函数奇偶性知识点与经典题型归纳
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函数奇偶性
知识梳理
1. 奇函数、偶函数的定义
(1)奇函数:设函数()y f x =的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有()()f x f x -=-,则这个函数叫奇函数.(2)偶函数:设函数()y f x =的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有()()f x f x -=
则这个函数叫做偶函数.
(3)奇偶性:如果函数()f x 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数()f x 具有奇偶性.
(4)非奇非偶函数:无奇偶性的函数是非奇非偶函数.
注意:(1)奇函数若在0x =时有定义,则(0)0f =.
(2)若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称,则()f x 既是奇函数又是偶函数.
2.奇(偶)函数的基本性质
(1)对称性:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称.
(2)单调性:奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反.
3. 判断函数奇偶性的方法
(1)图像法
(2)定义法
○
1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○
2 确定f(-x)与f(x)的关系; ○
3 作出相应结论: 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
例题精讲
【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数,求b 的值.
解:∵函数 f (x )=ax 2+bx 是偶函数,
∴f (-x )=f (x ).∴ax 2+bx= ax 2-bx.
∴2bx=0. ∴b =0.
【例3】已知函数21()f x x
=在y 轴左边的图象如下图所示,画出它右边的图象.
题型一 判断函数的奇偶性
【例4】判断下列函数的奇偶性.
(1)2
()||(1)
f x x x
=+;
(2)
1 ()
f x x
x
=;
(3)()|1||1|
f x x x
=+--;(4)()22
f x x x
=--(5)22
()11
f x x x
=--
(6)
2
2
,0 ()
,0
x x x
f x
x x x
⎧+<
⎪
=⎨
->
⎪⎩
解:(1)2
()||(1)
f x x x
=+的定义域为R,关于原点对称.∵22
()||[()1]||(1)()
f x x x x x f x
-=--+=+=
∴()()
f x f x
-=,即()
f x是偶函数.
(2)
1
()
f x x
x
=的定义域为{|0}
x x>
由于定义域关于原点不对称
故()
f x既不是奇函数也不是偶函数.
(3)()|1||1|
f x x x
=+--的定义域为R,关于原点对称.
∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.
(4)()22
f x x x
=--{2},
由于定义域关于原点不对称,
故()
f x既不是奇函数也不是偶函数.
(5)22
()11
f x x x
=--的定义域为{1,-1},
由(1)0
f=且(1)0
f-=,所以()0
f x=
所以()
f x图象既关于原点对称,又关于y 轴对称
故()
f x既是奇函数又是偶函数.
(6)显然定义域关于原点对称.
当x>0 时,-x<0,f(-x)=x2-x=-(x-x2);
当x<0 时,-x>0,f(-x)=-x-x2=-(x2+x).
即
2
2
(),0 ()
(),0
x x x
f x
x x x
⎧-+<
⎪
-=⎨
-->
⎪⎩
即()()
f x f x
-=-
∴()
f x为奇函数.
题型二利用函数的奇偶性求函数值
【例2】若f(x)是定义在R 上的奇函数,f(3)=2,求f(-3)和f(0)的值.解:∵f(x)是定义在R 上的奇函数,
∴f (-3)=-f (3)=-2,
f (0)=0.
【例5】已知 f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,且 f (-1)+g (1)=2,f (1)+g (-1)=4,求g (1). 解:由 f (x )是奇函数,g (x )是偶函数
得()()f x f x -=-,()()g x g x -=
所以 -f (1)+g (1)=2 ①
f (1)+
g (1)=4 ②
由①②消掉 f (1),得 g (1)=3.
题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式
【例6】已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数,当 x≤0 时,f(x)=x 3-x 2,
当 x>0 时,求f(x)的解析式.
解:当0x >时,有0x -<
所以3232()()()f x x x x x -=---=--
又因为()f x 在 R 上为偶函数
所以32()()f x f x x x =-=--
所以当0x >时,32()f x x x =--.
【例7】若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=,求()g x .
解:因为()f x 为偶函数,()g x 为奇函数
所以()()f x f x -=,()()g x g x -=-
因为()()x f x g x e += ①
所以()()x f x g x e --+-=
所以()()x f x g x e -+-= ②
由①②式消去()f x ,得()2x x
e e g x --=.
课堂练习
仔细读题,一定要选择最佳答案哟!
1. 函数()11f x x x =-- )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
2.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21
()f x x x =+,则(1)f -=( )
3. f (x )为偶函数,且当 x ≥0 时,f (x )≥2,则当 x ≤0时,有( )
A .f (x )≤2
B .f (x )≥2
C .f (x )≤-2 (x )∈R
4. 已知函数y =f (x )是偶函数,y =f (x -2)在[0,2]上是单调减函数,则(
)
(0)<f (-1)<f (2) (-1)<f (0)<f (2)
(-1)<f (2)<f (0) (2)<f (-1)<f (0)