第五讲 理想气体热力学能、焓、熵的计算

对理想气体，可以利用关系： •平均比热容直线关系
h u pv u Rg T
2 2 1 1
c p cV
Rg
cV a bt
法： 将比热容按直线变化近似替代真实比热容
t2 t1
b 2 b 2 u a (t2 t1 ) (t2 t1 ) [a (t1 t2 )]( t 2 t1 ) 2 2
1
2
h (a1 ' a2 ' T a3 ' T 2 a4 ' T 3 ...)dT
1
2
这里两式中的 系数不同
a3 a2 a4 2 2 3 3 4 4 u a1 (T2 T1 ) (T2 T1 ) (T2 T1 ) (T2 T1 ) ... 2 3 4
表象：定压过程需要加入的热量多 本质：定压过程的终了状态与定容过程的不同 （表现为定压过程终态压力小） 下面采用空气的热力性质表计算：
382.79 372.69 h1 372.69 (373 370) 375.72kJ/kg 380 370 693.84 683.15 h2 683.15 (673 670) 686.36kJ/kg 680 670
q c pm (t 2 t1 ) 1.035 (400 100) 310.5 kJ/kg
1
2
3.5.2 Enthalpy
h h(T , p)
由定容比热容定义： Specific Heat 理想气体 Ideal Gas
dh c p dT
h u dh ( ) p dT ( )T dp T p
分体积之间的关系：
V
i
i
V
混合物 p,T,n,V
组元1 p,T,n1,V1
组元2 p,T,n2,V2
组元3 p,T,n3,V3
•混合气体组元成分相关关系、摩尔质量、气体常数定义
其中平均比热计算方法与前面计算热力学能和焓时相同
例题3.4：根据例题3.3给定的条件，试计算热力学能变、
焓变及熵变。 解：（1）定值比热容：
定容过程： 定压过程：
u 214.8 kJ/kg h 301.2 kJ/kg
T2 673 s cV ln 0.716 ln 0.4190kJ/(kg K) T1 373 T2 673 s c p ln 1.004 ln 0.5925kJ/(kg K) T1 373
t2
t1
cV
t2 0
cV
t1 0
值查表可得
•热力性质表法： 空气、一氧化碳、二氧化碳、氢、氧、一氧化氮、等气 体的焓、熵值可查附表7、8
通常热工计算中需要确定的是热力学能、焓、熵的变化值， 故选0K下的这些值为0
3.5 热力学能、焓的计算 Identification of Internal Energy and Enthalpy for Ideal Gas 3.5.1 Internal Energy
du pdv dT dv cv Rg 理想气体 ds T T v dh vdp dT dp ds cp Rg T T p •取比热容为定值时熵的计
dS
Qrev
比熵
ds
q rev
算
T2 v2 dT dv s cv Rg cv ln Rg ln T 1 v T1 v1 1
•各组元分压力关系：
p
i
i
p
混合物 T, V, n, p
组元1 T, V, n1, p1
组元2 T, V, n2, p2
组元3 T, V, n3, p3
•分体积
分体积含义：设钢性容器内有理想气体混合物，现让其
中各种气体分子进入不同的小容器。此时各小容器的体积 称混合气体各组元自己的分体积，记为Vi（注意：各小容 器压力相同、温度T与初始时保持相同）。
c pm
c pm
100 0
400 0
1.005 kJ/(kg· K)
1.028 kJ/(kg· K)
cVm
cVm
100 0
400 0
0.719 kJ/(kg· K)
K) 0.741 kJ/(kg·
c pm
cVm
t2 t1
t2 t1


c pm t 2 c pm t1
0 0
2
1
t 2 t1
s cVm 1
2
（2）平均比热容法： 定容过程:
T2 673 ln 0.748 ln 0.4414 kJ/(kg K) T1 373
T2 673 0.6108kJ/(kg K) 定压过程: s c pm 1 ln 1.035 ln T1 373
2
此问题中，为什么两个过程的热力学能、焓变化相同，而 熵变化不同？
0 0
不同方法计算数据是稍有差别的
3.7 理想气体混合物
特征：理想气体混合物是由各种单一的气体混合而成，此 处无论是单一气体还是混合后的气体均符合理想气体模型。 讨论目标：各组元成分、气体常数、比热容、热力学能、 焓和熵。 组元成分定义
1）质量分数 2）摩尔分数
mi wi m
ni xi n
Vi i V
m
i
i
m
n
w
i
i
i
1
1
n
i
i
n
i
3）体积分数
V
i
i
V

i
i
1
•分压力
分压力含义：设钢性容器内有理想气体混合物，现让其
中某种气体分子不离开容器，其它种气体全离开。此时该 容器内的压力称这种气体的分压力，记为pi（注意：体积 V、温度T和初始时保持相同）。
1）列表法计算原理:
表达为： 选择： 所以：
s (T , p ) s 0 (T )
T (K )
取温度0K、压力0Pa时熵为0
dT cp T dT T
p ( Pa) 0 ( Pa)
0( K ) T (K )


dp Rg p
0( K )

cp
这可以在附表中查到数据
p2 Rg ln p1
s
0 0 s2 (T2 ) s1 (T1 )
2）平均比热值计算法原理：
T2 p2 s c p, m ln Rg ln 1 T1 p1
2
T2 v2 s cV , m ln Rg ln 1 T1 v1
2
或： s cV ,m 1
2
2 p2 v2 ln c p , m ln 1 p1 v1
复习：定容比热容和定压比热容
•1）定容过程的比热容称定容比热容 q u q )V 由定义： cV ( 得： cV ( )V ( )V
通常：
cV f V (v, T )
wk.baidu.com
dT
dT
T
•2）定压过程的比热容称定压比热容
q 由定义：c p ( ) p dT
q h 得： c p ( ) p ( ) p dT T
解：（1）查表：cV = 0.716 kJ/(kg· K) cp=1.004 kJ/(kg· K) 定容过程：q cV (t 2 t1 ) 0.716 (400 100) 214.8 kJ/kg 定压过程： q c p (t 2 t1 ) 1.004 (400 100) 301.2 kJ/kg （2）查附表4和附表5
cVm 0 t 2 cVm 0 t1 t 2 t1
2
2 1


1.028 400 1.005 100 1.035 kJ/kg 400 100
0.741 400 0.719 100 0.748 kJ/kg 400 100
定容过程 定压过程
q cV m 1 (t 2 t1 ) 0.748 (400 100) 224.4 kJ/kg
cV
b [a (t1 t2 )] 2
为温度t1到t2之间的平均比热容
•平均比热容表
法： 根据实际的热力学能变化积分数据和平均比热容概念，可 以采用如下平均比热容：
t2 t2 t1
cV
u2 u1 t1 t 2 t1 t 2 t1
c
t2
V
dt
t0
c
V
dt cV dt
通常： c p f p (v, T )
在比热容定义基础上热力学能和焓的计算
du cV dT
dh c p dT
理想气体的热力学能、焓是温度的单值函数
计算过程应注意点： •1）比热容值为定值时： 过程中前后热力学能变化量： u cV (T2 T1 ) 过程中前后焓变化量： •2）比热容值为变值时：
h c p (T2 T1 )
c a1 a2t a3t 2
有4种方法进行计算确定热力 学能和焓的变化量 •真实比热容法：见右图，根据定义
u cv dT 图中曲线下的面积
h c p dT 图中曲线下的面积
1
2
1 2
0 1
2
u (a1 a2T a3T 2 a4T 3 ...)dT
u u (T , v)
u u du ( )v dT ( )T dv T v
由定容比热容定义： Specific Heat 理想气体 Ideal Gas
du cV dT
u cV ( )V T
热力学能是温度的单值函数
比热容定值 比热容变值
u cV (T2 T1 )
t1
2
2
1
t 2 t1

t0
t0
t 2 t1

c m 0 t 2 c m 0 t1 t 2 t1
2
1
注意：这里温标不用热力学温标 •定值比热容 适用于气体温度较低且温度变化范围不大、或计算精度要 求不高时 例题 3.3 ： 1kg 空气，初始状态为 p1=0.1MPa ， t1=100℃， 分别按定容过程和定压过程加热到相同的温度t2=400℃。 试求加热过程所需的热量。 （1）按定值比热计算；（2）按平均比热计算。
0
p2 T2 v1 定容过程： p1 T1 v2
p2 s s (673) s (373) Rg ln p1 673 7.5356 6.9262 0.287 ln 0.4400kJ/kg K 373
0 0
定压过程：
p2 s s (673) s (373) Rg ln 7.5356 6.9262 0.6094kJ/kg K p1
h cp ( ) p T 焓是温度的单值函数
比热容定值 比热容变值
h c p (T2 T1 )
h c p dT
1

2
•计算技术方法与计算热力学能时相同 3.6 理想气体熵的计算 •热熵流的定义： Entropy
在可逆过程中
T T 热力学第一定律表达式δ q=du+pdv ，或δ q=dh-vdp
u cv dT
1

2
•含义：图中曲线下面积 •计算技术方法： 引出平均比热容概念 按温度范围定义
t2
cm t
1
t2
cdt
t1
t2 t1
（便于列表）
•比热容表使用方法 将t0定为0℃ ，利用列表计算温度范围在t0到t之间的平均 t t t 比热容
cm
t2 t1

cdt cdt cdt
t0
t1
t 2 t1
将t0到t2和t0到t1范围分别作两 个计算区域计算平均值
u2 (t 2 t0 ) cV dt
t0 t2
u1 (t1 t0 ) cV dt
t0
t1
取t0=0℃后 为右图表示 的面积
0 1 2
cV
t2 t1
u2 u1 cV 0 t 2 cV 0 t1 t 2 t1 t 2 t1
h h2 h1 686.36 375.72 310.64kJ/kg
u h Rg(T2 T1 ) 310.64 0.287 (673 373) 224.54kJ/kg
7.5467 7.5309 s (673) 7.5309 (673 670) 7.5356kJ/kg K 680 670 6.9450 6.9181 0 s (373) 6.9181 (373 370) 6.9262kJ/kg K 380 370
T2 p2 dT dp s c p Rg c p ln Rg ln T 1 p T1 p1 1
2 2
2
2
或：
p2 v2 s cV ln c p ln p1 v1
注意三个式子中的参数对
理想气体的熵是状态参数，只要初终状态确定，则熵变亦 已定 •比热容为温度的函数时