19.2证明举例(7)

(全等三角形的对应边相等）
﹛
∴AB=AC （等式性质）
A
证明： ∵AD和A ′ D ′分别是BC和 B ′ C ′边上的高 。 (已知)
ADB A' D' B' 900
B
D A′
C
在ADB和A' D' B'中
（三角形的高的定义）
ADB A' D ' B ' （A.A.S） 已知：在⊿ABC和⊿A ′ B ′ AB A' B '
A
证明:
A
H F E B D G C
﹛
在DGC和DFC中
DGC DFC (A.A.S)
∴DG=DF (全等三角形的对应边相等） ∴DE+DF=CH (等式性质)
GCD FCD（已证） CD CD (公共边)
DGC CFD (已证)
A
H F E B D C
证明: 联结AD ∵DF⊥AC,DE⊥AB,CH⊥AB (已知) 1 S ABD AB DE 2 （三角形的 1 S ACD AC DF 面积公式） 2
(公共角) AEB ADC （已证） B C BE CD (已知) 已知：在⊿ABC中, ABE ACD (A.A.S) BE ⊥ AC,CD ⊥ AB, ∴AB=AC 垂足是D,E,BE=CD (全等三角形的对应边相等） 求证：AB=AC
﹛
在ABE和ACD中
A A
B′
D′
C′
AB A' B'(全等三角形的对应边,对应角相等）
已知：在⊿ABC和 ∴∠BAD=∠B’A’D’ (等式性质) 在ABD和A' B' D'中 ⊿A ′ B ′ C ′中 ， BAD B ' A' D' (已证) ⊿ABC≌⊿A ′ B ′ C ′ AB A' B ' （已证） AD和A ′ D ′分别 (已 证 ) B B ' 是∠BAC和∠B ′A ′ C ′ ABD A' B ' D ' (A.S.A) 的角平分线 ∴AD=A ′ D ′ 求证： AD=A ′ D ′ (全等三角形的对应边相等）
A E
D
证明: ∵BE ⊥ AC,CD ⊥ AB (已知) ∴∠AEB=∠ADC=900 (垂直的定义) ∴⊿BCD和⊿BCE是直角三角形 （直角三角形的定义）
C
B
已知：在⊿ABC中, BE ⊥ AC,CD ⊥ AB, 垂足是D,E,BE=CD BCD CBE (H.L) DBC ECB 求证：AB=AC (全等三角形的对应角相等） ∴AB=AC （等角对等边）
﹛
∵AB=AC （已知） ∴∠ABC=∠ACB (等边对等角) H 过D作DG⊥CH于G G F ∴∠DGC=900 （垂直的定义） E ∵CH⊥AB （已知） B D C ∴DG∥AB (垂直于同一条直线的 已知：在⊿ABC中, 两条直线平行) AB=AC,点D是BC上 ∴∠ABC=∠GDC （两直线平行， 任一点，DF ⊥ AC, 同位角相等） DE ⊥ AB, CH⊥AB, ∴∠ACB=∠GDC (等量代换) 垂足是E,F,H ∵DE⊥AB （已知） 求证：DE+DF=CH ∴DE=HG(平行线间的距离处处相等) ∵DF⊥AC （已知） ∴∠DFC=900 （垂直的定义） ∴∠DFC=∠DGC (等量代换)
﹛
在RtBCD和RtCBE中
(公共边) CD BE (已知)
BC CB
A E
证明: ∵BE ⊥ AC,CD ⊥ AB （已知）
S ABC 1 1 AB CD AC BE (三角形的 2 2 面积公式)
D
∵BE=CD （已知）
B C
已知：在⊿ABC中, BE ⊥ AC,CD ⊥ AB, 垂足是D,E,BE=CD 求证：AB=AC
S ABC
1 AB CH 2
SABC SABD SACD (图形的面积大小)
1 1 1 AB CH AB DE AC DF （等量代换） 2 2 2
∵AB=AC
Байду номын сангаас(已知) (等式性质)
CH DE DF
A E
D
证明: ∵BE ⊥ AC,CD ⊥ AB (已知) ∴∠AEB=∠ADC=900 (垂直的定义)
B′ D′ C′
﹛
ADB A' D ' B ' （已证）
B B ' AD A' D' (已知)
C ′中 ， 在 ABC 和 A ' B ' C ' 中 ∠BAC=∠ B ′ A ′ C ′, (已知) BAC B ' A ' C ' ∠B= ∠ B ′,AD和A ’D ’ AB A' B ' （已证） 分别是∠BAC和∠ B ’ A ’ C ’ (已知) B B ' 的 平分线，AD=A ’ D ’ 。 ABC A' B' C ' (A.S.A) 求证：⊿ABC≌⊿A ′ B ′ C ′
A
证明:
A
H E B D
G
F C
﹛
在DGC和CFD中
DGC CFD (A.A.S)
∴CG=DF (全等三角形的对应边相等） ∴DE+DF=CH (等式性质)
GDC FCD（已证） CD DC (公共边)
DGC CFD (已证)
∵AB=AC （已知） ∴∠ABC=∠ACB (等边对等角) H 过C作DG⊥DE交ED延长线于G F ∴∠DGC=900 （垂直的定义） E ∵DE⊥AB （已知） B D C G ∴CG∥AB (垂直于同一条直线的 已知：在⊿ABC中, 两条直线平行) AB=AC,点D是BC上 ∴∠ABC=∠DCG （两直线平行， 任一点，DF ⊥ AC, 内错角相等） DE ⊥ AB, CH⊥AB, ∴∠ACB=∠DCG (等量代换) 垂足是E,F,H ∵CH⊥AB （已知） 求证：DE+DF=CH ∴EG=CH (平行线间的距离处处相等) ∵DF⊥AC （已知） ∴∠DFC=900 （垂直的定义） ∴∠DFC=∠DGC (等量代换)
A
证明： ∵AD和A ′ D ′分别是∠BAC和∠B ′A ′ C ′的角平分线 (已知)
B
D A′
1 1 BAD BAC , B' A' D' B' A' C ' C 2 2
B B' , BAC B' A' C '
（三角形的角平分线的定义） ∵⊿ABC≌⊿A ′ B ′ C ′ (已知)