数列的实际应用

1 解：(1)第 1 年投入 800 万元，第 2 年投入 800×(1－ )万元，„，第 n 年投入 800×(1 5 1 － 1 1 － － )n 1 万元．所以，n 年内的总投入 Sn＝800＋800×(1－ )＋„＋800×(1－ )n 1＝4000×[1 5 5 5 4 －( )n]． 5 1 第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400×(1＋ )万元，„，第 n 年旅 4 1 － 1 游业收入为 400×(1＋ )n 1 万元． 所以， 年内的总收入 Tn＝400＋400×(1＋ )＋„＋400×(1 n 4 4 1 － 5 ＋ )n 1＝1600×[( )n－1]． 4 4 (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，因此 Tn－Sn＞0，即 5 4 4 5 1600×[( )n－1]－4000×[1－( )n]＞0，化简得 5×( )n＋2×( )n－7＞0， 4 5 5 4 4 2 4 即( )n＜ ，( )n>7(舍去)． 5 5 5 因为 n∈N*，所以 n≥5，可得 n＝5. 所以，第 5 年旅游业的总收入才能首次超过总投入．
思路点拨： 生活中常见的增加(增长)问题， 可以考虑利用等差数列(等比数列)的知识来处 理．
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解：由题设知今年学生人数为 b， 则 10 年后学生人数为 b(1＋4.9‟)10＝1.05b. 由题设可知，1 年后的设备数量为 a×(1＋10%)－x＝1.1a－x； 2 年后的设备数量为 (1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x ＝1.12a－x(1＋1.1)； „ 10 年后的设备数量为 a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋„＋1.19) 1×1－1.110 ＝2.6a－x× 1－1.1 ＝2.6a－16x， 2.6a－16x a a 由题设得 ＝2× ，解得 x＝ . 1.05b b 32
由于公差 d＜0，所以可获利润数列是一个递减数列，即随着 n 的增大，an 的值越来越小，直到 an＜0 时，公司将会出现亏损．
10．甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动．甲第 1 分钟走 2 m，以后每 分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙继续每 分钟走 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
同理第二年所存钱在最后取时本息和为 1.00212－1 5× ×(1＋6%)． 0.002 1.00212－1 第三年所存钱在年底取出时的本息和为 5× . 0.002 ∵每月存 5 元，月利为 0.2%，年利为 6%， ∴三年后取出的本息和为 1.00212－1 1.00212－1 1.00212－1 1.00212－1 5× (1 ＋ 6%)2 ＋ 5× (1 ＋ 6%) ＋ 5× ＝ 5× 0.002 0.002 0.002 0.002 1.063－1 × ≈193(元)． 1.06－1 ∴三年后取出的本利共 193 元．
数列的实际应用
实际应用问题 【例 4】 某公司经销一种数码产品，第 1 年可获利 200 万元．从第 2 年起，由于市场竞 争等方面的原因，其利润每年比上一年减少 20 万元，按照这一规律，如果公司不开发新产 品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
思路点拨： 题意
设每年获利 构成等差数列{an}
解：(1)设 n 分钟后第一次相遇，依题意， nn－1 得 2n＋ ＋5n＝70， 2 整理得 n2＋13n－140＝0， 解得 n＝7，n＝－20(舍去)． 甲、乙第一次相遇是在开始运动后 7 分钟． (2)设 n 分钟后第二次相遇，依题意，得 nn－1 2n＋ ＋5n＝3×70， 2 整理得 n2＋13n－6×70＝0， 解得 n＝15，n＝－28(舍去)． 甲、乙第二次相遇是在开始运动后 15 分钟．
应用问题 【例 4】 某工厂 2008 年 1 月的生产总值为 a 万元，计划从 2008 年 2 月起，每月生产总 值比上一个月增长 m%，那么到 2009 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元？
思路点拨：转化为求等比数列的一项．
解：设从 2008 年开始，第 n 个月该厂的生产总值是 an 万元， 则 an＋1＝an＋anm%， an＋1 ∴ ＝1＋m%. an ∴数列{an}是首项 a1＝a，公比 q＝1＋m%的等比数列． － ∴an＝a(1＋m%)n 1. － ∴2009 年 8 月底该厂的生产总值为 a20＝a(1＋m%)20 1＝a(1＋m%)19 万元．
变式训练 41：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发 1 展旅游产业，根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地 5 旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年 1 会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第 1 年)总投入 Sn 万元，旅游业总收入为 Tn 万元，写出 Sn、Tn 的 表达式； (2)第几年旅游业的总收入才能首次超过总投入？
解：为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和按月分开算． 第一年内的本息和可分为： 第一个月：5(1＋0.2%)11，第二个月：5(1＋0.2%)10，„， 第十二个月：5. 那么，第一年的本息和为 1.00212－1 11 10 5(1＋0.2%) ＋5(1＋0.2%) ＋„＋5＝5× . 0.002 于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为 1.00212－1 5× (1＋6%)2. 0.002
(1)“零存整取”的计算 “零存整取”是单利计算，属于等差数列求和问题．其本利和为 S＝P(1＋nr)，其中 P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金与利息和，简称本利和． (2)“定期自动转存”的计算 “定期自动转存”是复利计算，属于等比数列求通项问题，到期后的本利和为 S＝P(1 ＋r)n，其中 P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．注意复利计算是求等比 数列的第 n 项，而不是求和． (3)应用数列知识解决实际问题的步骤 ①根据实际问题提取数据；②建立数据关系，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列 的通项公式或递推关系； ③检验关系是否符合实际， 符合实际可以使用， 不符合要修改关系； ④利用合理的结论对实际问题展开讨论．
等比数列前 n 项和的实际应用 【例 4】 某同学若将每月省下的零花钱 5 元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为 0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为 6%，问三年取出本利共 多少元(结果保留到个位)?
思路点拨：解答本题可先建立数学模型用数列知识求解后再回归实际问题．
― → ―
a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N* ― an＜0 ― n＞11 ― n＝12 → → →
解：由题设可知第 1 年获利 200 万元，第 2 年获利 180 万元，第 3 年获利 160 万元，„， 每年获利构成等差数列{an}，且当 an＜0 时，该公司会出现亏损． 设从第 1 年起，第 n 年的利润为 an，则 an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润 可构成一个等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d＝－20. 所以 an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 若 an＜0，则该公司经销这一产品将亏损， 所以由 an＝220－20n＜0，得 n＞11， 即从第 12 年起，该公司经销此产品将亏损．
解：根据已知，可设该厂第一季度原计划 3 个月生产微机台数分别为 x－d，x，x＋d， (d＞0)，则实际上 3 个月生产微机分别为 x－d，x＋10，x＋d＋25 2 x＋10 ＝x－dx＋d＋25
由题意得 3x x＋d＋25＝ －10 2
解得 x＝90，d＝10 故有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35 ＝3×90＋35＝305(台) 即该厂第一季度实际生产微机 305 台．
数列在实际问题中的应用 【例 5】 某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为 b，以后学生人数 年增长率为 4.9‟.该校今年年初有旧实验设备 a 套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校 决定每年以当年年初设备数量的 10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰 x 套的旧设备． 如果 10 年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧 设备是多少套？ 下列数据供计算时参考： 1.19＝2.38 1.00499＝1.04 1.110＝2.60 1.004910＝1.05 1.111＝2.85 1.004911＝1.06
利用数列解决实际问题的关键是建立数学模型，本题的数学模型是每月的 生产总值组成一个等比数列．
变式训练 41：某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际 上二月份比原计划多生产 10 台， 三月份比原计划多生产 25 台， 这样三个月产量成等比数列， 而第 3 个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少 10 台，问该厂第一季度实际生产微机 多少台？