工程数学“概率论与数理统计”测试题参考答案

“概率论与数理统计”测试题参考答案

1．设A , B 是两个随机事件，已知P (A ) = ，P (B ) = ，P (A B )=，求：（1）)(B A P ；（2）)(B A P . 解：（1） )(A P =)(1A P -=

)(B A P = )(A P )(A B P = ⨯ =

（2） )(B A P =1-)(B A P

= 1 - )()(B P B A P =1-8

.008.0= 2．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．

解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则

（1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=

745.0255.011312

38=-=-=C C ． （2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+=

273.0018.0255.0255.0312

34=+=+C C ． 3．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．

解：设A i ：“是第i 台车床加工的零件”(,)i =12，B ：“零件是合格品”.由全概公式有 P B P A P B A P A P B A ()()()()()=+1122 显然43)(1=

A P ，4

1)(2=A P ，99.0)(1=A B P ，P B A ().2098=，故 9875.098.04199.043)(=⨯+⨯=B P 4．一袋中有9个球，其中6个黑球3个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是白球的概率.

解：设如下事件：

i A ：“第i 次抽取出的是白球”（2,1=i ）

显然有9

3)(1=A P ，由全概公式得 )()()()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=

3

183328231=⨯+⨯= 5．设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<X P ．（已知,8413.0)1(=Φ 9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ） 解：⑴)32

31()23923235()95(<-<=-<-<-=<

⑵)2

3723(

)7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=

6．设随机变量X 的概率密度函数为

⎩⎨⎧≤≤=其它0

10)(2

x Ax x f 求（1）A ；（2）)(X E ；（3）)(X D .

解： （1）由1331d d )(1103102=====⎰

⎰∞+∞-A x A x Ax x x f ，得出3=A （2） =)(X E 434

3d 3d )(1

04102==⋅=⎰⎰∞+∞-x x x x x x xf （3）=)(2X E 5

353d 31052102==⋅⎰x x x x 80

316953))(()()(22=-=-=X E X E X D 7．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)．

解：（1）P （1< X < 7）=)2

3723231(

-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ

= + – 1 =

（2）因为 P （X < a ）=)2323(

-<-a X P =)23(-Φa = 所以 28.12

3=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 8．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u )

解：已知3=σ，n = 64，且n x u σμ-=

~ )1,0(N 因为 x = 21，96.121=-α

u ，且

735.0643

96.121=⨯=-n u σ

α

所以，置信度为95%的μ的置信区间为：

]735.21,265.20[],[2121=+---n u x n u x σ

σ

α

α

．

9．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为 cm ，标准差为.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）

，，，

问：该机工作是否正常(05.0=α, 96.1975.0=u )

解：零假设5.10:0=μH .由于已知15.0=σ，故选取样本函数

n

x U σμ

-=～)1,0(N 经计算得375.10=x ，075.0415

.0==n σ

，

67.1075

.05.10375.10=-=

-n x σμ

由已知条件96.121=-α

u ，且 2196.167.1α

μσμ-=<=-n

x 故接受零假设，即该机工作正常.

10．某钢厂生产了一批轴承，轴承的标准直径20mm ，今对这批轴承进行检验，随机取出16个测得直径的平均值为，样本标准差3.0=s ，已知管材直径服从正态分布，问这批轴承