高职应用数学第九章 概率论初步
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第九章 概率论初步
本章介绍随机事件与概率的概念，基本知识及基本运算．
第九章 概率论初步
9.1 随机事件 9.2 随机事件的概率 9.3 概率的基本公式
9.4 时间的独立性与贝努利试验 9.5 随机变量与分布函数 9.6 离散型随机变量
9.7 连续型随机变量
9.8 随机变量的数字特征
9.1 随机事件
（1）设事件 A { 取到 2 个白球 } ，则事件 A 发生相当于在 5 个白球中任
2 2 取 2 球，共有 C5 种取法，故事件 A 所含样本点个数为 C5 10 ，因此
C52 10 5 P( A) 2 ． C8 28 14
（2）设事件 B { 取到 1 个白球 1 个黑球 } ，则事件 B 发生相当于在 5 个 白球中任取 1 球，在 3 个黑球中任取 1 球，共有 C5C3 种取法，故事件 B 所含
m 本点，则事件 A 的概率为 n ．
9.2 随机事件的概率
例 袋内有 5 个白球和 3 个黑球，从中任取 2 球，求下列事件的概率： （1）取到 2 个白球； （2）取到 1 个白球 1 个黑球．
2
解：从 8 个球中任取 2 球，共有 C8 种取法，故样本空间 所含样本点个
2 数为 C8 28 ．
1.事件的包含与相等
定义 3 如果事件 A 发生， 必然导致事件 B 发 生， 则称事件 B 包含事件 A ， 记作 A B 或 B A （如图） ． 如果事件 B 包含事件 A ， 同时事件 A 又 包含事件 B ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作
AB．
2.事件的和与积、事件的互斥
定义 4 事件 A 与事件 B 中至少有一个发生所构 成的事件称为事件 A 与事件 B 的和（或并） ，记作
解： C1 AB ， C2 AB AB ， C3 AB ．
9.2 随机事件的概率
9.2.1 频率与概率
定义 1 设在相同条件下进行的 n 次重复试验中，事件 A 发生了 k 次，则 事件 A 的发生次数与试验次数之比，称为事件 A 发生的频率，记作 fn ( A) ， 即
k n． 定义 2（概率的统计定义） 在相同条件下进行重复试验，如果事件 A 发 f n ( A)
（4）对偶律： ( A B) AB,
( AB) C ( A C)( B C) ；
AB A B ．
例
A 表示甲命中， B 表示乙命中． 甲乙两人参加模拟敌机射击双人赛， 两
人同时击中获一等奖， 仅一人击中获二等奖， 敌机未被击中无奖， 分别记作 C1 ，
C2 ， C3 ．试用 A ， B 表示 C1 ， C2 ， C3 ．
{1 , 2 ,, n } ；
（ 2 ）等可能性：每次试验中各个样本点出现的可能性相同， 有
P(1 ) P(2 ) P(n ) 1 n．
具有上述两个特征的随机试验的数学模型，通常称为古典概 型．
古典概型的样本空间 由 n 个样本点组成，随机事件 A 含有 m 个样
9.1.1 随机事件
为了研究随机现象的统计规律性，需要进行大量重复观察或试 验．对随机现象的观察或试验称为随机试验，简称为试验．
随机试验应具有以下性质: （1）试验可以在相同的条件下重复进行． （2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道试验的所有可 能结果． （3）每次试验之前不能确定哪一种结果会出现．
随机ห้องสมุดไป่ตู้件的概率具有基本性质： （1） 0 P( A) 1； （2） P() 0, P() 1 ．
9.2 随机事件的概率
9.2.2 古典概型
现在介绍一类可以直接计算随机事件概率的简单随机试验， 此类试验具有如下两个特征： （ 1）有限性：试验的样本空间由有限个样本点组成，可表示 为
9.1 随机事件
定 义 1 在随机试验中可能发生，也可能不发生的结果称为 随 机 事 件 ，简称为事 件 ，常用字母 A, B, C 等表示．
定义 2 在一次试验中， 不能再分解的事件称为基本事件或样本点， 通常用 表示．由全体样本点组成的集合称为随机试验的样本空间， 记作 ．
根据上述定义，有以下两个特殊事件：
A B ．
9.1 随机事件
事件 A 与事件 B 同时发生所构成的事件称为事件 A 与事件 B 的积 （或交） ， 记作 AB （或 A B ） ．
定义 5 如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB ，则称事件 A 与事 件 B 为互斥事件（或互不相容事件） ．
3.对立事件
定义 6 如果事件 A, B 满足 A B 且 AB ， 则称事件 A 与事件 B 互为对立事件（或互逆事件） ，
B 称为 A 的对立事件（或逆事件） ，记作 A ．
9.1 随机事件
事件的运算满足以下运算律：
（1）交换律： A B B A, AB BA ；
（2）结合律： ( A B) C A ( B C ),
( AB)C A( BC ) ；
（3）分配律： ( A B)C ( AC ) ( BC ),
生的频率在某个数值 p 附近摆动，并且一般说来，试验次数越多，摆动的幅度 越小，则称数值 p 为事件 A 的概率，记作 P( A) p ．
事件发生的频率满足： （1）对于任意时间 0 fn ( A) 1 ； （2）对于不可能事件 和必然事件 ，有 f n () 0, f n () 1．
1 1 样本点个数为 C5C3 15 ，因此
1 1 C5 C 15 P( B) 2 3 C8 28 ．
1
1
9.3 概率的基本公式
9.3.1 概率的加法公式
（1）样本空间 也表示一个事件，它包含试验的所有样本点，每次 试验的结果都必然导致事件 发生，故 表示必然事件．
（ 2 ） 空 集 也表示一个事 件，它不含 试验的任何 样本点， 每次试验的结果都不可能导致事件 发生，故 表示不可能事 件．
9.1 随机事件
9.1.2 事件间的关系与运算
本章介绍随机事件与概率的概念，基本知识及基本运算．
第九章 概率论初步
9.1 随机事件 9.2 随机事件的概率 9.3 概率的基本公式
9.4 时间的独立性与贝努利试验 9.5 随机变量与分布函数 9.6 离散型随机变量
9.7 连续型随机变量
9.8 随机变量的数字特征
9.1 随机事件
（1）设事件 A { 取到 2 个白球 } ，则事件 A 发生相当于在 5 个白球中任
2 2 取 2 球，共有 C5 种取法，故事件 A 所含样本点个数为 C5 10 ，因此
C52 10 5 P( A) 2 ． C8 28 14
（2）设事件 B { 取到 1 个白球 1 个黑球 } ，则事件 B 发生相当于在 5 个 白球中任取 1 球，在 3 个黑球中任取 1 球，共有 C5C3 种取法，故事件 B 所含
m 本点，则事件 A 的概率为 n ．
9.2 随机事件的概率
例 袋内有 5 个白球和 3 个黑球，从中任取 2 球，求下列事件的概率： （1）取到 2 个白球； （2）取到 1 个白球 1 个黑球．
2
解：从 8 个球中任取 2 球，共有 C8 种取法，故样本空间 所含样本点个
2 数为 C8 28 ．
1.事件的包含与相等
定义 3 如果事件 A 发生， 必然导致事件 B 发 生， 则称事件 B 包含事件 A ， 记作 A B 或 B A （如图） ． 如果事件 B 包含事件 A ， 同时事件 A 又 包含事件 B ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作
AB．
2.事件的和与积、事件的互斥
定义 4 事件 A 与事件 B 中至少有一个发生所构 成的事件称为事件 A 与事件 B 的和（或并） ，记作
解： C1 AB ， C2 AB AB ， C3 AB ．
9.2 随机事件的概率
9.2.1 频率与概率
定义 1 设在相同条件下进行的 n 次重复试验中，事件 A 发生了 k 次，则 事件 A 的发生次数与试验次数之比，称为事件 A 发生的频率，记作 fn ( A) ， 即
k n． 定义 2（概率的统计定义） 在相同条件下进行重复试验，如果事件 A 发 f n ( A)
（4）对偶律： ( A B) AB,
( AB) C ( A C)( B C) ；
AB A B ．
例
A 表示甲命中， B 表示乙命中． 甲乙两人参加模拟敌机射击双人赛， 两
人同时击中获一等奖， 仅一人击中获二等奖， 敌机未被击中无奖， 分别记作 C1 ，
C2 ， C3 ．试用 A ， B 表示 C1 ， C2 ， C3 ．
{1 , 2 ,, n } ；
（ 2 ）等可能性：每次试验中各个样本点出现的可能性相同， 有
P(1 ) P(2 ) P(n ) 1 n．
具有上述两个特征的随机试验的数学模型，通常称为古典概 型．
古典概型的样本空间 由 n 个样本点组成，随机事件 A 含有 m 个样
9.1.1 随机事件
为了研究随机现象的统计规律性，需要进行大量重复观察或试 验．对随机现象的观察或试验称为随机试验，简称为试验．
随机试验应具有以下性质: （1）试验可以在相同的条件下重复进行． （2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道试验的所有可 能结果． （3）每次试验之前不能确定哪一种结果会出现．
随机ห้องสมุดไป่ตู้件的概率具有基本性质： （1） 0 P( A) 1； （2） P() 0, P() 1 ．
9.2 随机事件的概率
9.2.2 古典概型
现在介绍一类可以直接计算随机事件概率的简单随机试验， 此类试验具有如下两个特征： （ 1）有限性：试验的样本空间由有限个样本点组成，可表示 为
9.1 随机事件
定 义 1 在随机试验中可能发生，也可能不发生的结果称为 随 机 事 件 ，简称为事 件 ，常用字母 A, B, C 等表示．
定义 2 在一次试验中， 不能再分解的事件称为基本事件或样本点， 通常用 表示．由全体样本点组成的集合称为随机试验的样本空间， 记作 ．
根据上述定义，有以下两个特殊事件：
A B ．
9.1 随机事件
事件 A 与事件 B 同时发生所构成的事件称为事件 A 与事件 B 的积 （或交） ， 记作 AB （或 A B ） ．
定义 5 如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB ，则称事件 A 与事 件 B 为互斥事件（或互不相容事件） ．
3.对立事件
定义 6 如果事件 A, B 满足 A B 且 AB ， 则称事件 A 与事件 B 互为对立事件（或互逆事件） ，
B 称为 A 的对立事件（或逆事件） ，记作 A ．
9.1 随机事件
事件的运算满足以下运算律：
（1）交换律： A B B A, AB BA ；
（2）结合律： ( A B) C A ( B C ),
( AB)C A( BC ) ；
（3）分配律： ( A B)C ( AC ) ( BC ),
生的频率在某个数值 p 附近摆动，并且一般说来，试验次数越多，摆动的幅度 越小，则称数值 p 为事件 A 的概率，记作 P( A) p ．
事件发生的频率满足： （1）对于任意时间 0 fn ( A) 1 ； （2）对于不可能事件 和必然事件 ，有 f n () 0, f n () 1．
1 1 样本点个数为 C5C3 15 ，因此
1 1 C5 C 15 P( B) 2 3 C8 28 ．
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9.3 概率的基本公式
9.3.1 概率的加法公式
（1）样本空间 也表示一个事件，它包含试验的所有样本点，每次 试验的结果都必然导致事件 发生，故 表示必然事件．
（ 2 ） 空 集 也表示一个事 件，它不含 试验的任何 样本点， 每次试验的结果都不可能导致事件 发生，故 表示不可能事 件．
9.1 随机事件
9.1.2 事件间的关系与运算