离散数学(3.8闭包运算)

0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 1 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
定理3.6.1 设
3.6 关系的闭包运算(Closure Operations) 3.6.2关系的闭包的求法(How to find the closures of relations)
定理3.6.2 设 是集合A上的二元关系,则
(1) (2) (3)
1.由定义求 的闭包
r( ) I A 1 s( )
d
a b c d 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
a 0 b 1 M c 0 d 0
1 0 0 a 1 0 1 0 b 0 MIA 0 0 1 c 0 0 0 0 d 0
因为
所以
0 1 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
M 3 M M 2
0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0
M 4 M M 3
Mt ( ) M M 2 M 3
{ 1,4 , 2,4 , 4,4 , 5,5 , 6,3 , 6,6 } 3 { 1,5 , 2,5 , 4,5 , 5,4 , 6,3 , 6,6 } 4 2 { 1,4 , 2,4 , 4,4 , 5,5 , 6,3 , 6,6 } 5 3 6 2
，于是
a, c h k hk i
i 1 i 是可传递的.

故

i 1

（3）设 1 是A上的任意一个包含 的可传递关系。
对任意 a, b 得
k

i 1

i
，则存在正整数k，使 ，使得
a b ，因此必存在元素 b1 , b2 ,, bk 1 ab1 , b1b2 ,, bk 1b 。
若 M 中 r 0 ，则 M 1中 ij 的转置矩阵。 根据
1

0。这说明M rji
ij

ji
1
是M

s( ) , s( ) 的关系矩阵 M s ( ) M M 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
ab1 , b1 b2 ,, bk 1 b 而 1 是可传递的，因此 a1b 即 a, b 1 ，故
有
i 。 1 i 1
因为
1 ，所以 a1b1 , b11b2 ,, bk 11b
。
例2.下图给出了集合 A {1,2,3,4,5,6} 上的关
2 3 4
, ,
2 3
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0
{0,0, 0,2, 1,1, 1,3, 2,2, 2,0, 3,1} ,则ρ
是
A. 自反的
B. 对称的
C. 反对称的
B
D. 可传递的
( ) （2) 设ρ 是整数集I上的关系，定义为当且仅当 i1 i2 10 i1 i2 ，则ρ 是 时， A. 自反的 的 B. 对称的 C. 反对称的 ( D. 可传递 A、 B )
t( )
i 1 i
证明:(3)
证明
（ 1）显然
。
i i 1
i i ， , b , c 则必存在正整 i 1 h i 1

（2）对任意的 a, b
数h和k，使得 a, b , b, c k
closures of relations)
3.6.2 关 系 的 闭 包 的 求 法 (How to find the
closures of relations)
A B
AB


第三章 集合与关系(Sets & Relations) 3.6 关系的闭包运算(Closure Operations) 3.6.1 关 系 的 闭 包 的 概 念 (The definitions
（3）因为
A
4 ，所以 t ( )
对任意 a, b A A ，只要 a , b 属于 ,
i 2 3 4 i 1
4

4
M 2
0 1 M M 0 0
0 1 0 0
( a, b) t( ) 中任何一个关系，则 a, b t ( )， 于是 Mt ( ) M M M M
2. 下图给出了{1,2,3}上三个关系的关系图，试对每一 个图所表示的关系的性质作出判别，并将选中的性质的 代号填入相应的括号内。
若 A. 自反的 B. 对称的 C. 反对称的 D. 可传递 E. 反自反
则 是（
则 是（ 则 是（
3
2
1
A﹑B A E
）
） ）
3. 设 A {a, b, c, d }，A上的关系
t ( ) { 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , 4,4 , 4,5 , 5,4 , 5,5 , 6,3 , 6,6 }

s( ) { 5,1 , 3,1 , 5,2 , 3,6 }
定理3.6.3 设 是集合A上的二元关系,A为含有n个
元素的集合,则存在某个正整数 m n ,使得
系
的关系图，试画 r ( ) 、 s( )
和 t( ) 。
解: 由关系图知:
{ 1,5 , 1,3 , 2,5 , 4,5 , 5,4 , 6,3 , 6,6 }
{ 1,5 , 1,3 , 2,5 , 4,5 , 5,4 , 6,3 , 6,6 }
则
2
r( ) { 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 }
t( )
i 1
m
i
因此,我们有
t( )
i 1
n
i
证明:
2. 利用关系矩阵求 的闭包 例3 设 A {a, b, c, d } ，A上的关系
求
r ( ), s( ), t ( ) 。
解（1）
a b c
{a, b, b, a, b, c, c, d }
3.7 集合的划分与覆盖(Partition & Cover of Sets)
3.8 等价关系(Equivalent Relations) 3.9 相容关系(Compatibility Relations)
3.10 序关系(Ordered Relations)
第三章 集合与关系(Sets & Relations) 3.6 关系的闭包运算(Closure Operations) 3.6.1 关系的闭包的概念 (The definitions of
定义3.6.1 设 、 满足:

是集合A上的关系，如果

(1)
(2)
(3)对任何自反的(对称的/可传递的)的关系 ,若
则 ,称 为 的自反(对 称/传递)闭包,记作 r ( )(s( ) / t ( )) 。
是自反的(对称的/可传递的)

离散数学(Discrete Mathematics)
张捷
1
第三章
集合与关系
（Sets and Relations)
3.1 集合及其运算(Sets & Operations with sets) 3.2 序偶与笛卡尔积(Ordered Pairs & Cartesian Product) 3.3 关系 (Relations) 3.4 关系的性质(The Propeties of Relations) 3.5 复合关系与逆关系(Compound Relations & Inverse Relations) 3.6 关系的闭包运算(Closure Operations)
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于是 t ( ) {a, a, a, b, a, c, a, d , b, a, b, b, b, c, b, d , c, d }
a b c d
0 1 M s( ) 0 于是 0
0 a 0 0 b 1 0 c 0 0 d 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
s( ) {a, b, b, a, b, c, c, b, c, d , d , c}
{a, b, b, d , c, b}
对下列求出的闭包判断正确与否，分别将“Y”或“N”
填入后面的括号。
r ( ) {a, b, b, d , a, a, b, b, c, c, d , d } （ N
a 1 b 1 c 0 d 0
1 1 0 0
1 1 0 0
3.利用关系图求 的闭包
例4 对例3中的关系
，利用关系图求其闭包。
ρ 的关系图
r(ρ) 的关系图
S(ρ )的关系图
t(ρ )的关系图
练习3.6 1. 从下列各题给出的备选答案中选出正确的答案，并将 其代号填入题后面的括号内。 (1)设A={0,1,2,3}，A上的关系
0 0 1 0 0 1 0 0
于是
r ( ) {a, a, a, b, b, a, b, b, b, c, c, c, c, d , d , d }
1 (2) 若 ai , a j ，则 a , a ；若 ， a , a i j j i 1 则a j , ai ， 即为若 M 中 r 1,则 M 1中 r 1
of
例1.设 是由 A上的关系， A={1,2,3},
closures of relations)
{1,2, 2,3, 3,1} (1)求A上的关系 使得 且 是自反的。
(2)这样的关系共有多少个? 解:
3.6 关系的闭包运算(Closure Operations)
r( ) I A
a 0 a 1 1 0 b 0 c 0 1 d 0 b 1 1 0 0 c 0 1 1 0 d 0 0 1 1
M r( )
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0






3.6 关系的闭包运算(Closure Operations)
说明:(1) 求集合A上的关系
闭

的自反、对称、传递

(2)
包的运算，称为关系
的闭包运算。

的自反(对称、传递)闭包是包含
的最
小
是集合A上的二元关系,则 自反(对称/可传递)关系。 (1) 是自反的 r ( ) (2) 是对称的 s ( ) (3) 是可传递的 t ( )