第五章 离散化的基本方法-2010

此图中，若用ui,j 表示速 度的x分量在(i,j)的值，那 么(i+1,j)点的分量可以表 示为：
∂u ui +1, j = ui , j + ( )i , j Δx + ∂x 机 学 ∂ 2 u ( Δx ) 2 + ( 2 )i , j 大 ∂x 2 业 ∂ 3u ( Δ x ) 3 工 京 +" ( 3 )i , j ∂x 6 南
“离散化” 程
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南
� 机 � 学 � 大 � 业 � 工 � 京 �
� 程 � 工 � 力 � 动 � 与 � � 械
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有限差分基础
2 3 3 i, j
（2）加上（4）得:
i + 1, j i－1, j
� 机 � 学 � ∂ u 大 u +u = 2u � +( ) (Δx) 业 ∂x � 工 � 京 � − 2u + u ∂ u u 南 = + O (Δx)
i, j 2 i, j
2 i + 1, j i, j i－1, j
程 � 工 � 力 � 动 ( −Δ � x) ∂ u 与 +( ) � � 2 ∂x 械
例如
� 程 � 工 最早出现在1955年Wasow 的一篇德语论文中 � 力 � 动 � 与 � 实质：用一个类似的表达式来近似某个函数 � 械 或者函数的微分方程、积分方程等。（只在 � 机 区域内有限个离散点或控制体上规定取值） � 学 � 大 � 业 � 图4-1xy 工平面的一组离散网格点 � 京 � 南
2Δx
+ O (Δx) 2
二阶“中心差分”
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“有限差分模版”：
∂ 2 u u i +1, j = 2 ∂x
i, j
∂ 2 u u i , j +1 = 2 ∂y
� 程 � 工 � − 2u + u 力 � + O (Δx) 动 � (Δx) 与 � � 械 � 机 � 学 � 大 � − 2u + u 业 + O (Δy ) � 工 (Δy ) � 京 � 南
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举例说明
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考虑函数 f ( x ) = sin 2π x
� 程 � 工 � 在x＝0.2处，f(x)＝0.9511。如图中1点。 力 � 动 � 2 取Δx＝0.02，f(x+Δx)=f(0.22)=0.9823 图中点 与 � � 械 现在考虑用式 (1) 来估计f(0.22) � 机 � 学 1、若只有右边第一项 � 大 f (0.22) ≈ f (0.2) = 0.9511 � 图中点3 业 � 2、若有右边两项 工 � f (0.22) ≈ f (0.2) +京 2π cos[2π (0.2)] × 0.02 = 0.9899 图中点4，误差0.775％ � 南 f (0.22) ≈ f (0.2) + 2π cos[2π (0.2)] × 0.02 − 3、若有右边三项
2
∂f ∂ f ( Δx ) Δx + 2 + 2 ∂x ∂x
2
参照右图，可以说明各方程各 机 学 项含义：
业∂ 2 f (Δx)2 ∂f f ( x + Δx ) = f ( x ) + 工 Δx + 2 +" ∂x ∂x 2 京 南
最初的估计 斜率的影响 曲率的影响
� � �
� � � 大 �
� 程 � 工 � 力 � 动 (1) � 与 � � 械
2
� �
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( −Δ x ) 3 + " (4) 6
∂ 4u (Δx)4 + ( 4 )i, j +" ∂x 12
(7) 二阶精度“中心差分”
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2
∂x
2
(Δx)
2
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再考虑二阶混合导数的情况：
2
� 程 � 将（2）式和（4）式分别对y求导数得：工 � 力 ∂u ∂u ∂u ∂u (Δ� x) ∂u (Δx) 动 ( ) =( ) +( ) Δx + ( ) � +( ) + " (8) ∂y ∂y ∂x∂y ∂x ∂y � 与 2 ∂x ∂y 6 � 械 ∂u ∂u ∂u ∂ u (Δx) ∂u ( Δx ) � 机 ( ) = ( ) −( ) Δx + ( ) −( ) + " (9) � ∂y ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 ∂x ∂y 6 学 � 大 （8）减去（9）得: � 业 � 工 � (∂u / ∂ y) − (∂u / ∂y ) ∂u ∂u (Δx) � ( ) = 京 −( ) + " (10) ∂x∂y 2 Δx ∂x ∂y 12 南
解得：
∂u ( )i , j = ∂x
南 u
业 � 工 � 京 �
− u i −1, j Δx
� � 学 � 大 � ∂u
� 程 � 工 � 力 � 动 � 与 � � 械
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i, j
+ O ( Δ x ) (5)
一阶“向后差分”
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再来看右边的图，注意 到（3）式的有限差分只用 到了（i,j）右边的信息，这 样的差分叫“向前差分”。
机 那么我们写出ui-1,j在ui,j处的展开式
u i −1, j = u i , j
2 ∂u ( −Δ x ) 2 ∂ 3u ( −Δ x ) 3 + ( ) i , j ( −Δ x ) + ( 2 ) i , j + ( 3 )i, j + " (4) ∂x ∂x 2 ∂x 6
学 对于CFD而言，一阶精度是不够的。为构造 2 阶精度。直接用 程 （2）式减去（4）式得到： 工
u i +1, j − u i −1, j ∂u + O ( Δ x ) 2与 ( )i , j = (6) 2Δx ∂x
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总结：
∂u ( )i , j ∂x
⎧ u i +1, j − u i , j ⎪ Δx ⎪ 业 ⎪ ui , j − u 工 i −1, j 一阶“向后差分” =⎨ 京 + O (Δx ) ⎪ 南 Δx ⎪ u i +1, j − u i −1, j 2 ( ) + Δ O x 二阶“中心差分” ⎪ 2Δx ⎩
� 程 � 工 � 假定一个二维流场。其控制方程的解析解理论上可表 力 � 达为： 动 � 与 换成代数差分方程 y) � u = f1 ( x, y ) p = f 3 ( x, 械 � � 转化为 机 v = f 2 ( x, y ) ρ = f � 4 ( x, y ) 学 � 代数方程组 大 � 业 求解 � 工 这个过程就是” � 可以在无穷多 � 得到流场变量在离 个（x,y）上 京 离散化“的过 南 散网格点上的值。 得到流场变量。
(
∂u )i , j ∂x
(
∂u )i , j = ∂x
� 机 � u −u 学 = +O Δx) (� 大 � Δx 业 � 工 � 京 � u 南− u
i, j i −1, j i +1, j i −1, j
� 程 � 工 � 力 � 动 � 与 � � 械
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一阶“向前差分”
一阶“向后差分”
2 0.02 9 ％ = 0.9824 图中点5，误差0.01 4π 2 sin[2π (0.2)] × 2
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u i +1, j = u i , j
学 上例回顾泰勒级数相关内容，现在继续回到前面差分表达式
∂u ∂ 2u (Δx)2 ∂ 3u (Δ x )3 + ( )i, j Δ x + ( 2 )i, j + ( 3 )i, j + " (2) ∂x ∂x 2 ∂x 6
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参照右图：
ui +1, j +1 ∂u ( )i +1, j = ∂y ui −1, j +1 ∂u ( )i −1, j = ∂y
i +1, j −1 2
因此得到：
ui +1, j +1 ∂ 2u ( )i , j = ∂x∂y
南 二阶精度“中心差分”
� 程 −u � 工 + O(Δy ) � 力 2Δy � 动 � −u 与 + O(Δy ) � 2Δy � 械 � 机 � 学 � 大 −u � −u +u 业 + O[(Δx) , (Δy ) ] (11) � 工 4ΔxΔy � 京 �
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¾Δx、 Δy 等距 ¾ 网格点标记的形式
� 机 � 学 引出“离散化”的含义 � 大 � 业 � 工 � 京 � 南
� 程 � 工 � 力 � 动 � 与 � � 械
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图4-1 离散网格点
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� � �
� � � �
� 程 � 工 � 力 � 动 � 与 � � 械
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7 如果大家对此式子不熟悉，没关系，我们复习一下泰勒级数展开
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f ( x + Δx ) = f ( x ) + ∂ n f ( Δx ) n "+ 3 +" ∂x n!
i −1, j −1 2 i +1, j −1 i −1, j +1 i −1, j −1 2 2
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“有限差分模版”：
u i +1, j − u i , j ∂u + O (Δx) ( )i , j = ∂x Δx
计算流体动力学
� 程 � Computational fluid mechanics 工 � 力 � 动 � 与 � 南京工业大学机械与动力工程学院 � 械 � 机 凌祥 � 学 � 大 � 业 � 工 � 京 � 南
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第四章 离散化的基本方法
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变换得到： u i +1, j − u i , j ∂u ∂ 2u ( )i , j = − ( 2机 )i , j ∂x Δx ∂x 2
差的最低阶项是Δx的一次方，可以把上式写成：
+" � ∂x 6 � 学 � 大 偏导数差分表达式 截断误差 � 业 � 工 如果用上述差分表达式作为偏导数的近似，而且截断误 � 京 �
� � �
二阶“中心差分” � � 械 � 机 � 学 � 一阶“向前差分” O (Δx) + 大 � 同理可
力 � 动 �
� �
� �
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得y方向 差分格 式
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u i +1, j = u i , j u i −1, j = u i , j
学 前面讨论一阶形式，下面考虑二阶偏导数的情况：
∂u ∂ 2u + ( ) i , j ( −Δ x ) + ( 2 ) i , j ∂x ∂x
2
∂u ∂ 2u (Δx)2 ∂ 3u (Δ x )3 + ( )i, j Δ x + ( 2 )i, j + ( 3 )i, j + " (2) ∂x ∂x 2 ∂x 6
3 i, j
程 � 工 � 力 � 动 � 与 � � Δx ∂u (Δx) 械 −( )
� �
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u i +1, j − u i , j ∂u + O ( Δ x ) (3) 具有一阶精度 ( )i , j = ∂x Δx
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3 2 4 3 i +1, j i, j i, j 2 i, j 3 i, j 2 3 2 4 3 i −1, j i, j i, j 2 i, j 3 i, j 2 i +1, j i −1, j 4 2 i, j 3 i, j
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可构造二阶中心差分代替：
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z 本章主线路 z 有限差分基础
� 机 � z 差分方程 学 � 大 � 业 � z 显式方法和隐式方法 工 � 京 � z 误差与稳定性分析 南
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基本概念 “离散化”