公平席位的分配 (高泽标)

公平席位的分配

数学(2)班学号 0907022022 高泽标

摘要：讨论公平席位分配的模型已有很多。本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’hondt 法对问题中名额进行了分配，再对D’hondt法的合理性进行了分析，并在Q值法对绝对尾数（绝对不公平度）的处理方式基础上，提出了相对尾数模型，并讨论了其满足Young公理的1，3，4条

关键词：相对尾数 Balinsky & Young不可能定理

正文

1 问题复述

公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理学和对策论等领域具有广泛的应用价值。处理这个问题的最早的方法是Hamilton法，即比例加惯例法；后来出现了Q值法；1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的；因此，我们只能根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法。这里，我们需要理解并运用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对宿舍委员会名额进行分配，继而提出更优的公平分配席位的方法。

2 模型假设

2.1 合理假设

2.1.1 比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已知；

2.1.2 各个宿舍相互独立互不影响，人数保持不变；

2.1.3 委员分配以各宿舍人数为唯一权重。

2.2 符号约定

3 模型的建立与求解

3.1按比例加惯例模型分配

根据比例加惯例分配模型的原理表

3.2按Q 值法模型分配

首先用比例分配法对名额进行初步分配，再根据表达式

)1(2

+=

i i i

i m m n Q C B A i ,,=对剩下的名额进行分配

表2（Q 值法分配结果）：

3.3 D ’hondt 模型 3.3.1 模型建立

设n ，m 分别表示宿舍总人数和总分配席位数，

i n (1,2,3i =)表示各宿舍人数，令

i

ij n a j =

(1,2,3,1,2,...i j ==)，则得到一个数列{}ij a ，将该数列按递减顺序重新排列，得

到

{}()k ij

a ，其中()k ij

a 表示

{}()k ij

a 中第k 大的项。取{}()k ij

a 中前m 项，则相应得到{}{}()k p ij

m a i p =

=(k=1,2,...,m)中的元素的个数(1,2,3p =)，1

m ,2

m ,3

m 即为按

D ’hondt 模型分配的结果。 3.3.2 按D ’hondt 模型分配

根据建立的D ’hondt 模型，编写MATLAB 程序求出结果（附件-程序6，附录-输入及运行结果3）：

3.4 相对尾数模型 3.

4.1 模型准备

讨论一般情况:k 个宿舍人数分别为

i n ,1,2,...,i k =,总人数为1...k n n n =++,待分配

的席位为m 个,理想化的分配结果是

i

p (1,2,...,i k =),满足

1k

i

i m p ==∑,记

i

i n q m

n =

(1,2,...,i k =)。显然,若i q 全为整数,应有i q =i p (1,2,...,i k =),当i q 不全为整

数时,需要确定同时满足下面公理的分配方案。

公理一：

[][]i i i q p q -+

≤≤(1,2,...,i k =),即i p 取[]i q -或[]i q +之一,其中

[]i q -=[]i q ,[]i q +=[]1i q +,[]i q 表示i q 的整数部分。

公理二：

1212(,,,...,)(1,,,...,)i k i k p m n n n p m n n n ≤+,1,2,...,i k =,即总席位增加时,

各宿舍的席位数不应该减少。

公理一显然满足Balinsky & Young 不可能定理 (见附录) 中的公理4（公平分摊性）,公理

二满足其的公理1（人口单调性）和公理3（名额单调性）。令

[]i i i i i n n s m m q q n n --

⎡⎤

=

-=-⎢⎥⎣⎦,

称其为对第i 个宿舍的绝对尾数值。令[]i i i s r q -

=

,称其为对第i 个宿舍的相对尾数值。

3.4.2 模型建立与求解

由于人数都是整数,为使分配趋于公平,需所有的i r

越小越好,所以趋于公平的分配方案应该是最大的i r 达到最小,即所有的i r

达到最小。

为方便起见,首先考虑只有两个宿舍的情形,即2k =,

12n n n =+,且12n n ≠,1q 和2

q 不全是整数(实际上,他们同为整数或小数)。记i p -,

i

r -

为总席位增加一席时的分配结果和相

对尾数。给出定理:

定理:以下分配方案满足公理一,二，

1) 若12r r =,且12s s >,则取111n p m n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,

22n p m n -⎡⎤=⎢⎥

⎣⎦,即按比例加惯例法分配;

2) 若1

2r r >,则取111n p m n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,22n p m n -⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦; 3) 若12r r <,则取11n p m n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,221

n p m n -

⎡⎤

=+⎢⎥⎣⎦。

Balinsky & Young 不可能定理

公理 1 (份额单调性) 一个州人口的增加不会导致它失去席位。

公理 2 (无偏性) 在整个时间上平均, 每个州应得到它自己应分摊的份额。 公理 3 (席位单调性) 总席位增加不会导致某个州名额减少。

公理 4 (公平分摊性) 任何州的席位数都不会偏离其比例的份额数。

公理 5 (接近份额性) 没有从一个州到另一个州的名额转让会使得这两个州都接近 它们应得的份额。

按照定理，对三个宿舍的情形进行讨论。设1r ,2r ,3r 全部为零(实际上,如果有一个为零,

即是按两个宿舍分配),可以做以下分配:

1) 当

123r r r ==时,按比例分配取整后,剩余的席位分配给绝对尾数较大的宿舍,即按比例加惯例法分配;

2)

当

123r r r >=时,按比例分配后,若剩余一个席位,则分配给第一个宿舍,若剩余两个席位,则分配一席给第一个宿舍,另外一席分配给第二三个宿舍中绝对尾数值较大者；

3) 当

123r r r =>时，按比例分配后，若剩余一个席位分配给第一二个宿舍中绝对尾数值较大者，若剩余两个席位，则分配给第一二宿舍各一席；

4)

当

123r r r >>时，按比例分配后,若剩余一个席位,则分配给第一个宿舍,若剩余两

个席位,则分配给第二个宿舍。

一般地，对k 个宿舍，设1r ,

2

r ,…，

n

r 不全为零，且

12...k r r r ≥≥≥，则当1t t r r +≠时，