函数的凸性及应用[文献综述]

文献综述

信息与计算科学

函数的凸性及应用

一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主

题争论焦点）

凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义，最早是由Jersen 给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同，在大学的数学分析或高等数学教材中，常常只研究具有二阶导数的凸函数。

本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸，进一步给出凸函数的应用。对于凸函数的应用，本文拟将主要介绍以下的几点：凸函数在证明Jensen 不等式时的应用；凸函数在Hadamard 不等式中的证明的应用；凸函数在分析不等式中的应用等。

二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题

的评述）

凸函数具有一些非常优良的性质[1]

，有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen 首次给出了凸函数的定义，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用，所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。

2.1凸函数的定义

2.1.1凸函数一些基本定义

通过数学分析的学习，对于函数()2

x x f =和()x x f =

的图像，我们很容易看出它们

之间的不同点：曲线2

x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y =

则

相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数，我们把前一种特性的

曲线称为凸的，后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。

数学分析[2]

给出了凸函数的基本定义：设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数()1,0∈λ总有()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称f 为

I 上的凸函数。

葛丽萍

[3]

介绍了以下的结论：若区间I 上的任意三点321x x x <<，总存在

()()()()2

3231212x x x f x f x x x f x f --≤

--，这个条件是

f 为I 上的凸函数的充要条件，该证明在数学分析

中已经详细的给出了。同理，通过推广，可以得出另一个更进一步的充要条件：在区间I 上的任意三点321x x x <<，有()()()()()()2

3231

3131

212x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--成立，则f 为I 上的

凸函数。并且若f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条件为

()I x x f ∈≥,0''。

2.1.2严格凸函数的定义

江芹,陈文略[4]

给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间I 上严格凸函数的判定方法。 定义：凸函数的定义为函数f 满足以下不等式()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+，其中f 为区间I 上的函数，1x ，2x 为I 上的任意两点和()1,0∈λ。当上面的不等式变为

()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+<-+时，其余条件不变，该函数称为严格凸函数。

判定方法：1、设f 为区间I 上可导函数，'

f 在I 上严格递增，则f 在区间I 上是严格凸函数。反之，不成立；2、设f 为区间I 上二阶可导函数,在I 上(),0'

'≥x f

.则f 在区间

I 上是严格凸函数。

2.1.3凸函数的等价描述

林银河[5]详细论述了凸函数的等价描述，由此得出：若)(x f 在I 上有定义，则以下3个命题等价：

○

1)(x f 在I 上为凸函数； ○20≥∀i

q ，121=+++n q q q ，,,,21I x x x n ∈∀ 有)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ；

○30≥∀i q ，且),,1(n i q i

=不全为零，,,,21I x x x n ∈∀ 有

n

n n n n n q q q x f q x f q x f q q q q x q x q x q f ++++++≤++++++ 212211

212211)()()()(

。

其中命题○2就是著名的Jensen 不等式。在Jensen 不等式中令),,2,1(1

n i n

q i

==就得到如下定义：设)(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸函数，当且仅当,,,21I x x x n ∈∀ 有

n

x f x f x f n x x x f n n )

()()()(

2121+++≤

+++ 。 葛丽萍[3]

介绍了函数f 在区间I 上可导的等价条件：若f 为区间I 上的可导函数，可

得出以下等价条件。（1）f 为I 上的凸；（2）'

f 为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点1x ，

2x ，有()()()()'21121≥+-f x f x f x x x 。

2.2凸函数的一些性质

2.2.1凸函数的连续性

凸函数是数学分析中的一类重要函数，而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又重

要的特征。由于Jensen 定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设，Jensen 意义下凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数，从凸函数的定义出发，研究连续函数与凸函数的关系。那么我们就会提出这样的问题：当连续函数)(x f 满足何种条件时，)(x f 是区间I 上的凸函数；

当凸函数)(x f 满足何种条件时，)(x f 是区间I 上的连续函数；连续凸函数在区间I 上具有何种性质？

例如函数⎩⎨

⎧=<=1

,21,)(x x x x f ，我们容易证明)(x f 在]1,1[-上是凸函数，但)(x f 在]

1,1[-上不连续。存在函数3

)(x x f =，可以得出函数在R 上是连续的，但是函数在R 上不是凸函数。

上面这个例题说明凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数。

宋方[6]提出，如果连续函数)(x f 为凸函数，必定满足以下定义：对任意的I x x ∈21,及

[]1,0∈λ，恒有：()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+。

例：证明连续函数2

)(x x f =是一个凸函数。

分析：因为()2

222

112

21212

222

112

2211)(x q x q x x q q x q x q x q x q +≤--+=+，只要存