平面立体

基本立体（平面立体）的三视图及其表面上的点与线常见的基本立体有棱柱体、棱锥体、圆柱、圆锥、圆球和圆环。

常见的平面立体有：棱柱、棱锥。

(a)六棱柱 (b)三棱锥 (c)五棱台

有关平面立体的投影可以归结为平面以及直线（棱线）的投影问题，或者是各多边形顶点、棱线端点的投影问题。

1．棱柱

1）棱柱的三视图

棱柱的形体特征：

棱柱的各棱线互相平行。

棱柱的两个端面平行且相同。

（b）正五棱柱三视图（c）无投影轴的三视图

正五棱柱三视图

2）棱柱的尺寸标注

棱柱的尺寸标注中应注写棱柱的底面（顶面）尺寸和高度尺寸，如图所示为

常见的棱柱尺寸标注示例。

常见棱柱的尺寸注法

3）棱柱表面取点

平面立体表面上取点的方法可以归纳为第2章所述的在平面上取点。但是对于立体表面上的点和单纯平面上的点有本质的区别，所以在立体表面求点的步骤为：

①根据点的已知投影判断点的位置，即点在立体的那个表面上。

②根据平面上求取点的方法求取点的其他投影，注意，在求取点的每一个投影时，必须注意点的投影规律及投影可见性的判断。

例题1 如图a所示，已知五棱柱的三面投影及表面上M点的正面投影m’和N点的水平投影(n)。完成两点的其余投影面的投影。

分析：点M在五棱柱的棱面上，因此在水平面上的投影必在五棱柱的对应棱面积聚性投影上；M点在五棱柱的左前棱面，各面投影为可见；N点在五棱柱的底面上投影为不可见，其在对应的底面投影的积聚性投影上。

作图步骤：如图b、c所示。

①由m’(n)求出m和n’（平面投影积聚性）；

②根据点所在立体上的空间位置及点的投影规律，由m’、n’和 m、(n)作出 m”、(n”)。

（a）已知条件（b）M点作图（c）N点作图

五棱柱表面取点

4）棱柱表面取直线

棱柱表面上的直线通常是跨越各表面的折线。在表面上取直线的实质是确定各表面上直线两端点所在表面上的位置。由端点所在的位置依次连接形成表面上的直线，再根据各直线段所在的表面投影的可见性确定这条直线投影的可见性。

例题2 如图a所示，补全五棱柱表面折线ABCDE的水平投影和侧面投影。

分析：五棱柱表面折线ABCDE位于五棱柱的四个棱面上，折线ABCDE的水平投影也在棱面的水平投影上；而棱面在水平投影面上的投影皆积聚为直线（正五边形的边），因此折线ABCDE的水平投影也在此五边形的边上。因为折线ABCDE 的ABC段的正面投影a’b’c’可见，故AB段在五棱柱的左前棱面上，BC段在右前棱面上；c’d’e’为不可见，CD段在右后棱面上，DE段在后棱柱面上。在侧面投影中，a”b”为可见，b”c”，c”d”不可见，d”e”在后棱柱面的积聚性投影上。

作图步骤：如图b所示。

①由ABCDE的正面投影a’、b’、c’、d’、e’，直接得出其水平投影a、

b、c、d、e。

②由a’、b’、c’、d’、e’和a、b、c、d、e，根据点所在立体上的空间位置及点的投影规律，求出各点侧面投影：a"、b”、c”、d”、e”。

③依次连线各点。

（a）已知条件（b）作图过程

补全五棱柱表面上直线的投影

2．棱锥

1）棱锥的三视图

棱锥的形体特征：

棱锥的底面为平面多边形。

棱柱的所有棱线汇交于一点（锥顶）。

（a）立体图（b）三视图

正三棱锥的三视图

2）棱锥的尺寸

棱锥的尺寸需要标注底面和锥的高度尺寸。如图所示。

常见棱锥的尺寸注法

3）棱锥表面取点

棱锥表面多为一般位置平面，表面取点首先要分清点在哪个平面上，再利用平面上取点的方法求作点的投影。棱锥表面取点通常采用过顶点作辅助直线法和作棱线（边）平行线的辅助线法两种。

例题3 如图a所示，已知给出三棱锥的三面投影及表面上K点的正面投影k’。求K点的水平投影和侧面投影。

分析：K点在三棱锥的棱面SAB面上。取K点的投影就转化为在平面SAB上求K点的投影。

作图：①作过顶点作辅助直线法，如图b所示。

注意：不一定非过顶点做辅助线，比如可以通过三角形棱面上的其他顶点，

或任一点。

②作棱线（边）平行线法，由两直线平行的投影规律知，若两直线平行，则两直线在各投影面上的投影必定平行。那么，取一条通过待求点并平行于棱锥上某一条已知直线即可作出点的投影。

如图c所示。

(a) 已知条件（b）直线法（c）平行线法

三棱锥表面取点

3.几种平面立体的三视图

如图所示，给出了几种平面立体的三视图。从图中可以看出：平面立体的三视图中，立体投影的外围轮廓总是可见的，用粗实线画出；在投影的外轮廓线内部的图线应根据平面立体的棱线、交线的空间位置及方位关系分析，即按“前遮后，上遮下，左遮右”的规则对这些线进行直接判断它们的可见性，从而决定是用粗实线还是用虚线画出。

(a) 斜三棱柱 (b) 斜三棱锥 (c) 正四棱台 (d) 楔形块

几种平面立体的三视图