和角公式.倍角公式
和角公式.倍角公式
4.3和角公式、倍角公式
【考点预测】两角和与差的正弦、余弦、正切公式的考查，经常以选择题与填空题的形式出现, 还常在解答题中与三角变换结合起来考查，在考查三角函数知识的同时，又考查函数思想和分类讨论思想解决问题的能力.
【基础知识】
1. 和（差）角公式
cos(α±β) =_________________
sin(α±β) =_________________
tan(α±β) =_________________
2. 倍角公式
cos 2α=__________=__________=____________
sin 2α=_________________
tan 2α=_________________
3. 降幂公式
sin 2α=______________，cos 2α=______________
4. 注意凑角的技巧
α=(α+β)-β; 2α=(α+β)+(α-β) ; 2α+β=(α+β)+α等.
5. 公式的变形应用
(1)tanα±tan β=tan(α±β) 〃(1 tan αtan β)
(2)tanα〃tan β=1-
【考点剖析】
考点一给值求值
例1（2019年四川文）设sin 2αtan α+tan βtan α-tan β=-1. tan(α-β) tan(α+β) π=-sin α, α∈(, π) , 则tan 2α的值是________. 2
【变式训练】
1.(2019年重庆理5) 设tan α, tan β是方程x 2-3x +2=0的两个根，则
tan(α+β) 的值为（）
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
错误！未指定书签。2.(2019
年江西文）若sin α
2=cos α=（） D ．错误！A ．-2 3 B ．- C ．错误！未找到引用源。 1
3
未找到引用源。
3. 错误！未指定书签。（2019年上海文科）若cos x cos y +sin x sin y =1, 则cos (2x -2y )=________. 3
考点二给值求角
例2. 已知α, β都是锐角,
且sin α=
【变式训练】
已知cos α=, sin β=, 求α+β. 510113π,cos(α-β)=, 且0
※考点三凑角的运用
鲍老师[1**********]
A. B. - C. D. -3399
【变式训练】
ππ?
4?（2019年江苏卷11）设α为锐角，若cos α+?=，则sin(2α+) 的值为．
6?512?
【专题训练】
★1. （2019年福建理1）计算sin43cos13-sin13 cos43 的值等于（）
1
C.
D. 22
4π★
2．(2019年宁夏文10) 若sin a = -，α是第三象限的角，则sin(a +) =（） 54 A. - B.
C. -
D. 10101010
tan x π★3. (2019年江苏卷7) 已知tan(x +) =2,
则的值为__________ tan 2x 4
★4. （2019年福建文2）
计算1-2sin 22.5 的结果等于( ) A.
1 B.
C.
D. 3222
★5. （2019年辽宁文6）已知sin α-cos α=，α∈(0，π) ，则sin 2
α=( ) A.
C.
D. 1 22
sin 47 -sin17 cos30
★6. (2019年重庆文5) =（） cos17
11A. B. -C. D. 2 2
3★7. (2019年全国卷文4) 已知α为第二象限角，sin α=，则sin 2α=（） 5 24121224A. - B. - C. D. 25252525
π1★★8. (2019年辽宁理7) 设sin （+θ）=，则sin 2θ=（） 43
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的 :两角和与差及其二倍角公式知识点及典例 知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )= T( a + 3 ): tan( a + 3 )= 2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2 h 例 2 设 cos a — 2 1 9’ T 2 : tan2 . a sin 2 — 2 3,其中 n 2, n 0, 2，求 cos( a+ 3). sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a = — — , 3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。 如T( a± 3可变形为： tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B 、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知0 3 . ncos(— 4 4 3 5，sin( 4 )—,求 sin( a + 3 )的值. 13 则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角 已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤： (1)确定角所在的范围; 值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。 1 1 例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值. (2)求角的某一个三角函数 n a — 6 + A —症 A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 4 3」 B 辺 B. 5 4 q 5 cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65 sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C. 65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( ) C . 0 或 3 4 D ?5 16 65 0或土 3 A . 0 B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin5 5、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5 B. o ■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值? 1 1 变式3:已知tan a = , tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值. 7 3 题型4辅助角公式的应用 J 2 2 asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 b tan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a 例4求函数f(x) 5sin xcosx ^3cos 2 x —V 3( x R)的单调递增区间？ 2 变式4( 1)如果f x sin x 2cos(x )是奇函数，则tan 变式1 :化简求值: 题型2给值求值 2cos10 sin 20 cos20 (2)若方程si nx J3cosx c 有实数解，则c 的取值范围是 ____________________ 题型5公式变形使用 二倍角公式的升幕降幕 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把 所求角 用“已知角”表示.
最全的的初中数学公式大全
最全的的初中数学公式大全 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
两角和与差的正弦公式的有趣证明
两角和与差的正弦公式的有趣证明 江苏省泰州市朱庄中学曹开清 225300 一、勾股定理的一个证明与两角和的正弦公式 如图1(a)，在一个边长为a＋b的大正方形中，放置了4个两直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形，显然图中小正方形的面积等于c2．现在我们将图1(a)中的 4 个直角三角形移位，拼成图1(b)，显然图1(b)中两个较小的正方形的面积之和等于a2＋b2．因为图1(a)与图1(b)中空白部分的面积相等，所以有a2＋b2＝c2，亦即证明了勾股定理． 我觉得这是勾股定理众多证明方法之中，最简单的一个证明了．不仅如此，它其实还有着另外一个用途，并不是每一个人都能发现的．现在将上面两个图“压扁”，成为图2： 如图2(a)，原来的正方形变成了一个平行四边形，它的面积是mnsin(α＋β)，其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度．如图2(b)，原来的两个正方形变成了两个矩形，其
面积之和是msin α·ncos β＋mcos α·nsin β．与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin(α＋β)＝msin α·ncos β＋mcos α·nsin β，化简得sin(α＋β)＝sin αcos β＋sin αcos β，这就是三角学中最重要的两角和的正弦公式．在这里，勾股定理和两角和的正弦公式竟来自相同的证明方法！ 二、无意中导出两角差的正弦公式 邻居有个小孩，一次拿了他的作业本来问我．题目是这样的：如图，AD ⊥BD ，∠ACD ＝α，∠ABD ＝β，BC ＝a ，则AD ＝___________． 他的答案是)sin(sin sin βαβ α-?a ，但他的老师给他打了个“×”．我问他是怎么做的？他马上写了起来： 在ΔABC 中，BC ＝a ，∠ABC ＝β，∠BAC ＝α―β，根据正弦定理，得 )sin(sin βαβ-=a AC ， 即)sin(sin βαβ-=a AC ． 在RtΔACD 中，) sin(sin sin sin βαβαα-=?=a AC AD ． 我说对啊！他却说老师的正确答案是：αβcot cot -= a AD ．解题过程如下： 在RtΔABD 中，βcot ?=AD BD ；在RtΔACD 中，αcot ?=AD CD ， 所以a CD BD AD =-=-)cot (cot αβ， 即α βcot cot -=a AD ．
两角和与差及倍角公式(一)
两角和与差及倍角公式（一） 【考点导读】 1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换； 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系； 4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】 1.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________． 2. 化简2cos 6sin x x -=_____________ ． 3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________ ． 4.化简： sin sin 21cos cos 2αααα +=++___________ ． 【范例解析】 例 .化简：（1） 4221 2cos 2cos 22tan()sin () 44 x x x x ππ-+ -+； （2） (1sin cos )(sin cos ) 22(0)22cos θθ θθθπθ ++-<<+． （1）分析一：降次，切化弦． 解法一 ： 原 式 = 2221 (2cos 1)2 2sin() 4cos () 4cos()4 x x x x π ππ----22 (2cos 1)4sin()cos() 44 x x x ππ -= --2cos 22sin(2)2 x x π = -1 cos 22 x =． 分析二：变“复角”为“单角”． 解法二 ：原式 221 (2cos 1)21tan 222(sin cos ) 1tan 22 x x x x x -= -?++2 2c o s 2c o s s 2(s i c o s s x x x x x x x =- ?++ 1c o s 2 x =． （ 2 ） 原 式 = 22 (2sin cos 2cos )(sin cos )2 22224cos 2 θ θ θθθθ+-22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθ θθθ--?== 12 3＋cos2x 22cos()3x π + tan α
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例 知识要点： 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ； 2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ； 3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。 如T(α±β)可变形为: tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测： 1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( ) 711 A 、 711 B 、- 713 C 、 7 13D 、- 2、已知cos ????α－π6＋ sin α＝4 5 3，则 sin ????α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.4 5 3、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝5 13 ，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0 B ．±3 C ．0或 3 D ．0或 ±3 5、三角式2cos55°－3sin5° cos5° 值为( ) A.3 2 B. 3 C ．2 D ．1 题型训练 题型1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]???++. 变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20 ?? ? - 题型2给值求值 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如 ()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()() αβαβα=+--， 22αβαβ++=? ，()( ) 222αββ ααβ+=--- 例2 设cos ????α－β2＝－19 ，sin ????α2－β＝2 3，其中α∈????π2，π，β∈????0，π2，求cos(α＋β)． 变式2：π3π33π5 0π,cos(),sin(),4445413 βααβ<< <<-=+=已知求sin(α+β)的值. 题型3给值求角 已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。 例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1 7 ，求 2α－β的值． 变式3：已知tan α= 17，tan β= 1 3 ，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值. 题型4辅助角公式的应用 ()sin cos a x b x x θ+= + (其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b a θ= 确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 例4求函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间？ 变式4（1）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= ； （2）若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________. 题型5公式变形使用 二倍角公式的升幂降幂
《初中数学公式大全》
初中数学公式表
实用工具:常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导
三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
中学数学公式大全(全)
数学公式及性质（完整版） 1．乘法与因式分解 ①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； ④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab。2．幂的运算性质 ①a m×a n＝a m+n；②a m÷a n＝a m-n；③(a m)n＝a mn；④(ab)n＝a n b n；⑤(a b )n＝n n a b ； ⑥a-n＝1 n a ，特别：()-n＝()n；⑦a0＝1(a≠0)。 3．二次根式 ①()2＝a(a≥0)；②＝丨a丨；③＝×；④＝(a＞0，b≥0)。4．三角不等式 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）； 加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b） |a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ； |a-b|≥|a|-|b|；-|a|≤a≤|a|； 5．某些数列前n项之和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2； 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)；12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6； 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；
三角函数的两角和差及倍角公式练习题
三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。
(完整版)初中数学公式大全(绝对经典)
初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 ° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等( 即等边对等角) 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 ° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即a^2+b^2=c^2
两角和、差及倍角公式(一)
两角和、差及倍角公式（一） 【考纲解读】 1. 掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2. 能运用上述公式进行简单的恒等变换. 【基础回顾】 1. 和、差角公式： sin()______________________αβ±=； cos()______________________αβ±=； tan()______________________αβ±=. 2. 二倍角公式： sin 2______________________α=； cos 2_____________________________________________α===； tan 2______________________α=. 3. 半角公式： =αsin _________________； _________________________________________________cos ===α； ________________tan =α. 4.降幂公式： 2sin _________________α=； 2cos _________________α=. 5.辅助角公式： sin cos ______________a x b x +=, (其中sin ______cos ______??==，). 【基础练习】
1. 已知),,2( ,53cos ππαα∈-= 的值求)4cos(απ-。 2. 已知)3 cos(,1715sin πθθθ-= 是第二象限角，求 3. 利用两角和差公式求下列各式的值 （1）?15sin (2)?75cos (3) ?15tan 4. 的值求已知)3tan(,3tan παα+ = 5.求下列各式的值： （1）??+??18sin 72cos 18cos 72sin （2）??+??12sin 72sin 12cos 72cos 6.化归：))tan()(os A )sin(A (?ω?ω?ω+++x x c x 、 、即化归成 （1） =-x x sin 23cos 21 （2）=+x x cos sin 3 （3）=-)sin (cos 2x x （4）=-x x sin 6cos 2 【高考例题】 4. （04重庆）sin163sin 223sin 253sin313_____??+??=. 5. （05北京）在ABC ?中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ?是___三角形.
三角函数和差及倍角公式讲义.docx
教育学科教师辅导讲义 教学内容 一、 上次作业检查与讲解； 二、 学习要求及方法的培养： 三、 知识点分析、讲解与训练: Mite 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin (° ± 0) = sin QCOS 0 土 cos osin 0 —令空?》sin 2a = 2 sin a cos a (o±0) = cosfzcos^ + sinc^sin p — cos2a = cos?(7-sin 2 a -2cos 2 a-\ = l-2sin 2 a 7 1+COS 2Q n cos 「a= ---------- 2 .9 l — cos2o sirr a= ---------- 2 r 2 tan a tan 2a = ------- - l-tarr a 二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三 观察代数式的结构特点。基本的技巧有： (1) 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变 换.如 G = (Q + 0)-0 = (Q -0) + 0, 2Q = (G + 0) + (Q -0) , 2a = (0 + a)-(0-a), 心=2?呼,呼十号俘") ⑵三角函数名互化(切割化弦)， ⑶公式变形使用(tana 土tan0 = tan (仅±0)(1^tanotan")。 1 I y zy I / cos 等),
(4)三角函数次数的降升(降幕公式：cos2 6Z = —-—, sin%= —与升幕公式： 2 2 1+ cos 2a = 2 cos2a , 1-cos 2a = 2 sin2a)。
两角和与差及二倍角公式讲义
两角和与差及二倍角公式 一．【复习要求】 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联. 2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明. 二、【知识回顾】 1．两角和与差的三角函数 sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ； 2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。 sin 2α= ； cos2α= = = tan 2α= 。 3．降幂公式 2 sin α= ； 2cos α= . 注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用 4．辅助角公式 证明： )sin cos x x y x x =+= sin sin cos )x x ??+ )x ?+ 其中， cos ?= sin ?= tan b a ?= 且角?终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想 如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。 5.公式的使用技巧 （1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++
（2）“1”的代换：22 sin cos 1αα+=，sin 1,tan 12 4 π π == （3）收缩代换：sin cos y x x =+ =)x ?+， （其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形： tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ --= +→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=--- 如：tan 95tan 353tan 95tan 35--= 。 tan 70tan 503tan 70tan 50+-= 。 （5）角的变换（拆角与配角技巧） 22 α α=? ， ()ααββ=+-， ()αββα=--， 1[()()]2 ααβαβ= ++-， ()4 4 ααπ π =+ - ， ()4 24π π π αα+= --，1 [()()]2 βαβαβ=+--， （6）二倍角公式的逆用及常见变形 二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。 ①sin 2sin cos 22 α α α=；②2 2 2 2 cos cos sin 12sin 2cos 12 2 2 2 α α α α α=-=-=- ③2 2tan 2tan 1tan 2 α αα = -；④21sin 2(sin cos )ααα±=±；⑤22(sin cos )(sin cos )2αααα++-= 5．三角函数式的化简 （1）化简方法：①直接应用公式进行降次、消项；②化切为弦，异名化同名，异角化同角；③ 三 角公式的逆用等。④降幂或升幂 （2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少； ④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 6．三角函数的求值类型有三类 （1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变 换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于 “变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的 式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。 7．三角等式的证明 （1）三角恒等式的证明
初中数学公式大全35463
初中数学常用的概念、公式和定理 1. 整数（包括:正整数、0、负整数）和分数（包括:有限小数和无限环循小数）都是有理数. 如:－3, ,0.231,0.737373…, , .无限不环循小数叫做无理数..如:π,－ - ,0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）.有理数和无理数统称为实数. 2. 绝对值:a ≥0 丨a 丨=a;a ≤0 丨a 丨=－a. 如:丨－ 丨= ;丨3.14－π丨=π－3.14. 3. 一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这 个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 4. 把一个数写成±a×10n 的形式（其中1≤a<10,n 是整数）,这种记数法叫做科学记数法. 如:－40700=－4.07×105,0.000043=4.3×10－ 5. 5. 被开方数的小数点每移动2位,算术平方根的小数点就向相同方向移动1位;被开方数 的小数点每移动3位,立方根的小数点就向相同方向移动1位. 如:已知 =0.4858,则 =48.58;已知 =1.558,则 =0.1588. 6. 整式的乘除法:①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. ②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.③多项式乘以多项式,用一个多- 项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.④多项式除以单项式,将多项式的每一项 分别除以这个单项式. 7. 幂的运算性质:①a m ×a n =a m+n .②a m ÷a n =a m －n .③(a m )n =a mn .④(ab)n =a n b n .⑤( )n =n.⑥a －n =n, 特别:( )－n =( )n .⑦a 0=1(a ≠0). 如:a 3×a 2=a 5,a 6÷a 2=a 4,（a 3）2=a 6,（3a 3）3=27a 9,（－3）－1=－ ,5－2= = ,（ ）－2=（ ）2= ,（－ 3.14）0=1,（ － ）0=1. 8. 乘法公式（反过来就是因式分解的公式）:①（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2.②（a±b）2 =a 2±2ab+b 2. ③（a+b ）（a 2－ab+b 2）=a 3+b 3.④（a －b ）（a 2+ab+b 2）=a 3－b 3;a 2+b 2=（a+b ）2－2ab,（a － b ）2=（a+b ）2－4ab. 9. 选择因式分解方法的原则是:先看能否提公因式.在没有公因式的情况下:二项式用平 方差公式或立方和差公式,三项式用十字相乘法（特殊的用完全平方公式）,三项以上用 分组分解法.注意:因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 10. 分式的运算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,并颠倒除式,约分后相乘;加减法 应先把分母分解因式,再通分（不能去分母）.注意:结果要化为最简分式. 11. 二次根式:①（ ）2=a （a ≥0）,② =丨a 丨, 如:①（3 ）2=45.② =6.③a<0时, =－a .④ 的平方根=4的平方根=±2. 12. 一元二次方程:对于方程:ax 2+bx+c=0:①求根公式 (a>0,b ≥0). ,其中=b 2－4ac 叫做根-
三角函数基础,两角和与差、倍角公式
练习： 一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第 象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例： 例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 （注意象限、符号） 例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足
小学到初中数学公式大全
小学到初中数学公式大全 小学数学公式大全 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一部分：概念 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。 如：（2+4）×5＝2×5+4×5 6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。O 除以任何不是O的数都得O。 简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 7、什么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。 等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。 8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。 9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。 学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。 异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。