苏教版高中数学选修4-2矩阵与变换同步全解

选修4-2 矩阵与变换

本章主要是通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、简单的线性运算及其性质、逆矩阵与逆变换、矩阵的特征值与特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，应用实例初步展示矩阵应用的广泛性．

2·1二阶矩阵与平面向量

1.矩阵的概念

(1)在数学中，把形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡31，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4 23

32m ，⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡85659080这样的矩形数字（或字母）阵列称做矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母Ａ，Ｂ，…或者（a ij ）来表示矩阵，其中i,j 分别表示元素所在的行和列。同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵和元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵.

(2)平面上向量),(y x =α的坐标和平面上的点P （x,y ）都可以看做是行矩阵[]y x ，

也可以看做是列矩阵⎥⎦⎤

⎢⎣⎡y x .因此我们又称[]y x

为行向量，称⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x 为列向量，在本书中，我

们把平面向量（x,y ）的坐标写成⎥⎦

⎤⎢⎣⎡y x 的形式.

(3)当两个矩阵Ａ、Ｂ，只有当它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，才有Ａ＝Ｂ.

行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）

列矩阵：⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

a 11 a 21 （仅有一列）

向量a →

＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，在本

书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

的形式。

(4)由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

，记为0。 ②二阶单位矩阵：1001⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

，记为E 2. 2.二阶矩阵与平面向量的乘法 行矩阵[]1211

a a 与列矩阵⎥⎦⎤

⎢⎣⎡2111b b 的乘法规则：[]1211

a a ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2111b b =[]21121111b a b a ⨯+⨯

二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211

a a a a 与列向量⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00y x 的乘法规则：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡22211211

a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x =⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯0220

21012011y a x a y a x a

一般地两个矩阵只有当前一个列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算 3.理解二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义

一个列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 左乘一个2×2矩阵M 后得到一个新的列向量，如果列向量⎥⎦

⎤⎢⎣⎡y x 表示一

个点P （x,y ）,那么列向量⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x 左乘矩阵M 后的列向量就对应平面上的一个新的点.

对于平面上的任意一个点（向量）（x,y ）,若按照对应法则T ，总能对应惟一的一个点

（向量）),(y x ''，则称T 为一个变换，简记为：T ：),(),(y x y x ''→或T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦

⎤⎢⎣⎡''y x

一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡++dy cx by ax ，那么根

据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤

⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡d c b a ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ）

由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形.

1 设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素2,1,2;1,2ij a i j i j =+==，则A=（ ）

A 、 2 53 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B 、 2 35 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦

C 、 2 63 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D 、 2 26 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦

【解析】

B 。,i j 分别表示元素ij a 所在的行与列。

2. 3 22-1 11⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

的结果是 （ ）

A 、55⎡⎤

⎢⎥⎣⎦ B 、[5，5] C 、8-1⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D 、[]8,1- 【解析】

C 。根据二阶矩阵与列向量的乘法法则求得，其结果是列向量。 3.由矩阵1 1 21 2 2⎡⎤

⎢

⎥

⎣⎦

所表示的三角形的面积是 （ ） A 、2 B 、1 C 、12 D 、14

【解析】

C 。矩阵表示三个点（1，1），（1，2），（2，2）构成的三角形。 4.已知32 x-3y 1 7,x+y x-y a b x y A B +-⎡⎤⎡⎤

==⎢

⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

，若A=B ，则x y a b +++= 【解析】

32137x y x y x y a x y b +=-⎧⎪-=⎪⎨

+=⎪⎪-=⎩解得1213

x y a b =⎧⎪=-⎪

⎨=-⎪⎪=⎩ ∴1x y a b +++=。