信道容量和编码

GHT=0 或 HGT=0
矩阵H称为(n, k)码的一致校验矩阵。对于系统码的生成
矩阵G=[ Ik, P]，一致校验矩阵H有如下形式：
H=[PT In-k]
（2）伴随式与纠错
设发送的码字为V=[v1,v2,…,vn]，接收的码字为 R=[r1,r2,…,rn]，则传输中的错误图样为E=[e1,e2,…,en]， R=V+E。若E≠0，则表明传输中出现错误，因此通过在接 收端检测RHT是否为零来检查是否出错，定义：
g(x)=LCM{m1(x)，m2(x)，…，mδ-1(x)} 式中，mi(x)为αi的最小多项式；LCM表示最小公倍。 BCH码的最小距离为δ。BCH码分为本原BCH码和非本 原BCH码。本原BCH码指的是g(x)中含有本原多项式，且 码长为2m-1。非本原BCH码码长为2m-1的因子。
对于一个二进制(n, k)线性分组码，当它的最小汉明距离 为d时，用于检错时它最多可以发现d-1个错误；用于纠错 时它最多可以纠正(d-1)/2位错误。若d≥t+t’+1 ，其中 t’>t ，这时该线性码可以在纠t个错的同时发现 t’个错误。
汉明码的参数为：
码长： n=2m-1
信息位数： k=2m-m-1
R(x)=V(x)+E(x) 用生成多项式g(x)除R(x)，得商式为q(x)，余式为S(x)， 即：
R(x)=q(x)g(x)+S(x) 式中的S(x)即为伴随式。
3. BCH码
BCH码是一类纠正多个随机错误的循环码，其定义如下 所述。
二进制或q进制循环码的生成多项式g(x)，若含有以下δ1个连续根：α，α2，α3，…，αδ-1，则由该g(x)生成的(n, k) 循环码称为二进制或q进制BCH码。码的生成多项式为
其中，m为任意不小于2的整数。
一旦m给定，就可以构造出具体的(n, k)汉明码。
2. 循环码
循环码是具有以下特点的线性分组码：任意码组的每一次 循环移位（左移或右移）得到的是码中的另一码组。即若 (vn-1 vn-2 … v0)为(n, k)码的码字，则（vn-2 vn-3 … v0 vn-1）也是(n, k)码的码字。通常用多项式来表示循环 码，如用
❖ 信道编码一般可以分成两大类，即分组码和卷积码。分组码编码时将输 入信息分成不同的组，对各组信息分别进行独立编码，加入冗余信息， 组与组之间是独立的，其译码也是分组独立译码。卷积码编码时将输入 信息与一固定结构的编码器进行卷积，卷积的输出作为传输信息。由于 卷积的关系，卷积码的输出信息是前后关联的，因此译码时，卷积码一 般采用序列译码的方式。
信道容量和编码
❖ 信道编码的原理是在传输信息的同时加入信息冗余（与信源编码正好相 反），通过信息冗余来达到信道差错控制的目的。当接收机利用该冗余 信息进行译码时，不再需要反馈信息，这种方式称为前向纠错译码；当 接收机利用该冗余信息对传输信息进行差错检验并将检验结果反馈，发 送端根据反馈结果决定是否重发时，这种方式称为自动请求重发。
xn-1=g(x)h(x) 式中，h(x)称为码的校验（监督）多项式，它由g(x)惟 一决定。
循环码的编码可以用反馈移位寄存器来实现，如图所示。
门2
g1
g2
D0
+
D1
+
gn-k
+
Dn-k+1
+
信息输入 门1
B 码字输出 A
C
（2）伴随式与译码电路
设V(x)与R(x)分别是发送和接收的码多项式，E(x)为错 误多项式，则
G(x) x2g(x)
xg(x)
g
(
x)
则称G(x)为生成矩阵G的多项式，而矩阵G为生成矩阵。
对于循环码，有以下关系：(n, k)循环码的每个码多项 式都是生成多项式g(x)的倍式；能被g(x)除尽的次数不大 于n-1次的的多项式必然是码多项式。此外，g(x)一定是 xn-1的因子，即
G=[Ik P]
式中：Ik表示k×k的单位矩阵；P表示一个k×(n-k)的矩阵。
由于（n, k）码的生成矩阵G，表示的是n维空间中的一 个k维的子空间，那么一定存在一个n-k维的子空间与G表 示的子空间正交，称为G行空间的零化空间。我们用一个 (n-k)×n的矩阵H的行向量来表示这个零化空间。则有如 下关系：
V(x)=vn-1xn-1+vn-2xn-2+…+v1x+v0 来表示码组(vn-1 vn-2 … v0)，称V(x)为码多项式。对于循 环码，xV(x)，x2V(x)，…，以及循环移位的线性组合均为
循环码，且这些码多项式都是模xn-1的余式。
（1）生成多项式与编码电路
从(n, k)循环码的2k个码字中，挑出一个wk.baidu.com面k-1位均为0的 n-k次码多项式
g(x)=xn-k+gn-k-1xn-k-1+…+g1x+1
则xg(x)，x2g(x)，…，xk-1g(x)都是码字，且这k个码字 线性无关，称g(x)为码的生成多项式。它是2k个码字集合 中唯一的一个次数为n-k次的多项式。
用上述k个码字作为循环码的基底，并以该基底作为构
成一个矩阵G(x)，即
xk 1g ( x)
9.1分组码 9.1.1分组码简介
1. 线性分组码 （1）基本概念
对于（n, k）线性分组码，生成矩阵是一个k×n的矩阵。设输入的信 息为m=[m1,m2,…,mk]，生成的码字为v=[v1,v2,…,vn]，则v=mG，其 中G为生成矩阵。生成矩阵的各行向量为码字空间的基底，由于一个 子空间的基底选择不是唯一的，所以生成矩阵G的选择也不是唯一的。 对于生成码字中前k位与信息完全相同的码称为系统码。这样，对于 系统码其生成矩阵可以表示为：
S=RHT
为伴随式，它是一个n重序列。
S=RHT=(V+E)HT=VHT+EHT=EHT
可见伴随式只与错误图样有关，而与发送的码字无关。 若E=0，则S=0表明没有错误；否则S≠0，伴随式与错误 图样E有一个对应关系，通过这个对应关系，由伴随式S 得到错误图样E，再将接收的码字R与错误图样E相加，就 可得到纠错后的正确码字。
（3）汉明距离与汉明码
线性码的纠错能力与码的最小距离有关。定义一个码字 的非零分量数为汉明重量。两码字间的不同符号数定义为 两码字的汉明距离。一线性码两两互异的码字构成的汉明 距离中，数值最小的称为该码的最小汉明距离dmin；非零 码字中，重量最小的称为该码的最小汉明重量。对于线性 分组码，它的最小汉明距离等于最小汉明重量。