(√)弦切角定理的证明
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三一文库()/实用范文/证明范本〔弦切角定理的证明〕
*第一篇:弦切角定理证明
弦切角定理证明弦切角定理
本段弦切角定义
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)
如右图所示,直线pt切圆于点,b、a为圆的弦,∠tb,∠ta,∠pa,∠pb都为弦切角。
本段弦切角定理
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明:
证明一:设圆心为,连接,b,。
∵∠tb=90-∠b
∵∠b=180-2∠b
∴,∠b=2∠tb(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)
∵∠b=2∠ab(圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠tb=∠ab(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)
证明已知:a是⊙的弦,ab是⊙的切线,a为切点,弧是弦切角∠ba所夹的弧.
求证:(弦切角定理)
证明:分三种情况:
(1)圆心在∠ba的一边a上
∵a为直径,ab切⊙于a,
∴弧a=弧a
∵为半圆,
∴∠ab=90=弦a所对的圆周角(2)圆心在∠ba的内部.
过a作直径ad交⊙于d,
若在优弧所对的劣弧上有一点e
那么,连接e、ed、ea
则有:∠ed=∠ad、∠dea=∠dab
∴∠ea=∠ab
∴(弦切角定理)
(3)圆心在∠ba的外部,
过a作直径ad交⊙于d
那么∠da+∠ad=∠ab+∠ad=90
∴∠da=∠ab
∴(弦切角定理)
本段弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等
应用举例
例1:如图,在t△ab中,∠=90,以ab为弦的⊙与a 相切于点a,∠ba=60°,ab=a求b长.
解:连结a,b.
∵在t△ab中,∠=90
∴∠ba=30°
∴b=1/2a(t△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2:如图,ad是δab中∠ba的平分线,经过点a的⊙与b切于点d,与ab,a分别相交于e,f.
求证:ef∥b.
证明:连df.
ad是∠ba的平分线∠bad=∠da
∠efd=∠bad
∠efd=∠da
⊙切b于d∠fd=∠da
∠efd=∠fd
ef∥b
例3:如图,δab内接于⊙,ab是⊙直径,d⊥ab于d,n切⊙于,
求证:a平分∠d,b平分∠nd.
证明:∵ab是⊙直径
∴∠ab=90
∵d⊥ab
∴∠ad=∠b,
∵n切⊙于
∴∠a=∠b,
∴∠a=∠ad,
即a平分∠d,
同理:b平分∠nd.
*第二篇:弦切角定理的证明
弦切角定理的证明弦切角定理:定义弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦
切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明
证明:设圆心为,连接,b,a。过点a作tp的平行线交b于d,
则∠tb=∠da
∵∠tb=90-∠d
∵∠b=180-2∠d
∴,∠b=2∠tb
证明:分三种情况:
(1)圆心在∠ba的一边a上
∵a为直径,ab切⊙于a,
∴弧a=弧a
∵为半圆,
(2)圆心在∠ba的内部.
过a作直径ad交⊙于d,
那么
.
(3)圆心在∠ba的外部,
过a作直径ad交⊙于d
那么
2
连接并延长t交圆于点d,连接bd因为td为切线,所以td垂直t,所以角bt+角dtb=90因为td为直径,所以角bdt+角dtb=90所以角bt=角bdt=角a
3
本段弦切角定义顶点在圆上,一边和圆相交,另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)如右图所示,直线pt切圆于点,b、a为圆的弦,∠tb,∠ta,∠pa,∠pb都为弦切角。本段弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明:证明一:设圆心为,连接,b,。∵∠tb=90-∠b∵∠b=180-2∠b∴,∠b=2∠tb(定理:弦切角的度数等于
它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠b=2∠ab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tb=∠ab(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知:a是⊙的弦,ab是⊙的切线,a为切点,弧是弦切角∠ba所夹的弧.求证:(弦切角定理)证明:分三种情况:(1)圆心在∠ba的一边a上∵a为直径,ab切⊙于a,∴弧a=弧a∵为半圆,∴∠ab=90=弦a 所对的圆周角b点应在a点左侧(2)圆心在∠ba的内部.过a 作直径ad交⊙于d,若在优弧所对的劣弧上有一点e那么,连接e、ed、ea则有:∠ed=∠ad、∠dea=∠dab∴∠ea=∠ab∴(弦切角定理)(3)圆心在∠ba的外部,过a作直径ad交⊙于d那么∠da+∠ad=∠ab+∠ad=90∴∠da=∠ab∴(弦切角定理)本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等应用举例例1:如图,在t△ab中,∠=90,以ab为弦的⊙与a相切于点a,∠ba=60°,ab=a求b长.解:连结a,b.∵在t△ab中,∠=90∴∠ba=30°∴
b=1/2a(t△中30°角所对边等于斜边的一半)例2:如图,ad是δab中∠ba的平分线,经过点a的⊙与b切于点d,与ab,a分别相交于e,f.求证:ef∥b.证明:连df.ad是∠ba的平分线∠bad=∠da∠efd=∠bad∠efd=∠da⊙切b于d∠fd=∠da∠efd=∠fdef∥b例3:如图,δab内接于⊙,ab是⊙直径,d⊥ab于d,n切⊙于,求证:a平分∠d,b 平分∠nd.证明:∵ab是⊙直径∴∠ab=90∵d⊥ab∴∠ad=