高中数学必修2圆与方程复习.doc
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第四章 圆与方程
1、圆的定义: 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
( 1)标准方程
x a 2
y b 2 r 2 ,圆心 a, b ,半径为 r ; 点 M ( x 0 , y 0 ) 与圆 (x a)2 ( y b)2
r 2 的位置关系:
当 ( x 0 a)2 ( y 0 b)2 > r 2 ,点在圆外
当 ( x 0 a)2 ( y 0 b)2 = r 2 ,点在圆上
当 ( x 0 a)2
( y 0 b)2 < r 2 ,点在圆内
( 2)一般方程 x 2 y 2
Dx Ey F 0
当 D
2
E
2
4 F 0 时,方程表示圆,此时圆心为
D , E
,半径为
r
1 D
2 E 2 4 F
2 2
2
当 D 2 E 2 4 F
0 时,表示一个点;
当 D
2
E 2 4 F
0 时,方程不表示任何图形。
( 3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出 a , b , r ;若利用一般方程,需要求出 D , E , F ;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有 相离,相切,相交 三种情况:
( 1 ) 设 直 线 l : Ax
2
2
l
的距离为
By C 0 , 圆 C : x a
y br 2 , 圆 心 C a, b 到
Aa
Bb C
,则有
d rl 与C 相离 ; d r
l 与 C 相切 ; d r
l 与 C 相
交
d
B 2
A 2
( 2)过圆外一点的切线 :① k 不存在,验证是否成立② k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离 =半
径,求解 k ,得到方程【一定两解】
(3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 (x-a)2+(y-b) 2=r 2 , 圆 上 一 点 为 (x 0 , y 0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为
(x 0-a)(x-a)+(y 0 -b)(y-b)= r
2
4、圆与圆的位置关系: 通过两圆半径的和(差) ,与圆心距( d )之间的大小比较来确定。
2
2
2 , C 2 : x a 2 2
2
2 设圆 C 1 : x a 1y b 1r y b 2 R 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距( d )之间的大小比较来确定。 当 d R r 时两圆外离,此时有公切线四条;
当 d R r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当 R r d R r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d
R r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d
R r 时,两圆内含;
当 d
0 时,为同心圆。
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共
线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
第四章 圆与方程
一、选择题
1.若圆 C 的圆心坐标为 ( 2,- 3) ,且圆 C 经过点 M( 5,- 7) ,则圆 C 的半径为 ( ) .
A . 5
B . 5 C.25 D. 10
2.过点 A( 1,- 1) , B( -1, 1) 且圆心在直线x+ y-2= 0 上的圆的方程是 ( ) .
A . ( x-3) 2+ ( y+ 1) 2=4 B. ( x+ 3) 2+( y- 1) 2= 4
C. ( x- 1) 2+ ( y- 1) 2= 4 D. ( x+1) 2+ ( y+ 1) 2= 4
3.以点 ( -3, 4) 为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是 ( ) .
A . ( x-3) 2+ ( y+ 4) 2=16 B. ( x+ 3) 2+( y- 4) 2= 16
C. ( x- 3) 2+ ( y+ 4) 2= 9 D. ( x+3) 2+ ( y- 4) 2= 19
4.若直线 x+ y+ m= 0 与圆 x2+y2= m 相切,则 m 为( ) .
A.0或2 B . 2 C. 2 D.无解
5.圆 ( x- 1) 2+( y+ 2) 2= 20 在 x 轴上截得的弦长是 ( ) .
A . 8
B . 6 C.6 2 D. 4 3
6.两个圆 C1: x2+ y2+ 2x+2y- 2= 0 与 C2: x2+ y2- 4x- 2y+ 1= 0 的位置关系为 ( ) .
A .内切
B .相交C.外切D.相离
7.圆 x2+ y2- 2x-5= 0 与圆 x2+ y2+ 2x- 4y- 4= 0 的交点为A,B,则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) .
A . x+ y- 1= 0
B .2x- y+ 1=0
C. x- 2y+ 1= 0 D .x- y+ 1=0
8.圆 x2+ y2- 2x=0 和圆 x2+ y2+ 4y=0 的公切线有且仅有 ( ) .
A.4 条B.3 条C.2 条D.1 条
9.在空间直角坐标系中,已知点M( a, b, c) ,有下列叙述:
点 M 关于 x 轴对称点的坐标是M1( a,- b, c) ;
点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是M2( a,- b,- c) ;
点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是M 3( a,- b, c) ;
点 M 关于原点对称的点的坐标是M 4( -a,- b,- c) .
其中正确的叙述的个数是( ) .
A . 3
B . 2 C.1 D. 0
10.空间直角坐标系中,点A( - 3, 4, 0) 与点 B( 2,- 1, 6) 的距离是 ( ) .
A . 2 43 B.2 21 C.9 D. 86
二、填空题
11.圆 x2+ y2- 2x- 2y+1= 0 上的动点 Q 到直线 3x+ 4y+ 8= 0 距离的最小值为.
12.圆心在直线 y= x 上且与 x 轴相切于点 ( 1, 0) 的圆的方程为.
13.以点 C( - 2,3) 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是.
14.两圆 x2+ y2= 1 和 ( x+ 4) 2+ ( y- a) 2= 25 相切,试确定常数a 的值.
15.圆心为 C( 3,- 5) ,并且与直线x- 7y+ 2= 0 相切的圆的方程为.
16.设圆 x2+ y2- 4x- 5= 0 的弦 AB 的中点为 P( 3, 1) ,则直线 AB 的方程是.
三、解答题
17.求圆心在原点,且圆周被直线3x+ 4y+ 15= 0 分成 1∶ 2 两部分的圆的方程.