中学数学常用的数学思想方法

中学数学常用的数学思想方法

长期以来，由于应试教育的影响，教师已习惯了重视知识的传授而轻视对知识中蕴含的思想方法进行挖掘的传统教学模式，现在我们必须从传统教学模式的束缚中解脱出来，构建一种以突出数学思想方法为主、着眼于培养学生创新素质的教学模式.美国数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题，而当我们解题时遇到一个新问题时，总想着用熟悉的题型去“套”，这只是满足能解出来，只有我们对数学思想、数学方法理解透彻并融会贯通，才能提出新看法，巧解法.中学数学中常用的思想方法有函数与方程思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、转化与化归思想方法等，只有掌握这些方法并在解题中灵活应用，才能举一反三地快速解题，达到事半功倍的效果.我结合自己的教学经验对高中数学中常用的数学思想方法教学作介绍.

一、函数与方程的思想方法

函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画.因此，函数思想的实质就是提取问题的数学特征，用联系的、变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时起着重要作用.

例：若关于x的方程9x■+(4+a)3x+4=0有正实根，求实数a的取值范围.

分析：若令3x=t，则t>0，原方程有解的充要条件是方程t■

+(4+a)t+4=0有正根，故解得：a≤-8.这种解法是根据一元二次方程解的讨论，思维方法是常规的、合理的，但很繁琐.若采取以下解法：因为a∈r，所以原方程有解的a的取值范围即为函数的值域，分离a，得a=-(t+■)-4，根据基本不等式得a≤-4-4=-8.可见若突破思维常规，充分利用函数与方程的转化，则可得灵活简捷的解法.

二、数形结合的思想方法

数性结合是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题与图形之间的相互转化.通过“以形助数，以数解形”使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.

例：设|z■|=5，|z■|=2，|z■-■|=■，求■的值.

分析：利用复数模、四则运算的几何意义，把复数问题转化为几何问题求解.

解：如图，设z■=■，z■=■，则■=■，■=■

由图可知，■ =■，∠aod=∠boc，由余弦定理得：

cos∠aod=■=■

∴■=■（■±■i）=2±■i

本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算与复数的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动性和活泼性.一般地，复数问题可以利用复数的几何

意义将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解.

三、分类讨论的思想方法

分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原复杂问题的思维策略，即“化整为零，各个击破，再积零为整”.分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度.分类讨论时必须明确分类的依据，常见的有依据概念分类、依据运算需要分类、依据图形形状位置变化分类等；要做到分类对象确定，标准统一，不重不漏，不越级讨论.分类讨论是高中阶段最常用的思想方法之一.

四、等价转化的思想方法

等价转化思想是把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题，或者归结为一个熟悉的具有确定解决方法和程序的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题解的一种重要的数学思想方法.转化思想贯穿于整个高中数学教学中，问题解答过程的实质就是转化的过程.

当然，不同的数学思想方法具有各自的优势与缺陷，不存在一种普遍有效能解决任何数学问题的数学思想方法，同时数学思想方法之间具有互补性，有时解决一个问题需要运用几种不同的数学思想方法.

例：直线l的方程为：x=-■（p＞0），椭圆中心d（2+■，0），

焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为a.问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点a 的距离等于该点到直线l的距离？

分析：由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以a为焦点、l为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）.

解：由已知得：a=2，b=1，a（■，0），设椭圆与抛物线方程并联立有：y■=2px■+y■=1，消y得：x■-（4-7p）x+（2p+■）=0 由△=16-64p+48p■＞0，即6p■-8p+2＞0，解得：p＜■或p＞1.

结合范围（■，4+■）内两根，设f（x）=x■-（4-7p）x+（2p+■）=0，

所以■＜■＜4+■即p＜■，且f（■）＞0、f（4+■）＞0即p＞-4+3■.综上可得：-4+3■＜p＜■.

本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题.一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时就可以考虑应用“判别式法”，其中特别要注意解的范围.另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等在本题得到了综合运用.

总之，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，数学素质的综合体现就是“能力”，提高学生数学素质的核心就是提高

学生对数学思想方法的认识和灵活运用能力.教师在数学教学的每一个环节，都要重视数学思想方法的教学，“授之以鱼，不如授之以渔”，只有让学生掌握好数学方法，形成数学思想，才能使学生终身受益.