幂级数的讲解纲要优秀课件

在 x x0 点收敛, 则对满足不等式 x x0
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 , 则对满足不等式
x x0 的一切 x , 该幂级数也发散 .
收敛
收敛
o
x x0
x
发散
发散
o
x x0 发 散 x
§12.1 幂级数
若幂级数 an xn , 设
n0
lim
n
发散 .
若级数的一般项 un 不趋于0 , 则级数必发散 .
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4. 正项级数 un 收敛 n1
部分和序列 Sn 有界 . (n 1,2, )
知识点复习 5. 利用正项级数判别法
un k vn
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法
lim
n
un1 un
l
根值审敛法
lim n
n
un
l
不满足 发散
lim un l v n
n
l 1 不定, 用它法判别: 比较审敛法
l 1
收敛
l 1
发散
部分和极限
lim
n
Sn
S
知识点复习
6. p 级数
1
11
1
n1 n p 1 2p 3p n p
当 p 1 时, 发散 ; 如
n1
1 ,
n
1 n1 n
当 p 1 时, 收敛 . 如
1 n2
n1
lim n n 1
n
当 R = + 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
R=0
发散
o
发散
x
收敛
R =+
收敛
o
收敛
x
§12.1 幂级数
定理2
若
an xn
n0
的系数满足
lim
n
an1 an
l,
则
1) 当l ≠0 时,
R
1 l
;
2) 当l ＝0 时, R ;
3) 当l ＝+∞时, R 0 .
说明:据此定理
an xn 的收敛半径为 R lim
的函数项级数称为(x-x0)的幂级数, 其中 an (n 0,1, ) 称为幂级数的系数 .
当 x0 0 时, an xn a0 a1 x a2 x2 an xn n0
称为x 的幂级数. 如 xn 1 x x2 xn n0
§12.1 幂级数
定理 1 (Abel定理) 若幂级数 an xn n0
故收敛域为(1, 1] .
则在收敛域上有
lim
n
Sn( x)
S(x)
,
lim
n
rn
(
x
)
0
例如, 等比级数
xn 1 x x2
xn
1
( x 1)
n0
1 x
∴它的收敛域是
(1 , 1 ) ,
有和函数
n0
xn
1 1 x
§12.1 幂级数
二、幂级数及其收敛性
形如 an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 n0 an( x x0 )n
1
7. 利用等价无穷小： sin 发散;
ln
n1
n
n1
1
1 n2
收敛.
8. 含有 n ! , 选择比值判别法，即 lim un1
u n n
知识点复习
9. 交错项级数的Leibniz判别法: ( un单调减少趋于0 )
un un1 0
lim
n
un
0
则交错级数 (1)nun 收敛 n1
10. 任意项级数
n0
n
an an1
§12.1 幂级数
例1 求幂级数 x x2 x3 23
的收敛半径及收敛域.
(1)n1 xn n
an
1
解 R lim an lim n 1
a n n1
n 1
n1
对端点
x
=
1,
级数为交错级数
n1
(1)n1
1 n
,
收敛;
1
对端点 x =－1,
级数为
n1
, n
发散 .
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 S( x) , 称它
为级数的和函数 , 并写成 S( x) un( x) n1
§12.1 幂级数
若用 Sn( x) 表示函数项级数前 n 项的和, 即
n
Sn( x) uk ( x) 余项 rn( x) S( x) Sn( x) k 1
收敛 发散
绝对收敛 条件收敛
如
n1
(1)n
1 n2
如
(1)n
n1
1 ;
n
n1
(1)n
ln
1
1 n
知识点复习 11. 绝对收敛的级数一定收敛 .
12. (绝对值的比值、根值判别法) lim un1 l , u n
n
lim n
n
un
l,
则 (1) 当 l 1 时, 级数绝对收敛 ;
(2) 当l 1 或 l 时, 级数发散 .
技巧: 利用 “拆项相消” 求和 “ 收±收=收; 收±发=发; 发±发=不确定” 推论 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
知识点复习
3. 定理 ( 级数收敛的必要条件 )
设收敛级数 S
un ,
则必有 lim n
un
0.
n1
反之,不成立!
1
11
1
如, 调和级数 n1 n 1 2 3
(3) 当 l 1 时, 此方法失效 ，换其他方法.
§12.1 幂级数 一 、函数项级数的一般概念
设 un( x) (n 1, 2, ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对 x0 I , 若常数项级数 un( x0 ) 收敛,称 x0 为其收 n1
n
an1 an
l
令R1 l
则
lim
n
an1 xn1 lim
an xn
n
an1 an
x l x
当 l x 1 时, 当 l x 1 时,
即 x 1 R , 级数绝对收敛; l
即 x 1 R , 级数发散; l
R
发散
收 o敛
发散 x
§12.1 幂级数
可以看出, an xn 的收敛域是以原点为中心的区间. n0 当 0 R ,幂级数在 (－R , R ) 收敛 ;
在 (, R),(R, ) 外发散;
在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
R
发 散 收 o敛
发散 x
§12.1 幂级数
特别地, an xn a0 a1 x a2 x2 n0
an xn
当 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
幂级数的讲解纲要
主要内容
1 函数项级数的一般概念 2 幂级数及其收敛性 3 幂级数的运算 4 幂级数求和
知识点复习
1.
若 lim n
Sn
S
存在, 则称无穷级数收敛.
2. 等比级数(又称几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0 )
n0
q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 .