。
当材料受到外力作用时，会在材料中产生内力，而这些内力会使材料产生弯曲。
弯矩的大小与受力大小、受力位置以及材料的几何形状等因素有关。
二、弯矩计算公式弯矩的计算公式可以根据材料的受力情况和几何形状进行推导，常用的弯矩计算公式有以下几种：1. 简支梁的弯矩计算公式当材料为简支梁时，即两端支撑，受力点在中间时，弯矩的计算公式为M = F * L / 4，其中M为弯矩，F为受力大小，L为材料长度。
2. 悬臂梁的弯矩计算公式当材料为悬臂梁时，即一端支撑，受力点在另一端时，弯矩的计算公式为M = F * L，其中M为弯矩，F为受力大小，L为材料长度。
3. 均布载荷情况下的弯矩计算公式当材料受到均布载荷作用时，弯矩的计算公式为M = (w * L^2) / 8，其中M为弯矩，w为单位长度的载荷大小，L为材料长度。
4. 集中载荷情况下的弯矩计算公式当材料受到集中载荷作用时，弯矩的计算公式为M = F * L，其中M为弯矩，F为载荷大小，L为受力点到支撑点的距离。
这些弯矩计算公式可以根据具体的受力情况和几何形状进行选择和应用，以计算出材料在受力下的弯曲情况。
三、弯矩计算实例为了更好地理解弯矩计算公式的应用，下面以一个简单的实例来说明：假设有一根长度为2米的梁材，两端支撑，中间受到一个100牛的力作用。
根据简支梁的弯矩计算公式M = F * L / 4，可以得到弯矩M = 100 * 2 / 4 = 50牛米。
以上实例中，通过应用弯矩计算公式，可以得到材料在受力下的弯矩大小。
这个结果对于工程设计和结构分析非常重要，可以帮助工程师们评估材料的强度和稳定性，从而保证结构的安全性。
弯矩曲率计算示例(1)
弯矩曲率计算示例(现代预应力混凝土结构，杜拱辰，1986年，中国建筑工业出版社，P254)弯矩曲率分析一般分两个阶段进行：梁未开裂；梁已开裂。
第一阶段一般假定为弹性阶段。
第二阶段材料的应力应变关系是非线性的。
如图所示的梁截面尺寸，2mm 784=p A ，2mm 402=s A ，混凝土的应力应变关系为二次抛物线，即 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2002εεεεσc c f ；为简化计算及说明过程，假定预应力高强高筋的极限强度和其屈服强度相等，即MPa 15402.0==p pu f f ；普通钢筋的屈服强度为MPa 400=y f ；预应力筋的有效应力为MPa 1000=pe f ；MPa 1025⨯==s p E E ；MPa 35=c f ；MPa 7.3=t f ；MPa 108.24⨯=c E ,求下列个阶段的弯矩及曲率：（1） 初始阶段，即外弯矩为零，MPa 1000=pe f ； （2） 预应力筋水平处混凝土的应变为零；（3） 裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度MPa 7.3=t f ；（4） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.001 （5） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.002 （6） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.003并将各阶段的弯矩、曲率、预应力及非预应力筋的应力列表并绘制出截面在加载直到破坏为止全过程的弯矩曲率图。
求解过程如下 （1）初始阶段：采用毛截面特征值和pe p e f A P =来计算截面的应力和应变，截面几何特征：23mm 10180⨯=A ，49mm 104.5⨯=I ，kN 7841000784=⨯==pe p e f A P 有效预加力kN 784=e P 及偏心矩mm 180=e 对截面引起的应力和相应的应变如图所示：当外力矩（包括自重）0=M 时，截面曲率：60010)436.0123.0(3-⨯+-=ϕ=-0.993rad/mm 106-⨯非预应力筋的压应力＝MPa 8.77389.010235-=⨯⨯-=-s s E ε预应力筋在有效应力下的应变3105200000/1000-⨯===p pe pe E f ε（2）预应力筋水平处混凝土应变为零阶段：一个对应预应力筋水平处产生拉应变为310324.0-⨯的外加力矩将使混凝土应变为零，并使预应力筋产生同样的拉伸应变，因此预应力筋的应变将增加到：33310324.510324.0105---⨯=⨯+⨯=+=ce pe ps εεε相应的预应力筋中的应力为：MPa 8.106410324.510235=⨯⨯⨯==-ps p ps E εσ预应力筋中的拉力为：kN 8.8348.1064784=⨯==ps p A P σ在kN 8.834=P 作用下，截面混凝土的应力分布如下图所示。
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弯矩曲率计算示例
(现代预应力混凝土结构，杜拱辰，1986年，中国建筑工业出版社，P254)
弯矩曲率分析一般分两个阶段进行：梁未开裂；梁已开裂。
第一阶段一般假定为弹性阶段。
第二阶段材料的应力应变关系是非线性的。
如图所示的梁截面尺寸，2mm 784=p A ，2mm 402=s A ，混凝土的应
力应变关系为二次抛物线，即 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2002εεεεσc c f ；为简化计算及说明过程，假定预应力高强高筋的极限强度和其屈服强度相等，即
MPa 15402.0==p pu f f ；普通钢筋的屈服强度为MPa 400=y f ；预应力筋
的有效应力为MPa 1000=pe f ；MPa 1025⨯==s p E E ；MPa 35=c f ；
MPa 7.3=t f ；MPa 108.24⨯=c E ,求下列个阶段的弯矩及曲率：
（1） 初始阶段，即外弯矩为零，MPa 1000=pe f ； （2） 预应力筋水平处混凝土的应变为零；
（3） 裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度MPa 7.3=t f ；
（4） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.001 （5） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.002 （6） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.003
并将各阶段的弯矩、曲率、预应力及非预应力筋的应力列表并绘制出截面在加载直到破坏为止全过程的弯矩曲率图。
求解过程如下 （1）初始阶段：
采用毛截面特征值和pe p e f A P =来计算截面的应力和应变，截面几何特征：23mm 10180⨯=A ，49mm 104.5⨯=I ，kN 7841000784=⨯==pe p e f A P 有效预加力kN 784=e P 及偏心矩mm 180=e 对截面引起的应力和相应的应变如图所示：
当外力矩（包括自重）0=M 时，截面曲率：
600
10)436.0123.0(3-⨯+-=ϕ=-0.993rad/mm 106-⨯
非预应力筋的压应力＝MPa 8.77389.010235-=⨯⨯-=-s s E ε
预应力筋在有效应力下的应变3105200000/1000-⨯===p pe pe E f ε
（2）预应力筋水平处混凝土应变为零阶段：一个对应预应力筋水平处产生拉应变为310324.0-⨯的外加力矩将使混凝土应变为零，并使预应力筋产生同样的拉伸应变，因此预应力筋的应变将增加到：
33310324.510324.0105---⨯=⨯+⨯=+=ce pe ps εεε
相应的预应力筋中的应力为：
MPa 8.106410324.510235=⨯⨯⨯==-ps p ps E εσ
预应力筋中的拉力为：
kN 8.8348.1064784=⨯==ps p A P σ
在kN 8.834=P 作用下，截面混凝土的应力分布如下图所示。
为使预应力筋水平处混凝土应力由MPa 64.9-降到零，需要增加的外弯矩为：
kNm 0.289180
64.9104.53=⨯⨯==e I M σ
在这一外力矩M 作用下，混凝土截面应力及曲率如下图所示：
非预应力筋的应力：
MPa 7.12100636.010235=⨯⨯⨯==-s s s E εσ
rad/m m 10917.0600
10)109.0441.0(63
--⨯=⨯+-=ϕ
（3）开裂阶段：
截面开裂点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点。
在阶段（2），截面底纤维已经存在3.06MPa 的拉应力，由于混凝土出现裂缝的抗拉强度为 3.7MPa, 为产生拉应力MPa 64.006.37.3=-=∆σ，所需要增加的
弯矩kNm 5.1130064
.0104.59=⨯⨯∆=
∆y I M σ。
因此开裂弯矩为： kNm 5.3005.11289=+=cr M
由M ∆对预应力筋产生的拉应力为：
MPa 7.2104.5180
105.1114.79
6=⨯⨯⨯==∆=∆I Me n n p c p ps
σσ
因此开裂弯矩下，预应力筋中的应力为：
MPa 8.10677.28.1064=+=ps σ
由M ∆对非预应力筋产生的拉应力为：
MPa 8.3104.5250
105.1114.79
6=⨯⨯⨯==∆I My n s s σ
因此开裂弯矩下，非预应力筋中的拉应力为：
MPa 5.168.37.12=+=s σ
由纤维应力0.64MPa 而增加的曲率如下图所示：
在开裂弯矩作用下，截面的开裂曲率等于阶段（2）的曲率与开裂增加曲率之和，也就是：
rad/mm 10993.010)076.0917.0(66--⨯=⨯+=cr ϕ
（4）截面顶纤维混凝土压应变 001.0=c ε
截面开裂是的压应变是（2）和（3）两个阶段的计算结果之和，
34310464.010229.010441.0---⨯-=⨯-⨯-=c ε，小于0.001, 因此应采用开裂
截面分析。
顶纤维混凝土的应力为：
MPa 25.26002.0001.0002.0001.023522200=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=εεεεσc c f
M
574
1.
kNm
11。