实数知识点归纳及典型例题

实数知识点归纳及典型例

题

Last updated at 10:00 am on 25th December 2020

第十三章实数----知识点总结

一、算术平方根

1. 算术平方根的定义： 一般地，如果 的 等于a ，

即 ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a

的算术平方根记为 ，读作“根号a ”，a 叫

做 ．

规定：0的算术平方根是0.

也就是，在等式a x =2 (x ≥0)中，规定a x =。 理解： a x =2 (x ≥0) a x =

a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 2. a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；

4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小（方

法： ）

二、平方根

1. 平方根的定义：如果 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a

的 ．即：如果 ，那么x 叫做a

的 ．

理解： a x =2 <—> a x ±=

a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x

2.开平方的定义：求一个数的 的运算，叫做 ．开平方运算的

被开方数必须是 才有意义。

3. 平方与开平方 ：±3的平方等于9，9的平方根是±3

4. 一个正数有 平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数 平方根，即负数不能进行开平方运算

5. 符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；

正数a 的负的平方根可用-a 表示．

6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：

区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

三、立方根

1. 立方根的定义：如果 的 等于a ，这个数叫做

a 的 （也叫做 ），即如

果 ，那么x 叫做a 的立方根。

2. 一个数a a ”，

其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 理解： a x =3 <—> 3a x =

a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x

3. 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；

一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。

4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝

)0

a

=>。

四、实数

1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数

3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数

4. π是正无理数，

，，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：

5. 实数与数轴上点的关系：

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，

数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，

实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大

，这里a表示任意一个实数。

6. 数a的相反数是a

7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；

一个负实数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0。

8. 无限小数是有理数（）无限小数是无理数（）

有理数是无限小数（）无理数是无限小数（）

数轴上的点都可以用有理数表示（）有理数都可以由数轴上的点表示（）

数轴上的点都可以用无理数表示（）无理数都可以由数轴上的点表示（）

数轴上的点都可以用实数表示（）实数都可以由数轴上的点表示（）

五、考点分析

类型一、有关概念的识别

例1．下面几个数：57223064.0010010001.1,7231.03，，，，π-⋅

⋅ ，其中，无理数的个数有

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

【变式1】下列说法中正确的是（ ）

A 、81的平方根是±3

B 、1的立方根是±1

C 、11±=

D 、5-是5的平方根的相反数

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）

A 、

B 、

C 、2

D 、

3 类型二、计算类型题

例2．设a =26，则下列结论正确的是（ ）

A.

B. C. D.

举一反三： 【变式1】1）的算术平方根是__________；平方根是） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，

___________.

【变式2】求下列各式中的

（1）252=x （2）()912

=-x （3）643-=x 类型三、数形结合

例3. 点A 在数轴上表示的数为53，点B 在数轴上表示的数为2，则A ，B 两点的距离为______

举一反三：