立体几何习题课(分割法、补形法求体积等举例)

例4、三棱锥V-ABC中，VA底面ABC，ABC=90o， VA=a，VB=b，AC=c（cb），M是VC中点。
（1）求证：V，A，B，C四点在以M为球心的球面上； （2）求VC与AB所成的角的大小。
V
M
G
A
E
C
B
F
（arcco(sb2aa22)(ca22c2)）
例5、已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC = 34 ， PC=AB= 41 ，求三棱锥的体积。
立体几何
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
S
A F B
提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为
E
等边三角形，边长为 6，SASB。取SA中 点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得：
SC 平面ABE。利用：
C
VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE 得三棱锥体积。
例6、三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此棱锥沿三
条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A。 （1）求证：侧棱PB⊥ AC；
（2）求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值。
P1
m
A
P
2
B
B
Ө
A
2
D
C （甲）
P2
m
m
D
C n E n P3 （乙）
解:(1)（略）
(2)甲图中，作PD⊥AC于D，连接BD，可得PDB
即为面PAC与面ABC所成二面角的平面角。
乙图中，作AE⊥CP3于E点，则AE=P1P2=4。
∵PA=AC，即P3A=AC，∴E为CP3的中点。
设AP1=AC=AP3=m，CE=EP3=n，由CP2=CP3得：
m-n=2n m=3n
……①
又在△ACP3中有：AE•CP3=AC•DP3 …… ②，
而AE=4
P
A`
P A
C A
B
P`
C B`
C` B
提示：分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图，
则V P-ABC=V长方体-4V PAB`P。设长方体长宽高分别为a、b、c，则有：
a2b225 a3 b a 2 2 c c2 2 4 3 1 4 b c 5 4 V P 所 A 以B 三 C 棱3 锥4 P -A5B C4 的1 6 体 积3 为4 2 05 （ 立2 方单0位）。
h V1
V2=V1+V球
R
2R
V2
小结：
1、分割法求体积； 2、利用射影面积法求二面角； 3、补形法求体积； 4、几何体展开问题。
面的外心，即点D，∴SD⊥平面ABC。
C
∴由VS-ABC=
1 3
S△ABC•SD得三棱锥体积。
例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求D1到截面C1BD的距离。
D1
A1
B1
C1
V V 提示：利用
求解。
D1C1BD = BC1D1D
D A
C B
KEY： 3 a
3
注意：等体积法求点面距离。
（KEY： 3 ）
注意：分割法求体积。
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
（解法2）
S
A D B
法二：取AB中点D，连接SD，CD。易得△ABC
为等腰直角三角形，ACB=90o。则有SD⊥AB，
CD⊥AB。又SA=SB=SC，∴S在底面的射影为底
……③，
由①②③ 得：DP3=8/3，即PD=8/3。 ∴甲图Rt△BPD里， BD=10/3，
∴ cosPDB=4/5,为所求。
P
2
（甲）
B
Ө
A
D
C
P1
m
（乙）
A
2
B
m
m
2
D
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P2
C n E n P3
课本P81第8题
如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度 为h，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径。
例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中， （1）BC1与侧面 ABB1A1所成的角为___a_rcta_n _515____； （2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成 的角的大小为____4_5o_____。
A1 D
C1 B1
A1
C1
B1
N
M
A
C
B
A
C
B
注： （1）中利用面面垂直的性质找线面成角。 （2）中射影面积公式的应用：S△AB1M•cosα=S△ABC.