最新人大版微积分第三版课件7-5幂级数课件PPT

22
当x0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x1时, 级数为 (1)n, n1 n
故收敛域为(0,1].
收敛
例 3
求幂级数
n1
x 2n1 2n
的收敛域.
解 级数 2 x为 2 x2 32 x3 5缺少偶次幂的项
应 用 比 值 判 别 法 , 达 朗 贝 尔 判 别 法
lim un1 ( x) n un ( x)
x 2n1
lim n
2n1 x 2n1
2n
1 x 2, 2
当1 x2 1, 即x 2时, 级数收敛,
2
当1 x2 1, 即x 2时, 级数发散,
2
当x
2时, 级数为
1,
级数发散,
n1 2
当 x 2时 , 级数为
1,
级数发散,
n1 2
原级数的收敛区间为 ( 2, 2).
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
思考题
幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那 么它的收敛域是否也不变？
思考题解答
不一定.
例
f
(x)
n1
xn n2
,
f(x)
xn1 ,
n1 n
f(x)(n1)xn2, 它们的收敛半径都是1,
n2
n
但它们的收敛域各是 [ 1 ,1 ][ ,1 ,1 )( ,1 ,1 )
练习题
一、求下列幂级数的收敛区间:
n1 n!
(2)
1 n1 xn1;
n1
(4)
(1)n
2n(x1)n.
n1
n2
解 (1 ) liman1 lim n 1 R1 n an n n 1
当x1时, 级数为 (1)n, n1 n
当x1时,
级数为
1,
n1 n
该级数收敛 该级数发散
故收敛域是(1,1].
(2) (1)n1 xn1; n1
(1) xn
1
;
n0
1x
(2)n 0(1)nx2n11x2;
(3) ax2n
n0
1ax2;
(4) xn ex;
n0 n!
(5) (1)n1
x2n1
six n ;
n1
(2n1)!
(6)(1)nxn1ln1 (x);
n0
n1
四、小结
1.函数项级数的概念: 2.幂级数的收敛性: 收敛半径R 3.幂级数的运算: 分析运算性质
n0
(R,R)内可导, 并可逐项求导任意次.
即s(x)( anxn)
n0
(anxn ) nanxn1.
n0
n1
(收敛半径不变)
例 4求 级 数 ( 1 )n 1xn的 和 函 数 .
n 1
n
解 s(x)(1)n1xn, 显s然 (0)0,
n1
n
s (x ) 1 x x 2 1 , (1x1) 1 x
均为常数 称为幂级数的系数。
当 x0 0 时，将变为
anxna0a1xa2x2anxn
n0
称为 x 的幂级数．
方法，当 x 具体实数值x 0
时，幂级数 a n x n n0
就成为一个
常数级数。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.定义:
若 n0 an x0n 收敛，则称 x0 为级数 n0 an xn 的收敛点.
1、x 2
x2 2 4
2
xn 4
(2n)
；
2、2 x 2
22 5
x2
2n n2 1
xn
；
3、
n1
2n1 2n
x2n2
；
4、
xn
n1 an 来自百度文库n
(a 0, b 0).
二、利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:
1、 nxn1；
n1
2、xx3
(2) 幂 级 数 anxn的 和 函 数 s(x)在 收 敛 区 间
n0
(R,R)内 可 积 ,且 对 x(R,R)可 逐 项 积 分 .
即0xs(x)dx 0x(anxn)dx n0
n0
x 0
anxndx
n0
an xn1. n1
(收敛半径不变)
(3) 幂级数 anxn的和函数s(x)在收敛区间
人大版微积分第三版课件 7-5幂级数
一、幂级数的收敛区间
定义1 形式为 a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n 的级数，
称为 ( x x0 ) 的幂级数，简记作 an (x x0 )n 其中 a0,a1,,an, n0
lim an1 1
a n n
R 1,
x n
(3)
;
n1 n!
liman1 lim 1 0, R ,
n an
n n 1
收敛域(,).
(4)
(1)n
2n(x1)n.
n1
n2
liman1 lim 2 n 2 n an n n1
R 1, 2
即x1 1收敛, x(0,1)收敛 ,
n0
n0
n0
2nn x2x nn x1,
设A(x) nxn1,
n0
n1
n1
xA(x)dxnxxn1dx x n
0
0
n1
n1
x , | x|1 1 x
A(x)1xx
(1
1 x)2
,
n 02nxn(12xx)2,
xn
1
,
n0 1x
|x|1
s(x) (2n1)xn
n0
(1
2
设anxn和bnxn的收敛半 R1和 R 径 2, 各
n0
n0
则 幂级数 anxn bnxn cn xn .(其中 cnanbn)
n0
n0
n0
的收敛半径 RminR1,R2
2.和函数的分析运算性质:
(1) 幂级数 anxn的和函数s(x)在收敛区间
n0
(R,R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
若 a n x 0 n 发 散 ,则 称 x 0 为 级 数 a n x n 的 发 散 点 .
n 0
n 0
由 全 体 收 敛 点 构 成 的 集 合 称 为 幂 级
数 anxn的 收 敛 域 . n0
例2 求下列幂级数的收敛域:
(1) (1)n xn;
n1
n
(3) x n ;
两边积分得
x
0s(t)d tln1 (x)
即 s ( x ) s ( 0 ) l1 n x ) (
s (x ) ln 1 x ( ),
又x1时, (1)n1 1收敛.
n1
n
(1)n1xnln1 (x). (1x1)
n1
n
例 5 求 幂 级 数 (2n1)xn的 和 函 数 .
n0
解 设s(x)(2n1)xn2nxnxn
x x
)
2
1 1 x
(11xx)2. | x|1
例 6 求 n 1n(n 2n 1)的 和 .
解 考虑 级 n(n数 1)xn, 收敛区间(-1,1),
n1
则s(x) n(n1)xn x( xn1)
n1
n1
x( x2 ) 1 x
(1
2
x x)3
,
故
n1
n(n1) 2n
s(1 ) 2
8.
常用已知和函数的幂级数