倍角公式和半角公式 答案
倍角公式和半角公式 答案
第三章 第六节 倍角公式和半角公式一、选择题1．定义运算a b ＝a 2－ab －b 2，则sinπ6cos π6＝ ( )A ．－12＋34B ．－12－34C ．1＋34D ．1－34解析：sinπ6cos π6＝sin 2π6－sin π6cos π6－cos 2π6＝－12－34. 答案：B2．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α的值是 ( ) A ．－145 B ．－75 C ．－2 D.45解析：∵点P 在y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，∴sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：C3．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)等于 ( ) A.25 B.75 C.145 D ．－25解析：原式＝1＋2(cos2αcos π4＋sin2αsin π4)cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2×(cos α＋sin α)＝2×(35＋45)＝145. 答案：C4.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos(90°＋α)等于 ( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：原式＝(－sin2α)·cos 2α(1＋cos2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α. 答案：D5．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为 ( )A ．2B ．23 C ．4 D ．43解析：f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos xsin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x sin x ＝4sin x cos x ，即tan x ＝±12时，取等号．∵0<x <π2，∴存在x 使tan x ＝12，这时f (x )min＝4. 答案：C6．设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°·cos38°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′，d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞d ＞cB ．b ＞a ＞d ＞cC ．d ＞a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞d ＞b 解析：a ＝sin(56°－45°)＝sin11°，b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′＝cos81°＝sin9°，d ＝12(2cos 240°－2sin 240°)＝cos80°＝sin10°，∴b ＞a ＞d ＞c . 答案：B 二、填空题7．(2010·黄冈模拟)已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析：cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1，且cos(π3＋α)＝sin(π6－α)＝13.所以cos(2π3＋2α)＝－79.答案：－798．设f (x )＝1＋cos2x 2sin(π2－x )＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.答案：±39．已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围是______．解析：法一：设x ＝cos α·sin β，则sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝12＋x ，sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β＝12－x .∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤12＋x ≤1－1≤12－x ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12－12≤x ≤32，∴－12≤x ≤12.法二：设x ＝cos α·sin β，sin α·cos β·cos α·sin β＝12x ，即sin2α·sin2β＝2x .由|sin2α·sin2β|≤1，得|2x |≤1，∴－12≤x ≤12.答案：[－12，12]三、解答题10．已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)． (1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425.又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，sin α＝15(α∈(0，π4))．∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×(－2425)－55×725＝－11525. 11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，23π]上的取值范围．解：(1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12. ∵0≤x ≤23π，∴－π6≤2x －π6≤76π，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]． 12．已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， c ＝(12，－12)．(1)若a ·b ＝22，a ·c ＝3－14，求角2β－α的值；(2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值．解：(1)∵a ·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝22， ①a ·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14. ②又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，得β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12. ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34，∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α>0， ∴tan α＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数的倍角公式和半角公式是在三角函数领域中常用的数学公式，它们能够将一个角的三角函数值表示成另外一个角的三角函数值的式子。
这些公式在解决三角函数的相关问题，特别是在解析几何、物理和工程等领域中起着至关重要的作用。
本文将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，给出其推导过程和一些应用实例。
1. 倍角公式1.1 正弦函数倍角公式正弦函数倍角公式可以表示为：sin 2θ = 2sinθcosθ该公式表示的是，一个角的两倍角的正弦值等于这个角的正弦值与余弦值的乘积的两倍。
推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ再将左边的sin(θ + θ)进行简化，即可得到sin 2θ = 2sinθcosθ。
1.2 余弦函数倍角公式余弦函数倍角公式可以表示为：cos 2θ = cos²θ - sin²θ也可以表示为：cos 2θ = 1 - 2sin²θ这两个公式表示的是，一个角的两倍角的余弦值等于这个角的余弦值的平方减去正弦值的平方。
推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到：cos(θ + θ) = cos²θ - sin²θ再将左边的cos(θ + θ)进行简化，即可得到cos 2θ = cos²θ - sin²θ。
另外，根据正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1的关系式，我们可以将cos²θ替换成1 - sin²θ，得到cos 2θ = 1 - 2sin²θ。
2. 半角公式2.1 正弦函数半角公式正弦函数半角公式可以表示为：sin (θ/2) = ±√((1-cosθ)/2)该公式表示的是，一个角的半角的正弦值等于这个角的余弦值减去1再除以2再开平方。
推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到sin(θ/2) = sin(θ/2 + θ/2) = sinθcos(θ/2) + cosθsin(θ/2)。
倍角公式与半角公式
7.已知函数f ( x) 2sin x( 3 cos x sin x) 1, 是推断是否存在常数 （0， ），使函数 2 f ( x )为偶函数？若存在，求出的值；若 不存在，请说明理由。
4 4
5.已知函数f ( x) 2 cos x(sin x cos x). 5 (1)求f ( )的值； 4 (2)求函数f ( x)的最小正周期及单调增区间。 x x 1 2 x 6.求函数f ( x) cos sin cos 2 2 2 2 (1)求f ( x)的最小正周期和值域。 3 2 (2)若f ( x) , 求 sin 2的值； 10
2
cos
2
2
Hale Waihona Puke cos23
cos
2
n 1
2.证明： （ 1） sin 3 3sin 4sin ;
3
(2) cos 3 4 cos 3cos
3
3、化简： tan(45 ) sin cos （1） ; 2 2 2 1 tan (45 ) cos sin
和差化积： sin sin 2sin
2 2 sin sin 2 cos sin ; 2 2 cos cos 2 cos cos ; 2 2 cos cos 2sin sin ; 2 2
cos
;
1、计算 (1)cos72 cos 36 ; 1 3 (2) ; sin 50 cos 50 tan 22.5 (3) 2 1 tan 22.5 (4) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 (5) cos cos
倍角及半角公式
倍角及半角公式在三角函数中，倍角及半角公式是求解特定角的重要工具。
它们可以将一个角的角度加倍或减半，从而简化计算，提高效率。
本文将介绍倍角公式和半角公式的定义、推导以及应用。
一、倍角公式倍角公式是将一个角的角度加倍得到另一个角的角度的公式。
常用的倍角公式包括正弦倍角公式、余弦倍角公式和正切倍角公式。
1. 正弦倍角公式正弦倍角公式可以表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为原角的角度。
这个公式可以通过将正弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。
2. 余弦倍角公式余弦倍角公式可以表达为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ该公式也可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。
3. 正切倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)这个公式可以通过将正切函数展开为正弦和余弦的比值形式，然后利用倍角公式进行推导得到。
二、半角公式半角公式是将一个角的角度减半得到另一个角的角度的公式。
常用的半角公式包括正弦半角公式、余弦半角公式和正切半角公式。
1. 正弦半角公式正弦半角公式可以表达为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中，θ为原角的角度。
根据正弦半角公式，我们可以通过已知一个角的正弦值来求解该角对应的半角。
2. 余弦半角公式余弦半角公式可以表达为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]该公式可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用半角公式进行推导得到。
3. 正切半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]根据正切半角公式，我们可以通过已知一个角的正切值来求解该角对应的半角。
三、应用举例倍角及半角公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在三角函数的求值中，通过利用倍角公式可以将一个角的角度加倍，从而可以快速计算出正弦、余弦和正切值。
倍角公式半角公式
两角和与差倍角半角公式
两角和与差倍角半角公式一、两角和与差公式：两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。
二、倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三、半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)3. 正切半角：tan(A/2) = ±√((1 - cos A) / (1 + cos A))半角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三角函数的倍角公式与半角公式
三角函数的倍角公式与半角公式三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度与三角形之间的关系。
在三角函数的学习中，倍角公式与半角公式是非常重要的内容。
本文将详细介绍三角函数的倍角公式与半角公式，并探讨其应用。
一、倍角公式倍角公式是指将一个角的两倍表示成该角的函数的形式。
对于正弦函数、余弦函数和正切函数来说，它们都有各自的倍角公式。
1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示成以下形式：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为任意角度。
这个公式表明，将一个角的两倍的正弦函数，可以拆分为两个角的正弦函数的乘积。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以表示成以下形式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ也可以表示为：cos(2θ) = 2cos²θ - 1或者：cos(2θ) = 1 - 2sin²θ这个公式可以通过将cos(2θ)展开，得到余弦函数与正弦函数的关系。
3. 正切函数的倍角公式正切函数的倍角公式可以表示成以下形式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)这个公式在解决一些复杂问题时，可以将一个角的两倍的正切函数，表示为原角的正切函数的比值。
二、半角公式半角公式是指将一个角的一半表示成该角的函数的形式。
对于正弦函数、余弦函数和正切函数来说，它们都有各自的半角公式。
1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以表示成以下形式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]其中的正负号取决于角度的范围，需要根据具体的情况来确定。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示成以下形式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]同样地，正负号的选择需要根据具体的情况来确定。
3. 正切函数的半角公式正切函数的半角公式可以表示成以下形式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]正负号的选择同样需要根据具体的情况来确定。
倍角公式和半角公式
半角公式利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=+或-[1-cosα）/（1+cosα）]开二次方倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.现列出公式如下:sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)【本讲教育信息】一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。
三角函数的倍角与半角的公式与应用
三角函数的倍角与半角的公式与应用三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域中广泛应用。
本文将介绍三角函数的倍角与半角的公式以及它们的应用。
一、三角函数的倍角公式在三角函数中，有两个重要的倍角公式，即正弦函数的倍角公式和余弦函数的倍角公式。
1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表明，正弦函数的两倍角可以表示为两个一角的正弦函数和余弦函数的乘积。
这个公式在解决一些三角函数的问题时非常有用。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式表明，余弦函数的两倍角可以表示为一角的余弦函数和正弦函数的平方差。
同样地，这个公式在解决一些三角函数的问题时非常有用。
二、三角函数的半角公式与倍角公式类似，三角函数还有半角公式。
半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数和一个常数的形式。
1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2]根据这个公式，我们可以通过已知角的余弦函数值来求解未知角的正弦函数值，进而解决相关的数学问题。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示为：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ)/2]这个公式与正弦函数的半角公式类似，可以帮助我们求解与角的余弦函数有关的问题。
三、三角函数公式的应用三角函数的倍角与半角公式在数学问题的求解中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 角的求解通过倍角公式和半角公式，我们可以解决与角度相关的问题。
例如，已知一个角的正弦函数值，我们可以利用正弦函数的半角公式计算出该角的半角的正弦函数值。
这样我们就能够准确地求解出未知角的值。
2. 三角函数的性质推导倍角和半角公式也可以用于三角函数性质的推导。
通过这些公式，我们可以进一步研究三角函数之间的关系，从而深入理解三角函数的性质和特点。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解25 倍角与半角公式
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第25讲 倍角与半角公式通关一、二倍角公式sin 22sin cos ααα=2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 公式推导：把两角和与差公式中的β代换为α，则可得到二倍角公式。
sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ;ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=-再利用22sin +cos =1αα，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=-2tan tan 2tan tan 2tan()1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-. 通关二、半角公式sin 2tan 2cos2ααα===sin2sin sin 1cos 222tan 2sin cos2sin cos 222ααααααααα-=== sin2cos sin sin 222tan 21cos cos 2cos cos 222ααααααααα===+通关三、三倍角公式3332tan 3tan sin33sin 4sin ,cos34cos 3cos ,tan33tan 1θθθθθθθθθθ-=-=-=- 通关四、三角函数化简的“三看”原则1．一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；2．二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；3．三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。
结论一、二倍角正弦sin 22sin cos ααα=变形1:1sin cos sin 22ααα= 变形22:(sin cos )1sin 2ααα±=±【例1】设1sin 43πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin 2θ=（）. A.79- B.19- C.19D.79【答案】A【解析】解法一1sin()43πθ+=1cos )3θθ+=，所以(sin cos )θθ+,两边平方得21sin 29θ+=,所以7sin 29θ=-.故选A. 解法二27sin 2cos 2cos22sin 1.2449πππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A 【变式】若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α=（）. A.725B.15C.15- D.725-【答案】D【解析】解法一：因为3cos()cos )45πααα-=+=，所以sin cos αα+=，两边平方得181sin 225α+=,所以7sin 225α=-.故选D. 解法二：237sin 2sin 2cos 221222525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选D . 结论二、二倍角余弦2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-变形1:升幂公式:221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎨-=⎩变形2:降幂公式:221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 变形3:平方差公式:cos2(cos sin )(cos sin )ααααα=+-【例2】若2sin 3x =-，则cos2x =__________. 【答案】19【解析】22281cos 212sin 121399x x ⎛⎫=-=-⨯-=-= ⎪⎝⎭.【变式】已知cos α=则cos(2)=πα-（）A. B.34-D.34【答案】D【解析】由题意，利用诱导公式求得223cos(2)=cos 2=12cos 124πααα--⨯=⎝⎭－＝－.故选D.结论三、二倍角正切22tan tan 21tan ααα=- 【例3】已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则tan 2α=（）.A.-C.【答案】A【解析】由题意11sin 3sin )22αααα=-⨯+，则tan α=故22tan tan 21tan ααα==--故选A. 【变式】已知tan 2α=,则22sin 22cos 2sin 4ααα-=_____________. 【答案】112【解析】22tan 4tan 21tan 3ααα==--,所以22sin 22cos 2sin 4ααα-22sin 22cos 22sin 2cos 2αααα-=2tan 222tan 2αα-=1621941223-==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭结论四、万能公式2222tan 1lan sin 2,cos 21lan 1tan θθθθθθ-==++ 【例4】若1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,则cos2α等于（）. A.35B.12C.13D.3- 【答案】A 【解析】已知1tan 1tan 431tan πααα-⎛⎫-=-= ⎪+⎝⎭，解得1tan 2α=， 22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++，将正切值代入得到35，故选A.【变式】若sin()2cos )4πααα++，则sin 2α=（） A.45- B.45C.35- D.35【答案】C【解析】因为sin()2cos )sin cos 4πααααα+=++），sin 3cos 0αα+＝，所以tan 3α=-,所以2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===-++.故选C . 结论五、半角公式1.半角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=cos 2α=，tan 2α= 2.半角正切的变形公式 ①2sin 2sin 1cos 22tan 2sin cos2sin cos 222αααααααα-=== ②2sin2sin cos sin 222tan 21cos cos 2cos 22αααααααα===+ 【例5】若3cos 5α=,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则tan 2α=_____________. 【答案】12【解析】由3cos ,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,得4sin 5α=, 231sin 2sin 1cos 152tan 42sin 2cos 2sin cos 2225αααααααα--=====. 【变式】已知α是第四象限的角，且1sin cos 5αα+＝，则tan 2α=（） A.13B.13- C.12D.12- 【答案】B 【解析】因为1sin cos 5αα+＝，α是第四象限的角，所以3sin 5α=-，4cos 5α＝，则2sin 2sin 1cos 122tan .2sin 3cos 2sin cos 222a a αααααα-====-故选B . 结论六、辅助角公式当0a >时,sin cos )a b αααϕ+=+，tan (0)b ab aφ=≠，角φ的终边过点(,)a b . 常见的几个公式：sin cos )4πααα±=±；sin 2sin()3πααα=±cos 2sin()6πααα±=±. 【例6】函数2cos2y x x +的最小正周期为（） A.2πB.23πC.πD.2π 【答案】C【解析】函数2cos22sin(2)6y x x x π++＝,因为2ω＝，所以T π=.故选C.【变式】函数2()sin cos f x x x x =在区间[]42ππ，上的最大值是（） A.132D.1 【答案】C【解析】1cos 2111()2cos 2sin(2)22262x f x x x x π-==-+=-+.由[]42x ππ∈，知52[,]636x πππ-∈，所以1sin(2)[1]62x π-∈，，所以函数()f x 的最大值是32.。
最新倍角公式和半角公式一资料
最新倍角公式和半角公式一资料倍角公式和半角公式是解析几何中常用的一组公式，用于求解两个角的倍角和半角。
它们在三角函数、平面几何和立体几何等应用领域都有广泛的应用。
下面将详细介绍最新的倍角公式和半角公式，并给出相关的例题和解析。
一、倍角公式倍角公式是指将一个角的角度加倍后的角的正弦、余弦、正切等三角函数与原来的角度的三角函数之间的关系。
1.正弦的倍角公式sin2θ = 2sinθcosθ通过这个公式，我们可以将一个角的正弦值表示为这个角的余弦值和正弦值的乘积的二倍。
例题1：已知角A的正弦值为1/2，求角2A的正弦值。
解析：根据倍角公式，sin2A = 2sinAcosA代入sinA = 1/2，得到sin2A = 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2所以角2A的正弦值为√3/22.余弦的倍角公式cos2θ = cos^2θ - sin^2θ通过这个公式，我们可以将一个角的余弦值表示为这个角的余弦值和正弦值的差的平方。
解析：根据倍角公式，cos2B = cos^2B - sin^2B代入cosB = 3/5，sinB = √1 - cos^2B = √1 - 9/25 = 4/5，得到cos2B = (3/5)^2 - (4/5)^2 = 9/25 - 16/25 = -7/25所以角2B的余弦值为-7/253.正切的倍角公式tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)通过这个公式，我们可以将一个角的正切值表示为这个角的正切值的两倍除以1减去这个角的正切值的平方。
例题3：已知角C的正切值为2，求角2C的正切值。
解析：根据倍角公式，tan2C = (2tanC)/(1 - tan^2C)代入tanC = 2，得到tan2C = (2 × 2)/(1 - 2^2) = -8/3所以角2C的正切值为-8/3二、半角公式半角公式是指将一个角的角度减半后的角的正弦、余弦、正切等三角函数与原来的角度的三角函数之间的关系。
三角函数倍角半角公式大全
三角函数倍角半角公式大全二倍角公式：sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]拓展资料：倍角公式：是三角函数中非常实用的一类公式。
就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。
在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。
半角公式：是利用某个角（如∠A）的正弦值、余弦值、正切值，及其他三角函数值，来求其半角的正弦值，余弦值，正切值，及其他三角函数值的公式。
三角函数差角公式又称三角函数的减法定理是几个角的和（差）的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系。
三角函数二倍角公式和半角公式
三角函数二倍角公式和半角公式一、二倍角公式1.正弦函数的二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ推导：设A = θ，B = θ，根据正弦函数的定义，有sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。
将A=B=θ代入上述公式，即得到sin2θ =sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ。
2.余弦函数的二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ = 2cos²θ - 1推导：同理可得cos2θ = cosθcosθ - sinθsinθ = cos²θ - sin²θ。
另一方面，根据单位圆上点(x, y)的性质，有x² + y² = 1，其中cosθ = x，sinθ = y。
代入该等式，得1 - sin²θ = cos²θ，即cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ。
同时，由正弦函数的二倍角公式sin2θ = 2sinθcosθ，我们可以得到sin²θ = (1 - cos2θ)/2，将其代入1 - 2sin²θ即可得到cos2θ = 2cos²θ - 13.正切函数的二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)推导：由正切函数的定义，tan2θ = (sin2θ)/(cos2θ) =(2sinθcosθ)/(cos²θ - sin²θ)。
代入sin²θ = (1 - cos2θ)/2和cos²θ = (1 + cos2θ)/2，消去cos²θ和sin²θ后即可得到tan2θ的公式。
二、半角公式1.正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]推导：根据单位圆上点(x, y)的性质，有x² + y² = 1，其中cosθ = x，sinθ = y。
三角函数的倍角公式与半角公式
三角函数的倍角公式与半角公式三角函数是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
在三角函数的研究中，倍角公式与半角公式是常见且重要的公式。
本文将详细介绍三角函数的倍角公式与半角公式，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、倍角公式倍角公式是指将一个角的度数加倍所得到的三角函数的关系式。
常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ正弦函数的倍角公式表明，某个角的两倍角的正弦等于原角的正弦乘以余弦。
2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ余弦函数的倍角公式是著名的二次三角函数公式，它表示某个角的两倍角的余弦等于该角的余弦的平方减去正弦的平方。
3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)正切函数的倍角公式可以用于计算某个角的两倍角的正切值。
倍角公式在解决三角函数相关问题时起到了重要的作用，简化了计算过程。
二、半角公式半角公式是指将一个角的度数减半所得到的三角函数的关系式。
与倍角公式类似，半角公式同样适用于正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/2]正弦函数的半角公式可以用于计算某个角的一半角的正弦值。
需要注意的是，计算结果可能有两个值，取决于具体角度的范围。
2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1+cosθ)/2]余弦函数的半角公式可以用于计算某个角的一半角的余弦值。
同样地，计算结果可能有两个值。
3. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1-cosθ) / (1+cosθ)]正切函数的半角公式可以用于计算某个角的一半角的正切值。
同样地，计算结果需要考虑正负两个值。
三、应用举例倍角公式与半角公式在解决实际问题时起到了重要的作用。
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第三章 第六节 倍角公式和半角公式一、选择题1．定义运算a b ＝a 2－ab －b 2，则sinπ6cosπ6＝ ( ) A ．－12＋34 B ．－12－34 C ．1＋34 D ．1－34解析：sinπ6cosπ6＝sin 2π6－sin π6cos π6－cos 2π6＝－12－34. 答案：B 2．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α的值是 ( ) A ．－145 B ．－75 C ．－2 D.45解析：∵点P 在y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，∴sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：C3．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)等于 ( )A.25B.75C.145 D ．－25解析：原式＝1＋2(cos2αcos π4＋sin2αsin π4)cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2×(cos α＋sin α)＝2×(35＋45)＝145. 答案：C4.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos(90°＋α)等于 ( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：原式＝(－sin2α)·cos 2α(1＋cos2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α. 答案：D 5．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2xsin2x 的最小值为 ( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3 解析：f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x sin x ＝4sin x cos x ，即tan x ＝±12时，取等号．∵0<x <π2，∴存在x 使tan x ＝12，这时f (x )min＝4. 答案：C6．设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°·cos38°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′，d ＝12(c os80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 ( )A ．a ＞b ＞d ＞cB ．b ＞a ＞d ＞cC ．d ＞a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞d ＞b 解析：a ＝sin(56°－45°)＝sin11°，b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′＝cos81°＝sin9°，d ＝12(2cos 240°－2sin 240°)＝cos80°＝sin10°，∴b ＞a ＞d ＞c . 答案：B 二、填空题7．(2010·黄冈模拟)已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 解析：cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1，且cos(π3＋α)＝sin(π6－α)＝13. 所以cos(2π3＋2α)＝－79.答案：－798．设f (x )＝1＋cos2x 2sin(π2－x )＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝± 3.答案：± 39．已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围是______．解析：法一：设x ＝cos α·sin β，则sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝12＋x ，sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β＝12－x .∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤12＋x ≤1－1≤12－x ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12－12≤x ≤32，∴－12≤x ≤12.法二：设x ＝cos α·sin β，sin α·cos β·cos α·sin β＝12x ，即sin2α·sin2β＝2x .由|sin2α·sin2β|≤1，得|2x |≤1，∴－12≤x ≤12.答案：[－12，12]三、解答题10．已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)． (1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425.又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，sin α＝15(α∈(0，π4))．∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×(－2425)－55×725＝－11525. 11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，23π]上的取值范围．解：(1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12. ∵0≤x ≤23π，∴－π6≤2x －π6≤76π，∴－12≤sin(2x－π6)≤1，∴0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]． 12．已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(12，－12)．(1)若a ·b ＝22，a ·c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值．解：(1)∵a ·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝22， ①a ·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14. ② 又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，得β＝5π12. 从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12. ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， ∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α>0，∴tan α＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.。