倍角公式和半角公式一

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最全的三角函数公式

最全的三角函数公式三角函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于几何、物理和工程等领域。

在本文中，我将为您介绍最全的三角函数公式，包括基本公式、倒数公式、和角公式、和差公式、倍角公式、半角公式、和积公式、和商公式以及其他一些特殊的三角函数公式。

一、基本公式1. 正弦公式：sinθ = 对边/斜边2. 余弦公式：cosθ = 邻边/斜边3. 正切公式：tanθ = 对边/邻边二、倒数公式1. 余切公式：cotθ = 邻边/对边2. cosec公式：cscθ = 1/sinθ3. sec公式：secθ = 1/cosθ三、和角公式1. 正弦和：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ2. 余弦和：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ3. 正切和：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)四、差角公式1. 正弦差：sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ2. 余弦差：cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ3. 正切差：tan(α-β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ)五、倍角公式1. 正弦倍角：sin2θ = 2sinθcosθ2. 余弦倍角：cos2θ = cos²θ - sin²θ3. 正切倍角：tan2θ = 2tanθ/(1 - tan²θ)六、半角公式1. 正弦半角：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]2. 余弦半角：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]3. 正切半角：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] （其中分母不等于0）七、和积公式1. 正弦和积：sin(α+β) = 2sin(α/2)cos(β/2)2. 余弦和积：cos(α+β) = 2cos(α/2)cos(β/2)3. 正切和积：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)八、和商公式1. 正弦和商：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ/cosαcosβ - sinαsinβ2. 余弦和商：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ/cosαcosβ + sinαsinβ3. 正切和商：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)九、其他特殊公式1. 倍角余弦1：cos2θ = 1 - 2sin²θ2. 倍角余弦2：cos²θ = （1 + cos2θ）/23. 倍角正弦：sin2θ = 2sinθcosθ4. 差角正切：tan(α-β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ)这些三角函数公式是三角学中最基本且最重要的公式。

倍角公式与半角公式复习

倍角公式与半角公式复习倍角公式和半角公式是三角函数中的重要公式之一，可以用来求解角的倍数关系和角的半数关系。

下面将详细介绍倍角公式和半角公式，并给出一些例题进行练习。

一、倍角公式倍角公式是用来计算角的倍数关系的公式，根据三角函数的性质，可以推导出如下三个倍角公式：1.正弦倍角公式sin(2θ) = 2sinθcosθ2.余弦倍角公式cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ3.正切倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)二、半角公式半角公式是用来计算角的半数关系的公式，根据三角函数的性质，可以推导出如下三个半角公式：1.正弦半角公式sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]，取决于θ的正负性。

2.余弦半角公式cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]，取决于θ的正负性。

3.正切半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]，取决于θ的正负性。

以上公式都可以通过使用三角函数的定义，以及用倍角公式和半角公式递归求解推导得到。

接下来，我们通过一些例题进行练习。

例题1：已知sinθ = 3/5，求cos2θ。

解：根据已知，我们可以得到cosθ = √(1 - sin²θ) = √(1 -9/25) = 4/5利用余弦倍角公式，可以计算cos2θ = cos²θ - sin²θ = (4/5)² - (3/5)² = 16/25 - 9/25 = 7/25例题2：已知sin(θ/2) = 2/3，且θ ∈ [0, π/2]，求sinθ。

解：根据已知，我们可以得到cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] =±√[(1 + (√(1 - sin²θ)))/2] = ±√[(1 + (√(1 - 4/9)))/2] =±√(5/9)。

倍角公式与半角公式

7.已知函数f ( x) 2sin x( 3 cos x sin x) 1, 是推断是否存在常数（0，），使函数 2 f ( x )为偶函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

4 4
5.已知函数f ( x) 2 cos x(sin x cos x). 5 (1)求f ( )的值； 4 (2)求函数f ( x)的最小正周期及单调增区间。 x x 1 2 x 6.求函数f ( x) cos sin cos 2 2 2 2 (1)求f ( x)的最小正周期和值域。 3 2 (2)若f ( x) , 求 sin 2的值； 10
2
cos

2
2
Hale Waihona Puke cos23
cos

2
n 1
2.证明：（ 1） sin 3 3sin 4sin ;
3
(2) cos 3 4 cos 3cos
3
3、化简： tan(45 ) sin cos （1） ; 2 2 2 1 tan (45 ) cos sin
和差化积： sin sin 2sin

2 2 sin sin 2 cos sin ; 2 2 cos cos 2 cos cos ; 2 2 cos cos 2sin sin ; 2 2
cos

;
1、计算 (1)cos72 cos 36 ; 1 3 (2) ; sin 50 cos 50 tan 22.5 (3) 2 1 tan 22.5 (4) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 (5) cos cos

倍角公式和半角公式-中档难度-讲义

倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异，比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用，例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅m ； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2017•南充模拟）函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解答】解：y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），即函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．2．（2017春•韶关期末）设α是第二象限角，且，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴sin2α=1﹣cos2α=．又∵α是第二象限角，得sinα＞0，∴sinα=，由此可得tanα=﹣，因此tan2α==．故选：D．3．（2016春•天台县月考）若f（cosx）=cos2x，则f（1）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1，令cosx=1，得到f（1）=2﹣1=1；故选：A．4．（2016•诸暨市模拟）已知θ为钝角，且sinθ+cosθ=，则tan2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：法一：∵sinθ+cosθ=①，θ为钝角，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：2sinθcosθ=﹣，∵由θ∈（，π），得到sinθ﹣cosθ＞0，可得：sinθ﹣cosθ===，②∴由①+②可得：sinθ=，由①﹣②可得：cosθ=﹣，∴tanθ==﹣，∴tan2θ==．法二：∵θ为钝角，可得：sinθ＞0，cosθ＜0，又sinθ+cosθ=＞0，可得：θ∈（，），可得：2θ∈（π，），可得：tan2θ＞0，再由sinθ+cosθ=，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：sin2θ=﹣，∴tan2θ=．故选：B．5．（2015秋•潮州期末）已知，则=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵，∴=．故选：C．6．（2016•湖北模拟）若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan等于（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵α∈（0，π），∴∈（0，），设tan=x，x＞0，∵sinα==，cosα==，∴sinα+2cosα=+2•==2，即x+1﹣x2=1+x2，即x（2x﹣1）=0，解得x=故选：C．7．（2013秋•吉安期末）已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ﹣24=0，则sin的值为（）A． B． C．D．【解答】解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，则2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z，则kπ＜＜kπ+，k∈Z，当k是偶数，设k=2n，则2nπ＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第一象限，当k是奇数，设k=2n+1，则2nπ+π＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第三象限，则为第一或第三象限，∵25sin2θ+sinθ﹣24=0，∴sinθ=﹣1（舍去）或，∴cos，∴sin==±=，故选：D．8．（2012春•锦州期末）已知sinα=，＜α＜π，则tan的值为（）A． B．﹣2 C．2 D．【解答】解：∵已知sinα=，＜α＜π，∴＜＜，且cosα=﹣．再由二倍角公式可得2﹣1=﹣，求得cos=，∴sin=，则tan==2，故选：C．二．填空题（共8小题）9．（2018春•杨浦区校级月考）已知cos（α+）=，≤α≤，则cos（2α+）=﹣．【解答】解：∵≤α≤，cos（α+）=＞0，∴＜α+≤，∴sin（α+）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）﹣cos（α+）=﹣，cosα=﹣=﹣，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，sin2α=2sinαcosα=，则cos（2α+）=cos2α﹣sin2α=﹣．故答案为：﹣10．（2018春•小店区校级期中）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，，则f（x）的单调递增区间为（或）．【解答】解：f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，∵，可得：2x+∈（，），∴当2x+∈（，]或∈（，）时，即x∈或时，f（x）单调递增．∴f（x）的单调递增区间为（或）．故答案为：（或）．11．（2018春•福田区校级期中）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=﹣．【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=﹣×=﹣．故答案为：﹣．12．（2018春•海州区校级月考）求cos cos cos cos cos=．【解答】解：cos cos cos cos cos=﹣cos cos cos cos cos== ===，故答案为：．13．（2016春•云南校级月考）已知sinα=，且α为锐角，则cos=．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴，∴1＞，∴=，=1，解得cos=．故答案为：．14．（2016春•陕县校级月考）已知cosα=﹣，α∈（π，），则sin=．【解答】解：∵α∈（π，），∴∈（，），∴sin＞0．∵cosα=1﹣2sin2=﹣，∴sin=．故答案是：．15．（2016春•浦东新区校级期中）已知，α在第二象限，则=3．【解答】解：∵已知，α在第二象限，∴cosα=﹣=﹣，∴===3，故答案为：3．16．（2014•新余二模）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵tanα+=，∴=，∴，∴sin2α=，∵α∈（，），∴cos2α=﹣，∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2018春•沙市区校级期中）已知tanα，tanβ是方程x2+p（x+1）+1=0的两根，α+β∈（0，π）（1）求α+β；（2）若，求sinθ．【解答】解：（1）由题可得，tanα+tanβ=﹣p，tanα•tanβ=p+1，∴．因为α+β∈（0，π），所以．（2）由题意可得，，得，∴sinθ=sin[（）+]=sin（）cos+cos（θ﹣）sin=•+•=．18．（2018•临川区校级模拟）已知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．【解答】解：（1）f（x）=cos2（x+）=，∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，∴2x0+=kπ（k∈Z），∴2x0=kπ﹣（k∈Z），∴g（2x0）=1+sin4x0=1+sin（﹣）=．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=+1+sin2x=+（cos2x+sin2x）=+sin（2x+），∴x∈[0，]⇒2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[]，∴h（x）=+sin（2x+）∈[，2]．19．（2017秋•湛江月考）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x，∴f（）=sin+cos=1+0=1．（Ⅱ）∵f（）=sinα+cosα=，∴1+sin2α=，sin2α=﹣，∴cos2α=±．∵α∈（0，π），sin2α=﹣，∴2α∈（π，π），∴cos2α＜0，故cos2α=﹣．20．（2017春•如东县校级期中）由倍角公式cos2x=2cos2x﹣1，可知cos2x可以表示为仅含cosx的二次多项式．（1）类比cos2x公式的推导方法，试用仅含有cosx的多项式表示cos3x；（2）已知3×18°=90°﹣2×18°，试结合第（1）问的结论，求出sin18°的值．【解答】解：（1）cos2x═cos（2x+x）=cos2xcosx﹣sin2xsinx=（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx=2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx=4cos3x﹣3cosx，（2）因为cos（3×18°）=cos（90°﹣2×18°），所以4cos318°﹣3cos18°=2sin18°cos18°，所以4cos218°﹣3=2sin18°，所以4sin218°+2sin18°﹣1=0，解得sin18°=（舍去）．21．（2015•安徽模拟）已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，﹣sinx），且f （x）=2•+2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并求出此时的x的取值；（Ⅱ）函数f（x）图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最低点、与x轴的第二个交点分别记为P，Q，R，求•的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2•+2=2sinxcosx，﹣2sinx•sinx+2=sin2x+2•=2sin（2x+）+1，故当2x+=2kπ+，k∈z时，即x=kπ+（k∈z）时，f（x）取得最大值为3．（Ⅱ）由f（0）=2，知P（0，2）．由2x+=2kπ+，得x=kπ+（k∈z），此时f（x）=﹣1，则Q（，﹣1）．而由2x+=2kπ﹣，得x=kπ﹣（k∈z），故R（，0），从而=（﹣，3），=（，1），因此=﹣+3×1=3﹣．22．（2014•湖北校级二模）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或23．（2010春•闸北区期末）已知，请用m分别表示tanθ、tan2θ、．．【解答】解：由题意，…（3分）…（3分）…（3分）用万能公式求对同样给分．24．（2006•江西）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．【解答】解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，所以cosA=，则=（2），则bc=3．将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA中得b4﹣6b2+9=0解得b=。

高中数学三角函数公式

高中数学三角函数公式高中数学中的三角函数公式包括基本三角函数的定义和性质，以及一些常见的三角函数的和差角公式、倍角公式、半角公式等。

本文将详细介绍这些公式。

一、基本三角函数的定义和性质:1. 正弦函数(sine function): 在一个任意角A对应的单位圆上，从原点出发，到达终点的弦与x轴正半轴之间的角的正弦称为角A的正弦。

用sin(A)表示。

2. 余弦函数(cosine function): 在一个任意角A对应的单位圆上，从原点出发，到达终点的弦与x轴正半轴之间的角的余弦称为角A的余弦。

用cos(A)表示。

3. 正切函数(tangent function): 在一个任意角A对应的单位圆上，从原点出发，到达终点的弦与x轴正半轴之间的角的正切称为角A的正切。

用tan(A)表示。

这些基本三角函数在不同象限的定义和性质如下：- 在第一象限，sin(A)>0, cos(A)>0, tan(A)>0。

- 在第二象限，sin(A)>0, cos(A)<0, tan(A)>0。

- 在第三象限，sin(A)<0, cos(A)<0, tan(A)>0。

- 在第四象限，sin(A)<0, cos(A)>0, tan(A)>0。

二、三角函数的和差角公式:1.正弦函数的和差角公式:sin(A±B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)2.余弦函数的和差角公式:cos(A±B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)3.正切函数的和差角公式:tan(A±B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan(B))三、三角函数的倍角公式:1.正弦函数的倍角公式:sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2.余弦函数的倍角公式:cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)3.正切函数的倍角公式:tan(2A) = (2tan(A)) / (1 - tan^2(A))四、三角函数的半角公式:1.正弦函数的半角公式:sin(A/2) = ±√((1 - cos(A))/2)2.余弦函数的半角公式:cos(A/2) = ±√((1 + cos(A))/2)3.正切函数的半角公式:tan(A/2) = ±√((1 - cos(A)) / (1 + cos(A)))其中正负号取决于角A的象限。

两角和与差倍角半角公式

两角和与差倍角半角公式一、两角和与差公式：两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。

具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。

具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。

二、倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。

具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。

三、半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。

具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)3. 正切半角：tan(A/2) = ±√((1 - cos A) / (1 + cos A))半角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。

倍角公式和半角公式1

倍角公式和半角公式1倍角公式和半角公式1倍角公式和半角公式是代数中常用的一组公式，用于求解角度的相关问题。

倍角公式用于在已知角度的情况下求解角度的两倍大小，而半角公式则用于在已知角度的情况下求解角度的一半大小。

这两个公式在几何学、三角学以及物理学中都有广泛的应用。

倍角公式是指将一个角度的两倍写成其他三个角度的函数形式。

对于任意角度θ，倍角公式可以用以下两种形式来表示：1.正弦倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)2.余弦倍角公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)在实际应用中，正弦倍角公式和余弦倍角公式通常是成对使用的。

其中，正弦倍角公式是通过将2θ拆解成θ+θ并利用正弦函数的和角公式推导而得，而余弦倍角公式则是通过将2θ拆解成θ+θ并利用余弦函数的和角公式推导而得。

半角公式是指将一个角度的一半写成其他两个角度的函数形式。

对于任意角度θ，半角公式可以用以下两种形式来表示：sin(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ))/2]cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ))/2]半角公式同样可以成对使用，分别应用于正弦函数和余弦函数。

这两个公式可以通过将θ拆解成2(θ/2)并利用正弦函数和余弦函数的倍角公式推导而得。

举例来说，假设我们需要求解sin(150°) 的值。

根据正弦半角公式，sin(150°) 可以写成sin(75°/2) 的形式。

再根据正弦半角公式，sin(75°/2) 可以表示为±√[(1 - cos(75°))/2]。

我们可以使用三角函数表或计算器来查找cos(75°) 的值，然后代入公式计算sin(75°/2) 的值。

再举一个例子，假设我们需要证明sin(3θ) = 3sin(θ) -4sin³(θ) 的恒等式。

三角函数的倍角公式与半角公式

三角函数的倍角公式与半角公式在学习三角函数的过程中，倍角公式和半角公式是非常重要的推导与应用。

它们能够使我们简化复杂的三角函数运算，并且在解决问题时提供更加灵活和便捷的方法。

本文将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并探讨它们的应用。

一、三角函数的倍角公式1. 正弦函数的倍角公式对于一个角θ，正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的正弦函数的两倍时，可以通过将这个角的正弦函数与余弦函数相乘得到。

这在解决一些三角函数运算较为复杂的问题时非常有用。

2. 余弦函数的倍角公式同样地，余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的余弦函数的两倍时，可以通过将这个角的余弦函数的平方减去正弦函数的平方得到。

这个公式可以在求解一些三角函数的平方和差问题时提供便捷的方法。

3. 正切函数的倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1-tan²θ)这个公式给出了正切函数的两倍与原角度的正切函数之间的关系。

在一些复杂的三角函数问题中，这个公式能够帮助我们简化计算，得出更加精确的结果。

二、三角函数的半角公式1. 正弦函数的半角公式对于一个角θ，正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2]这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的半角的正弦函数时，可以通过将这个角的余弦函数与1的差再除以2开方得到。

这个公式在一些角的半角问题的解决中非常有用。

2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示为：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ)/2]这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的半角的余弦函数时，可以通过将这个角的余弦函数与1的和再除以2开方得到。

在一些复杂的三角函数问题中，这个公式能够提供简化计算的方法。

3. 正切函数的半角公式tan(θ/2) = sinθ/(1 + cosθ)这个公式给出了正切函数的半角与原角度的正弦函数和余弦函数之间的关系。

倍角公式和半角公式一

倍角公式和半角公式一目标认知：Ej学习目标：in1.能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式；2.能运用倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式);3.体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用.学习重点：Q倍角公式及其变形.学习难点：s倍半角公式变形及应用.内容解析：Ei1 .倍角公式口在和角公式中令凸=Q，即得二倍角公式:sm3Q；= ^EincK 匚os a ；F r *"■acos2□:= CCS a- sin a = 2cos G-1 = 1-2sin a ；亠r 2 tan fttan 2Q:=--- 2——1 - tan a注意：(1)二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.a 0；+ P e + Q(2) “倍角”的意义是相对的，不局限于2◎与^的形式.例如□■与3,2 与4等，也为引出半角作准备.二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式.二倍角的正切公式成立的条件: U丰此兀+ 理— + —,归E Z2 2 A熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角一降次，降角一升次)(6)3 COEor =公式的逆用及变形：1 +cos 2a . 1 1 - c<js2a----------- ,£in Of = --------------2.半角公式E1由倍角公式变形得到:曲吧=上更竺2 l-HCOSd ：；前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式:a其中正负号由2的象限确定.不必考虑正负.3.积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元）S3（1）积化和差：sin 戸=—凶n （臂+ Q ） +徂口（说一用］.COE sin 戸二一Win （臂十戸）- COE cos 戸=—+ 戸）+UQ 占（◎一戸打. sin iXsin # = — —+ Q-cos （门;一0）］.2 （2）和差化积:.C r .时 0 口一 0sm ci' + sin p=2ELn ----- c os ----- .2 2 .c r 6r+0 . asin sin Q = £ COE ------- s in ----- .2 2 . 0^+ 8 a- 6COE O^ + COE Q = 2 COS --- cos ---- .L 2 2 - r . a+声.a-fiCOE ①一匚OK 0 = —2 fin Ein ----L 2 2本周典型例题：闺沁■X = 2.otE 〔卫加1 .已知口 2 ，求 sin2a , cos2a , tan2a 的值.庄3飢£ ”中図鼻，盟£ = ±旗心厘 2^2； 22 y 1+ COSO ：；借助倍角公式还可得到另一个半角公式:tan —1 1 + CCSsin a _ 1- cosct左口 H ，好处在于可以sin a = —,CiE解析：•••口2「。

三角函数的倍角与半角的公式与应用

三角函数的倍角与半角的公式与应用三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域中广泛应用。

本文将介绍三角函数的倍角与半角的公式以及它们的应用。

一、三角函数的倍角公式在三角函数中，有两个重要的倍角公式，即正弦函数的倍角公式和余弦函数的倍角公式。

1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表明，正弦函数的两倍角可以表示为两个一角的正弦函数和余弦函数的乘积。

这个公式在解决一些三角函数的问题时非常有用。

2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式表明，余弦函数的两倍角可以表示为一角的余弦函数和正弦函数的平方差。

同样地，这个公式在解决一些三角函数的问题时非常有用。

二、三角函数的半角公式与倍角公式类似，三角函数还有半角公式。

半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数和一个常数的形式。

1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2]根据这个公式，我们可以通过已知角的余弦函数值来求解未知角的正弦函数值，进而解决相关的数学问题。

2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示为：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ)/2]这个公式与正弦函数的半角公式类似，可以帮助我们求解与角的余弦函数有关的问题。

三、三角函数公式的应用三角函数的倍角与半角公式在数学问题的求解中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 角的求解通过倍角公式和半角公式，我们可以解决与角度相关的问题。

例如，已知一个角的正弦函数值，我们可以利用正弦函数的半角公式计算出该角的半角的正弦函数值。

这样我们就能够准确地求解出未知角的值。

2. 三角函数的性质推导倍角和半角公式也可以用于三角函数性质的推导。

通过这些公式，我们可以进一步研究三角函数之间的关系，从而深入理解三角函数的性质和特点。

倍角公式和半角公式-简单难度-讲义

倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异，比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用，例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅m ； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2018•绵阳模拟）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C． D．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D．2．（2018•海淀区校级三模）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=﹣2x上，则cos2α=（）A．﹣ B． C．D．﹣【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=﹣2x上，∴tanα=﹣2，则cos2α====﹣，故选：A．3．（2018•中山市一模）函数y=2sin2（x+）﹣1是（）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数【解答】解：函数y=2sin2（x+）﹣1，化简可得y=﹣cos（2x+3π）=cos2x．∴函数y是最小正周期T==π的偶函数．故选：A．4．（2018春•福州期末）化简的结果为（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．1【解答】解：==﹣=﹣1故选：C．5．（2017春•江西月考）已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【解答】解：∵3sinα+4cosα=0，∴3tanα+4=0，可得：tanα=﹣=，整理可得：2tan2﹣3tan﹣2=0，∴解得：tan=2，或﹣，∵α是第二象限角，∴kπ+＜＜kπ+，k∈Z，∴tan＞0，故tan=2．故选：A．6．（2017春•简阳市期末）已知cos α=，α∈（），则cos 等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵已知cos α=，α∈（），∴∈（，π），则cos=﹣=﹣=﹣，故选：B．7．（2017春•西华县校级期中）如果|cos θ|=，＜θ＜4π，那么cos的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：|cos θ|=，＜θ＜4π，∴cosθ=，θ∈（，），∈（，），∴cos＞0，由cosθ=2﹣1=，得cos=，故选：C．8．（2016秋•怀仁县校级期中）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C． D．【解答】解：∵cos2x=a，∴1﹣2sin2x=a，可得sin2x=，又∵，可得sinx＜0，∴sinx=﹣．故选：B．二．填空题（共8小题）9．（2018春•浦东新区期末）若sinθ=﹣，且θ∈（﹣，0），则sin2θ=﹣．【解答】解：∵sinθ=﹣，且θ∈（﹣，0），∴=．∴sin2θ=2sinθcosθ==﹣．故答案为：．10．（2018春•南京期末）已知α为锐角，且，则sin2α的值为．【解答】解：∵α锐角，且，∴sin=，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故答案为：．11．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°=．【解答】解：sin75°•cos75°==故答案为：12．（2018•道里区校级三模）已知tana=﹣2，则tan2a=．【解答】解：∵tana=﹣2，∴tan2a===，故答案为：．13．（2017•普陀区二模）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．14．（2017春•邗江区校级期中）已知，则tanα的值为﹣．【解答】解：tanα===﹣，故答案为﹣．15．（2016秋•浦东新区校级期中）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为﹣3．【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣，∴cosθ=﹣，∴tan===﹣3．故答案是：﹣3．16．（2015•闵行区二模）若cosα=，且α∈（0，π），则tan=．【解答】解：∵cosα=，且α∈（0，π），∴sinα=，则tan===，故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2014春•瓜州县校级期中）（1）化简•，（2）一个扇形的面积为1，周长为4，则中心角的弧度数为？【解答】解：（1）•==2sinx；（2）设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，则，解得：α=2．18．（2013春•江西校级期末）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．【解答】解：（I）因为f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…（6分）又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…（7分）所以，∴…（9分）（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …（11分）解得c=﹣3（舍）或c=8 …（13分）所以c=819．（2013•亭湖区校级二模）已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量，且．（1）求角A；（2）若，求的值．【解答】解：（1）∵∴，即，，∴，∵0＜A＜π∴∴∴．（2）由题知．20．（2013秋•缙云县校级期中）已知：sinα=，α∈（，π），求sin2α和cos2α的值．【解答】解：sinα=，α∈（，π），故有cosα=﹣=﹣，故sin2α=2sinαcosα=﹣；cos2α=1﹣2sin2α=．21．求证：（1）=；（2）tan=．【解答】证明：（1）∵等式的右边==== ===左边，∴等式=成立．（2）等式的右边== ==tan=左边，∴等式tan=成立．22．已知cosβ=﹣，（0＜β＜π），求：sin，cos，tan的值．【解答】解：∵0＜β＜π，∴∈（0，），sin，cos，tan的值都是正值．∵cosβ=﹣=2cos2﹣1，（0＜β＜π），∴cos=；∴tan===．23．已知sinα=，且α=（，π），求cos2α，sin2α及sin的值．【解答】解：∵sinα=，且α=（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，sin2α=2sinαcosα=﹣，由α∈（，π）知，∈（，），∴sin===．24．已知cosα=，α的终边在第四象限，求sin，cos，tan的值．【解答】解：α的终边在第四象限，且cosα=，∴2kπ﹣＜α＜2kπ﹣，k∈Z，即kπ﹣＜＜kπ﹣，k∈Z，∴为第二或第四象限角．由半角公式可知：sin2=（1﹣cosα）=×（1﹣）=，cos2=（1+cosα）=×（1+）=，当为第二象限角，∴sin＞0，cos＜0，tan＜0，∴sin==，cos=﹣=﹣，tan==﹣；当为第四象限角，∴sin＜0，cos＞0，tan＜0，∴sin=﹣=﹣，cos==，tan==﹣．。

三角函数的倍角公式与半角公式应用

三角函数的倍角公式与半角公式应用三角函数是数学中重要的一部分，广泛应用于科学、工程和金融等领域。

在三角函数的应用中，倍角公式和半角公式是常见且重要的部分。

它们能够帮助我们简化复杂的计算，提高计算的效率和准确性。

本文将介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并应用于实际问题中。

一、三角函数的倍角公式倍角公式是指将一个角的两倍用另外一个角的三角函数表达出来的公式。

对于正弦函数、余弦函数和正切函数而言，它们的倍角公式如下：1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θ3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)倍角公式的应用十分广泛。

例如，在几何图形的计算中，我们可以利用倍角公式简化角的计算，从而简化问题的解决过程。

此外，在信号处理和电路分析中，倍角公式也能够帮助我们分析和处理复杂的信号。

二、三角函数的半角公式半角公式是指将一个角的一半用另外一个角的三角函数表达出来的公式。

与倍角公式类似，正弦函数、余弦函数和正切函数都有对应的半角公式：1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]3. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]在实际问题中，半角公式也经常被使用。

例如，在概率论和统计学中，我们可以利用半角公式计算概率密度函数和累积分布函数，从而分析和解决与随机变量相关的问题。

三、三角函数公式的应用举例1. 应用倍角公式的例子：假设有一个直角三角形，已知一个角度θ的正弦函数值为0.6，我们想要计算该角的余弦函数值。

利用倍角公式，我们可以将该问题简化为计算2θ的正弦函数值和余弦函数值。

考研数学必备公式之倍角公式与半角公式

考研数学必备公式之倍角公式与半角公式在高等数学中，倍角公式和半角公式是非常常用的一类公式，它们可以用于简化复杂的数学运算，解决各种问题。

首先，我们来看倍角公式。

倍角公式是将角度的两倍表示为原来角度的函数形式。

下面是常见的倍角公式：1.正弦倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)2.余弦倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = 2cos^2(θ) - 1 = 1 -2sin^2(θ)3.正切倍角公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan^2(θ))倍角公式可以在解题中应用广泛，比如用来简化三角函数的运算、求解等式、证明等等。

接下来，我们来看半角公式。

半角公式是将角度的一半表示为原来角度的函数形式。

下面是常见的半角公式：1.正弦半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2)2.余弦半角公式：cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2)3.正切半角公式：tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/(1 + cos(θ)))半角公式可以在解题中应用广泛，特别是在三角函数的复合函数、积分、微分等问题中常常用到。

举个例子来说明倍角公式和半角公式的应用。

例题：已知cos(θ) = 1/3，求sin(2θ)的值。

解析：根据倍角公式cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = 1 -2sin^2(θ)，我们可以先求出sin^2(θ)，再代入公式求解。

cos(θ) = 1/3，那么sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ) = 1 - (1/3)^2 = 8/9代入cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ)，我们可以求得c os(2θ) = 1 - 2 * 8/9 = -5/9根据sin^2(2θ) + cos^2(2θ) = 1，我们可以解得sin^2(2θ) = 1 - (cos(2θ))^2 = 1 - (-5/9)^2 = 24/81所以sin(2θ) = ±√(24/81)通过倍角公式的运用，我们可以简化原来的题目，求解sin(2θ)的值。

三角函数有关公式

三角函数有关公式三角函数是数学中重要的一类函数，以正弦、余弦、正切、余切等为主要代表。

在解决三角函数方程、计算三角函数值、分析波动现象等领域都起到了重要的作用。

本文将介绍三角函数的一些重要公式，包括基本关系、和差角公式、倍角公式、半角公式、和降幂公式等，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。

一、基本关系在直角三角形中，正弦、余弦、正切的定义如下：正弦：sinθ = 对边 / 斜边余弦：cosθ = 邻边 / 斜边正切：tanθ = 对边 / 邻边根据勾股定理可得到以下重要关系：sin²θ + cos²θ = 11 + tan²θ = sec²θ（sec表示 secant）1 + cot²θ = cosec²θ（cosec表示cosecant）二、和差角公式1、sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB2、cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB3、tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / （1 ∓ tanA·tanB）三、倍角公式1、sin2θ = 2sinθcosθ2、cos2θ = cos²θ - sin²θ= 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ3、tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)四、半角公式1、sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)2、cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)3、tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))其中正负号的选择根据θ的范围确定。

五、和降幂公式1、sin³θ = 3sinθ - 4sin³θ2、cos³θ = 4cos³θ - 3cosθ3、tan²θ = sec²θ - 14、cot²θ = cosec²θ - 15、cos²θ =（1 + cos2θ）/ 26、2sinθcosθ = sin2θ7、1 + tan²θ = sec²θ8、1 + cot²θ = cosec²θ以上公式在解决三角函数方程、计算三角函数值时起到了重要的作用。

倍角公式和半角公式一

3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元）（1）积化和差：（2）和差化积：本周典型例题：1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴∴sin2a = 2sinacosa =cos2a = tan2a =2．已知，求．解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论．=．3．求值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°；解析：（1）=；（2）＝；（3）＝；（4）＝；（5）cos20°cos40°cos80° =注意：关注（5）的结构特点．4．化简：（1）（2）（3）（4）解析：（1）（2）（3）（4）5．已知：，求．解析：先关注角——已知中的两个角互为余角．则有：，．6．证明解析：左==右，另解：右=左．7．已知函数．（1）求的周期与单调区间；（2）设，，求的值．解析：倍角公式与辅助角公式相结合．（1）整理化简所以周期为，增区间，减区间（2），进而所以8．已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数在区间上的值域．解析：（1）由函数图象的对称轴方程为（2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，取最大值 1又，当时，取最小值所以函数在区间上的值域为9．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．解析：（Ⅰ）．的最小正周期．当时，取得最小值；当时，取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．．．函数是偶函数．参考答案：DCB 20088．解：——降次∵∴。

三角函数中的倍角、半角公式及和差化积公式的应用

三角函数中的倍角、半角公式及和差化积公式的应用三角函数是数学中的一个非常重要的分支，它将三角学和代数学有机地结合在一起。

在数学学习中，我们学习了很多三角函数的基本概念和运算，其中倍角、半角公式以及和差化积公式是三角函数中最为基础和重要的一部分。

一、倍角公式我们先了解一下什么是倍角公式。

倍角公式是指一个角的正弦、余弦、正切、余切的 2 倍可以表示成该角的某些值的表达式。

当然，对于不同的三角函数，其倍角公式的表达式也不同。

1. 正弦函数的倍角公式sin 2θ = 2sinθcosθ这个公式是比较基础的，也是最常用的一个倍角公式，通过这个公式，我们可以把一个正弦函数的 2 倍表示为正弦和余弦函数的乘积。

例如，如果我们要求 sin 120°，可以将其转化为 sin 2×60°，再使用倍角公式，得到sin 120° = 2sin60°cos60° = √3。

2. 余弦函数的倍角公式cos 2θ = cos2θ - sin2θ当我们需要求一个余弦函数的 2 倍时，可以使用上述公式，将余弦函数的平方和正弦函数的平方相减，从而得到余弦函数的 2 倍。

3. 正切函数的倍角公式tan 2θ = 2tanθ / (1 - tan2θ)这个公式比较复杂，但是还是很有用的，可以用来求正切函数的 2 倍。

二、半角公式半角公式指的是一个角的正弦、余弦、正切、余切的一半可以表示成该角的某些值的表达式。

同样，对于不同的三角函数，其半角公式的表达式也不同。

1. 正弦函数的半角公式sinθ/2 = ±√(1 - cosθ) / 2需要注意的是，正负号取决于原来的角度的象限。

使用半角公式可以将原来的角度减半，从而求出新的角度的三角函数值。

2. 余弦函数的半角公式cosθ/2 = ±√(1 + cosθ) / 2同样，需要注意的是正负号的问题。

通过半角公式，我们可以将原来的角度减半，从而求出新的角度的三角函数值。

三角函数的倍角与半角公式推导

三角函数的倍角与半角公式推导三角函数在数学中有着重要的地位和应用，倍角与半角公式是三角函数中的基本关系之一。

在本文中，我们将推导三角函数的倍角与半角公式，深入了解它们的性质和应用。

一、正弦函数的倍角与半角公式推导我们首先推导正弦函数的倍角与半角公式。

假设角A的正弦值为sin(A)，角B的正弦值为sin(B)。

1. 倍角公式考虑角2A，根据三角函数定义可以得到：sin(2A) = sin(A + A)= sin(A)cos(A) + cos(A)sin(A)接下来，我们利用三角函数的和差化积公式对上式进行变换，得到：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)因此，我们得到了正弦函数的倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2. 半角公式类似地，我们考虑角A/2，根据三角函数定义可以得到：sin(A/2) = sin(A/2)接下来，我们利用三角函数的和差化积公式对上式进行变换，得到：sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A))/2]因此，我们得到了正弦函数的半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A))/2]在实际应用中，我们根据需要确定正负号的取值。

二、余弦函数的倍角与半角公式推导接下来，我们推导余弦函数的倍角与半角公式。

假设角A的余弦值为cos(A)，角B的余弦值为cos(B)。

1. 倍角公式考虑角2A，根据三角函数定义可以得到：cos(2A) = cos(A + A)= cos^2(A) - sin^2(A)接下来，我们利用三角函数的平方和差公式对上式进行变换，得到：cos(2A) = 2cos^2(A) - 1或者cos(2A) = 1 - 2sin^2(A)因此，我们得到了余弦函数的倍角公式：cos(2A) = 2cos^2(A) - 1或者cos(2A) = 1 - 2sin^2(A)2. 半角公式类似地，我们考虑角A/2，根据三角函数定义可以得到：cos(A/2) = ±√[(1 + cos(A))/2]因此，我们得到了余弦函数的半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cos(A))/2]在实际应用中，我们根据需要确定正负号的取值。

三角函数的倍角和半角公式

三角函数的倍角和半角公式三角函数中的倍角和半角公式，那可是数学世界里相当有趣又实用的家伙们！咱们先来说说倍角公式。

sin2α = 2sinαcosα，cos2α = cos²α - sin²α =2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α，tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)。

这些公式看起来有点复杂，但只要咱们好好理解，就会发现它们其实就像咱们熟悉的好朋友。

记得我以前教过一个学生小明，他一开始对这些公式那叫一个头疼。

有一次上课，我出了一道题：已知sinα = 3/5，α是锐角，求sin2α 的值。

小明瞪着题目，一脸茫然。

我就引导他，先根据sinα 求出cosα，然后再用倍角公式。

我一步一步地带着他算，最后得出了答案。

从那以后，小明像是突然开了窍，对倍角公式不再害怕了。

再说说半角公式，sin²(α/2) = (1 - cosα) / 2 ，cos²(α/2) = (1 + cosα) / 2 ，tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] 。

这些公式在解决一些复杂的三角问题时，往往能起到意想不到的效果。

就像有一次考试，有一道题是求一个角的半角的正弦值。

好多同学都被难住了，但平时认真掌握了半角公式的同学就轻松地做出来了。

其实啊，倍角和半角公式就像是数学大厦里的一块块基石，虽然它们本身可能不起眼，但组合起来就能构建出各种复杂而美妙的数学结构。

比如说在解决几何问题中，如果遇到角度之间的倍数或者半倍关系，这时候倍角和半角公式就能大显身手啦。

想象一下一个三角形，其中一个角是另一个角的两倍，我们就可以通过这些公式找到它们之间的关系，从而求出未知的角度或者边长。

在物理中，当研究波动、振动这些现象时，也常常会用到三角函数的倍角和半角公式。

比如声波的传播，电磁波的变化，都离不开这些公式的帮助。

倍角公式和半角公式一

倍角公式和半角公式一目标认知：学习目标：1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式；2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）；3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用．学习重点：倍角公式及其变形．学习难点：倍半角公式变形及应用．内容解析：1．倍角公式在和角公式中令=，即得二倍角公式：；；．注意：（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与，与等，也为引出半角作准备．（3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式．（4）二倍角的正切公式成立的条件：．（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．（6）公式的逆用及变形：．2．半角公式由倍角公式变形得到：；；；前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式：；；；其中正负号由的象限确定．借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在于可以不必考虑正负．3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元）（1）积化和差：（2）和差化积：本周典型例题：1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴∴sin2a = 2sinacosa =cos2a = tan2a =2．已知，求．解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论．=．3．求值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°；解析：（1）=；（2）＝；（3）＝；（4）＝；（5）cos20°cos40°cos80°=注意：关注（5）的结构特点．4．化简：（1）（2）（3）（4）解析：（1）（2）（3）（4）5．已知：，求．解析：先关注角——已知中的两个角互为余角．则有：，．6．证明解析：左==右，另解：右=左．7．已知函数．（1）求的周期与单调区间；（2）设，，求的值．解析：倍角公式与辅助角公式相结合．（1）整理化简所以周期为，增区间，减区间（2），进而所以8．已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数在区间上的值域．解析：（1）由函数图象的对称轴方程为（2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，取最大值1又，当时，取最小值所以函数在区间上的值域为9．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．解析：（Ⅰ）．的最小正周期．当时，取得最小值；当时，取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．．．函数是偶函数．参考答案：DCB 20088．解：——降次∵∴。

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倍角公式和半角公式一-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
倍角公式和半角公式一
目标认知：
学习目标：
1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式；
2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）；
3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用．
学习重点：
倍角公式及其变形．
学习难点：
倍半角公式变形及应用．
内容解析：
1．倍角公式
在和角公式中令=，即得二倍角公式：
；
；
．
注意：
（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三
角函数之间的互化问题．
（2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与，
与等，也为
引出半角作准备．
（3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式．
（4）二倍角的正切公式成立的条件：．
（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．
（6）公式的逆用及变形：．
2．半角公式
由倍角公式变形得到：
；；；
前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式：
；；；
其中正负号由的象限确定．
借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在
于可以不必考虑正负．
3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元）
（1）积化和差：
（2）和差化积：
本周典型例题：
1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴
∴sin2a = 2sinacosa =
cos2a = tan2a =
2．已知，求．
解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论．
=．
3．求值：
（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°；
解析：（1）=；
（2）＝；
（3）＝；
（4）＝；
（5）cos20°cos40°cos80° =
注意：关注（5）的结构特点．
4．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）
（2）
（3）
（4）
5．已知：，求．
解析：
先关注角——已知中的两个角互为余角．则有：
，
．
6．证明
解析：左==右，
另解：右=左．7．已知函数．
（1）求的周期与单调区间；
（2）设，，求的值．
解析：倍角公式与辅助角公式相结合．
（1）整理化简
所以周期为，增区间，减区间
（2），进而所以
8．已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域．
解析：（1）
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为在区间上单调递增，在区间
上单调递减，
所以当时，取最大值 1
又，当时，取最小值
所以函数在区间上的值域为
9．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．解析：（Ⅰ）
．
的最小正周期．
当时，取得最小值；
当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．
函数是偶函数．
参考答案：
DCB 2008
8．解：——降次∵∴。

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