北师大版(2019)数学必修第二册：5.1.1 复数的概念 学案

复数的概念

【学习过程】

一、预习提问

目前我们所知的最大数集是什么？是否有更大的数集存在？

【提示】一元二次方程在实数范围无解，但是在复数总是有解。 二、合作探究

1.复数的概念

【例1】（1）给出下列三个命题：①若z C ∈，则20z ≥；②21i -的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

（2）已知复数()22z a b i =--的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是__________．

（3）下列命题正确的是__________（填序号）． ①若,x y C ∈，则12x yi i +=+的充要条件是1x =，2y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③实数集的补集是虚数集．

2.复数的分类

【例2】（1）复数()()22,z a b a a i a b R =-++∈为纯虚数的充要条件是（ ） A ．a b =

B ．0a ＜且a b =-

C ．0a ＞且a b ≠

D ．0a ＞且a b =±

（2）已知m R ∈，复数()()22231

m m z m m i m +=

++--，当m 为何值时，

①z 为实数？②z 为虚数？③z 为纯虚数？

3.复数相等的充要条件 [探究问题]

（1）0a =是复数z a bi =+为纯虚数的充分条件吗？

（2）323i i ++＞正确吗？

【例3】（1）若()()1x y yi x i ++=+，求实数x ，y 的值；

（2）关于x 的方程()22311022

a

x x x x i --=--有实根，求实数a 的值．

【学习小结】

（一）复数的概念及分类

1．数系的扩充及对应的集合符号表示

自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系↓↓↓↓↓

N Z Q R C

2．复数的有关概念

3．复数的分类

（1）复数()

()

()

()

()

,0

b

a bi a

b R a

b

a

⎧=

⎪

+∈⎧=

⎨⎪

≠⎨

⎪≠

⎪⎩

⎩

实数

纯虚数

虚数

非纯虚数

（2）集合表示

（二）两个复数相等的充要条件

在复数集{}

,

C a bi a b R

=+∈中，任取两个复数a bi

+，()

,,,

c di a b c

d R

+∈，规定a bi

+与c di

+相等的充要条件是a c

=且b d

=.

【精炼反馈】

1．设集合{}

A=实数，{}

B=纯虚数，{}

C=复数，若全集S C

=，则下列结论正确的是（）

A ．A

B

C ⋃= B ．A B =

C ．(

)SB

A ⋂=∅

D ．()()SA

SB C ⋃=

2．若复数243a a i --与复数24a ai +相等，则实数a 的值为（ ） A ．1

B ．1或4-

C ．4-

D ．0或4-

3．复数(1i 的实部为________．

4．已知213z m m mi =-+，()2454z m i =++，其中m R ∈，i 为虚数单位，若12z z =，

则m 的值为________．

5．已知集合()(){}231,8M a b i =++-，集合()(){}

23,12N i a b i =-++满足

M N ⋂≠∅，求整数a ，b .