定积分讲义换元积分法

6
1. 6
0
a b f ( x ) d 令 x ( x t ) f [ ( t ) ( t ) ] d ( 当 x t a 时 t 当 x b 时 t )
例 (22 ) 计 算 0 2 c 5 x s x o id n sx
解 0 2 c 5 x s x o i 0 2 c d n 5 s x c o x x d o ss
si3n xsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0wk.baidu.com
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx
2
sin
5
x2
2
2
2 sin
5
x 2
4.
5
05
5
2
3
e4
dx
例4
计算
e
x
. lnx(1lnx)
3
解
原式 e4 e
d(lnx) lnx(1lnx)
则 有 a bf(x )d x f[(t)](t)d.t
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
( t) F [ ( t)],
(t)dFdxf(x)(t)f[ (t) ](t),
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) ] 的 一 个 原 函 数 .
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
定积分换元积分法
精品jing
易水寒江雪敬奉
一、换元公式
定理 假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2 ） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ，x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
3
3
e4
e
d(lnx)
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin nx)(e4 e
6
.
例5 计算
a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解 令 xasitn , d xaco tds , t
xa t , x0t0,
2
原式 2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
f[ (t) ] (t) d t( ) ( ),
( ) a 、 () b ,
() () F [() ]F [( )]
F (b)F (a),
a bf(x)d x F (b )F (a) () ()
f[(t)](t)d.t
注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 .
应用换元公式时应注意:
另解 原式 0
d(ex ) 1 (ex )2
lnex
ln 3
1(ex)2
0
不换元则不变限
ln 32ln12
例2 (1) 计算 2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,s d tsix nd, x
x t0, x0t1,
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt 1
t6 1
2 2 0 4
提示： a 2 x 2 a 2 a 2 s2 t i a n ct o d a s c xto d s t 当 x 0 时 t 0 当 x a 时 t 2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x )s3 ix n s5 ix n coxssinx2
（1）用 x (t )把变量 x换成新变量t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t )然后相减就行了.
定积分的换元法
例1 1
e ln x4
原式
2 3t2 dt
0 1 t
2
3 (t1
1
)dt
0
t 1
3t22
t
lnt
1
2 0
322ln33ln3
定积分的换元法
换元必须换限
例1 3 1 xdx
1 54x
解 令 5 4 x u ， 则 x 1 (5 u 2 ),d x 1 u d u
4
2
当 x 1 时 ， u 3 ； 当 x 1 时 ， u 1
解 a a 2 x 2 d 令 x a s t x 2 a i c n t a c t o d o s t s
0
0
a 2 0 2 c 2 t a 2 2 d 0 o 2 ( 1 c 2 t ) d s t o ts
a 2 [ t 1 s 2 t ] 2 1 a 2 in
提示：
换当 元x 一 0 定时 要t 换 1 积 当 分限x 不2 时 换元t 积0 分限不变
a b f ( x ) d 令 x ( x t ) f [ ( t ) ( t ) ] d ( 当 x t a 时 t 当 x b 时 t )
例 (31 ) 计 算 0 a a 2 x 2 d ( a > 0 ) x
原式
1 3
5u2 4u
u2du
1 8
1 5u2
3
du
1 8
5u
u3 3
1
3
1 6
定积分的换元法
换元必须换限
例1 4
e ln 3 x 1 dx n!
0
1e2x r!nr!
解 原式 u e x 3 1 du
1 1 u2
换元必须换限
3
lnu
1u2
1
ln 32ln12
ln 3
令 c x t 0 o t 5 d 1 t 5 d s [ 1 t 6 ] t 1 1 t 1 0 6 0 6
或
0 2 c 5 x s x o i 0 2 c d n 5 s x c o x x d o ss
[ 1 c 6 x ] 2 1 o c 6 1 c o s 6 0 1 o ss 6 0 6 2 6 6
dx
1x
解 原式 elnx4dlnx 1
1lnx5 5
e 1
1 5
凑微分d ln x
不换元则不变限
另解 原式
u lnx
1u 4du
0
1 5
u5
1 0
1 5
换元必须换限
定积分的换元法
换元必须换限
例1 2 8 1 dx 0 1 3 x
解 令 t3x,则 xt3,dx3t2dt 换元
当 x 0 时 ， t 0 ； 当 x 8 时 ,t 2 换限