第十三讲多元函数的偏导数与全微分的练习题答案

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24分）

1． 设2

(,)f x y x y xy y +-=+

则(,)f x y = （A ） A ．

()2

x x y - B ．2xy y + C ．()2x x y + D ．2x xy - 解： (,)()f x y x y x y y +-=+

[]1()()()2

x y x y x y =++-- (,)()2

x f x y x y ∴=- 2． 22

1cos lim 1x x y o

e y x y →→++= （D ） A ． 0 B ．1 C ． 1e D ． 2

e 解：22cos (,)1x e y

f x y x y

=++在点（1，0）连续 '221cos cos0lim 11102x x y o

e y e e x y →→∴==++++ 3．设(,)

f x y 在点00(,)x y 处有偏导数存在，则0000(2,)(,)lim h o

f x h y f x h y h

→+--=（D ） A ．0 B ．'00(,)x f x y C ．'002(,)x f x y D ．'003(,)x f x y

解：原式=0000(2,)(,)lim 22h o f x h y f x y h

→+-⋅ 0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h

→--+- ='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y +=

4．(,)z f x y =偏导数存在是(,)z f x y =可微的 （B ）

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充分必要条件

D ．无关条件

解：若(,)z f x y =可微，则,z z x y

∂∂∂∂存在， 反之成立，故偏导数存在是可微必要条件

5．函数xy

z e =在点（1，1）的全微dz =（C ）

A ．2()e dx dy +

B ．()xy e dx dy +

C ．()e dx dy +

D ．dx dy +

解：()xy dz e ydx xdy =+在（1，1） '()dz e dx dy =+

6．已知22

(,)()x y x y y x ϕ=++且 (,1)z x x =，则z x

∂∂= （A ） A ．212xy x +- B ．22x y +

C ．21x x -+-

D ．212xy x ++

解：（1）2(,1)1()z x x x x ϕ=++=

2()1x x x ϕ∴=--

（2）222(,)1z x y x y y x x =++--

（3）212z xy x x

∂=+-∂ 二、填空题（每小题4分，共24分）

7．

)z r R <<的定义域是

解：22222200

R x y x y r ⎧--≥⎪⎨+->⎪⎩ ∴定义域{}2222

(,)R D x y r x y =<+<

8．设(,)(f x y x y =+-'(,1)x f x = 解：（1）(,1)0f x x =+

x 9． 设ln(1)x z y =+则(1,2)dz =

解： (1,2)(1,2)11

1z

x x y y ∂=⋅∂+

(1,2)1

13

y x ==+ (1,2)(1,2)

1()6z x

y y x y ∂-==-∂+ (1,2)1136

dz dx dy =- 10．设66()z f x y =-，()f u 可微，则

z y ∂∂=

解：'6666'

()()y z f x y x y y

∂=--∂ '6655'66((6)6()f x y y y f x y =-⋅-=--

11．32u x y =在点（1，1）处，当0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分是 解：(1,1)32du x y =∆+∆当

0.02,0.01x y ∆=∆=-时，其微分=

30.0220.010.04⨯-⨯=

12．设(,,)u f x xy xyz =，f 可微，则

u x ∂∂=

解：'''1231u f f y f yz x

∂=⋅+⋅+⋅∂ '''123f yf yzf =++

三、计算题（每小题8分，共64分）

13．已知2(34)z x y f x y =++-，若0y =时，2z x =求z x ∂∂，z y

∂∂

()()211(3)3393

f x x x ∴=- 故有211()93

f x x x =- （2）()21423493

z x y x y x y =++--+ 2101(34)39

y x y =+- （3）2108(34),(34)339

z z x y x y x y ∂∂=-=--∂∂ 14．求2(1)arctan

y y z x e x x

=+-在点（1，0）处的一阶偏导数，全微分 解：（1）2(,0)(,0)2z x z x x x x

∂=∴=∂ 故有(1,0)2z x ∂=∂ （2）(1,)(1,)y y z y z y e e y

∂=∴=∂ 故0(1,0)1z

e y ∂==∂

（3）(1,0)2dz dx dy =+

15．设(1)x z xy =+，求z x ∂∂，z y

∂∂，dz 解：（1）ln ln(1)z x xy =+

（2）1ln(1)1z xy xy x z xy

∂⋅=++∂+ (1)ln(1)1x z xy xy xy x xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣

⎦ 121(1)(1)x x z x xy x x xy y

--∂=+⋅=+∂ dz =

2

(1)(ln(1))11x

xy x xy xy dx dy xy xy ⎡⎤++++⎢⎥++⎣⎦