高等数学 第六章定积分的应用习题课

就是在[ x, x dx]上“以直代曲” 所形成的矩形面积。
考虑到当[ x, x dx] [ , 0]和 [ x, x dx] [0, 1] 时[ x, x dx] 上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也
不同，因此微元 dA应该分别去求.
解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点M 的坐标为
由于曲线 x y 0 和 y x 2 2x
的交点为(0, 0)和 (3, 3),
取 x为积分变量, 则 x [0, 3].
（2）求微元：任取 x [0, 3], [x, x dx] [0, 3].
如果将图形上方直线的纵坐标记为 y2 x ,
将图形下方抛物线的纵坐标记为 y1 x 2 2x,
3
(
x2

3 x )dx

9.
0
2
【例2】* 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线
的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积。
分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图
所示。如果取 x 为积分变量，则 x (, 1], 设区间
[ x, x dx]所对应的曲边梯形
面积为 A, 则面积元素 dA
③在[x, x dx]上求出微元解析式dU f ( x)dx
④把所求的量表示成定积分U
b
f ( x)dx
a
三、典型例题
1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的
体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素和弧长元素。
【例1】求由 x y 0, y x2 2x 所围成图形的面积。
取积分变量为 x, 则 x [1, 2].
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须
是无穷小量之间的代替。将局部 [x, x dx] [a, b]上所对
应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f ( x)dx ． a
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围[a, b]；
A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
则所求的几何面积为 A 2 A1 18 a2
【例5】设由曲线
y

sin x (0
x

)，y
2
1
及x

0围成
平面图形A绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积。
则绕直线 y


1 2
旋转而成
的旋转体的体积微元dV
就是矩形S1
分别绕直线 y


1 2
旋转而成的旋转体的体积。
解: (1) 确定积分变量和积分区间：
绕直线 y 1 旋转如图 ，
y
2
1
取 x为积分变量,则 x [0, ].
2
(2) 求微元：对 x [0, ],
2
[x, x dx] [0, ],
转体的体积微元dV就是矩形S1分别绕x 轴、y 轴
旋转而成的体积.
解: (一) 求 x 绕轴旋转而成的旋转体的体积
（1）确定积分变量和积分区间：绕 x 轴旋转如图, 取 x 为积分变量,则 x [0, ].
2
（2）求微元：对 x [0, ],
2
[x, x dx] [0, ],
解：(1) 确定积分变量和积分区间:取 为积分变量， [0, ]
(2) 求微元：任取 [0, ], [ , d ][0, ],则面积
元素dA1就是区间[ , d ] 所wenku.baidu.com应的扇形面积,
dA1

1 2
2d
.
(3) 求定积分： 第一象限图形的面积表示为
0
1 dy]
1 y2
[(arcsin1)2 2
1
(arcsin y)d(
1 y2 )]
0
3 [2
4
1 y2 arcsin y 2 y]10
3 2
4
通过例5，同样可求出绕平行于x 轴和平行于 y 轴的直线
旋转而成的旋转体的体积，见例6。
【例6】设由曲线 y sin x (0 x ), x 及 y 0围成
2
(sin2
x

sin
x

1 )dx
0
4

2
(1

cos
2
x

sin
x

1
)dx
0
2
4

[1 ( x 1 sin 2 x) cos x 1 x] 2
22
40
( 3 1)
8
【例7】 计算底面是半径为2 的圆，而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。 分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择
时,那么面积元素dA1就是区间[x, x dx]所对应的矩形的面积，
即
dA1 (e x 0)dx e x dx
当[x, x dx] [0, 1] 时,那么面积元素 dA2 就是区间[x, x dx]
所当对应的矩形的面积，
即
dA2 (e x ex)dx
（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
2
旋转体体积元素 dVx 是[x, x dx]对应的矩形绕 x 轴所得的
旋转体的体积，即
dVx (12 sin2 x)dx
（3）求定积分：绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积表示为

Vx
2 (1 sin2 x)dx
0
计算积分得： Vx

2(1 sin2 x)dx
M ( x0 , y0 ), 则过原点且与y e x 相切的切线方程为：y e x0 x,
由

y
0
y0
e x0 x0 得M 的坐标为M(1, e)
e x0
.故得到切线方程为y ex
.
所以选取x 为积分变量, x (, 1].
（2）求微元：任取[x, x dx] (, 1] ,则当[x, x dx] [, 0]
分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 x轴旋转时，
取 x为积分变量; 绕y 轴旋转时, 取 y 为积分变量。
对 x [0, ] 或对 y [0,1], 设区间 [ x, x dx]
2
或 [ y, y dy]所对应的曲边梯形为S, 是以直代曲
所形成的矩形为 S1, 则绕 x 轴、y轴旋转而成的旋
2
2
平面图形 A,试求平面图形A绕直线 y 1 旋转而成的
2
旋转体的体积。
分析：此题为求解旋转体体积的问题，因为直线 y 1
2
平行于 x轴, 所以绕直线y 12旋转时, 取 x 积分变量。
对x [0, ],设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形为S,
2
以直代曲所形成的矩形为 S1,
因为曲线关于 x 轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.
取 为积分变量,则 [0, ]. [0, ], 设区间[ , d ]
所对应的曲边扇形的面积为 A,
则面积元素 dA1就是用区间[ , d ]
所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积
面积 A, 所求图形的面积 A 2 A1 .
A A1 A2
0 exdx

1(ex ex)dx
0
解上面的积分得：
A 0 e xdx 1(e x ex)dx

0
lim
0 e xdx
(ex

e
1
x2)

e
a a
2 02
【例3】求由摆线 x a(t sint), y a(1 cos t) 的一拱
0 t 2 与 x轴所围成图形的面积.
分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，
如果取x为积分变量,则 x [0, 2 a] . x [0, 2 a],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A,
则面积元素 dA就是在[ x, x dx]上“以直代曲”
y
dVy x2dy (arcsin y)2dy.
（3）求定积分：绕 y 轴所得的旋转体的体积表示为
Vy
1(arcsin y)2 dy
0
计算积分得:
Vy
1
(arcsin
y)2
dy
0
[ y(arcsin y)2 |10
1
y 2(arcsin y)
0

2
cos 2
xdx


2
0
4
(二) 求绕 y轴旋转而成的旋转体的体积
（1）确定积分变量和积分区间：绕 y 轴旋转如图,
取 y为积分变量, 则y [0, 1].
（2）求微元：对 y [0,1],
[ y, y dy] [0, 1],
旋转体的体积元素dV y
是[ y, y dy]对应的矩形绕 y 轴所得的旋转体体积, 即
积分变量为 x ,x [2, 2], 如果能求出平面 x x
所截立体的截面面积A( x),那么，[ x, x dx] [2, 2]
所对应的体积元素为 dV A( x)dx.
解: (1) 确定积分变量和积分区间： 建立如图所示的坐标系， 则底圆方程为x2 y2 4.
取 x 为积分变量, 所以 x [2, 2].
那么，dA就是区间[ x, x dx]所对应的矩形的面积。因此
dA ( y2 y1 )dx [ x ( x 2 2x)]dx ( x 2 3x)dx
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
计算上面的积分得： A
所形成的矩形面积。
2a
0
x x dx
2 a x
解: (1) 确定积分变量和积分区间：选取 x 为积分变量，
x [0, 2 a]
(2) 求微元：x [0, 2 a], [x, x dx][0, 2 a],
那么面积元素dA 就是区间[ x, x dx]所对应的 矩形的面积，即 dA ydx .
2
0 x x dx

x
1
2
2
旋转体的体积元素
dV
x
是
[
x
,
x

dx
]
对应的矩形绕
y


1 2
轴所得的旋转体的体积，即
dVx

(sin
x

1 )2 dx 2
(3)
求定积分：绕
y1 2
轴旋转而成的旋转体的体积表示为
Vx
2
(sin
x

1
)2
dx
0
2
计算积分得：
Vx
分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形
如图所示。 如果取 x为积分变量, 则x [0, 3]. x [0, 3],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A, 则面积元
素 dA就是在 [ x, x dx] 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。
解：(1) 确定积分变量和积分区间：
（2）求微元：因为过点 x 的截面为等边三角形（如图），
其边长为 2 4 x2 ,高为 2 4 x2 3 .
2
所以截面积为
A( x) 1 2 4 x2 2 4 x2 3
2
2
3(4 x2 ).
y
y
因此, 对x [2, 2], [x, x dx] [2, 2] 所对应的体积元素为
第六章 定积分应用习题课
一、定积分应用的类型
1．几何应用

平面图形的面积 特殊立体的体积 平面曲线弧长
旋转体的体积

平行截面面积为 已知立体的体积
变力作功
2．物理应用

水压力
引力
二、构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
dV A( x)dx 3(4 x2 )dx.
（3） 求定积分：所求立体的体积为
V
2
A( x)dx
2
3(4 x2 )dx 32
3
2
2
3
【例8】计算半立方抛物线了y2 2 ( x 1)3 , 被抛物线 y 2 x
3
3
截得的一段弧的长度。
分析：所给定的曲线弧如图所示。
(3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
2 a
2
A ydx a(1 cos t) a(1 cos t)dt
0
0
a2 2 (1 2cos t cos2 t)dt 3 a2 0
【例4】求曲线 2a(2 cos )(a 0) 围成的图形的面积. 分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。